Опуклою множиною в евклідовому або афінному просторі називається така множина, яка разом з довільними двома точками, що належать множині, має у собі відрізок, що їх з'єднує.
Визначення
- Іншими словами, множина називається опуклою, якщо для точок , що задаються радіус-векторами , точка:
- Тобто, множина разом з будь-якими двома точками , які належать цій множині, містить відрізок, який їх з'єднує:
- .
Приклади
У просторі опуклими множинами будуть точка, відрізок, інтервал, промінь, пряма.
У просторі опуклим буде сам простір, будь-який його лінійний підпростір, куля, опуклі множини просторів меншої вимірності. Також, опуклими будуть такі множини:
- пряма , що проходить через точку в напрямку вектора :
- ;
- промінь , який виходить із точки в напрямку вектора :
- ;
- гіперплощина Hpβ з нормаллю p:
- ;
- півпростори на які гіперплощина поділяє простір:
- ,
- .
Всі перелічені множини (крім кулі) є частковими випадками опуклої множини поліедру.
Чотирикутник на площині може бути опуклим і неопуклим.
Властивості опуклих множин
- Перетин опуклих множин є опуклим.
- Лінійна комбінація точок опуклої множини опукла.
- Опукла множина містить будь-яку опуклу комбінацію своїх точок.
- Будь-яку точку n-вимірного евклідового простору з опуклої оболонки множини можна представити як опуклу комбінацію не більш ніж n+1 точок цієї множини.
Див. також
Посилання
- Аналітична геометрія: Навч. посібник для студ. мат. спец. ун-тів: пер. с рус. / О. А. Борисенко, Л. М. Ушакова ; Пер. Г. Ч. Курінний. — Харків: Основа, 1993 . — 192 с.
Література
- Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М. : ФИЗМАТЛИТ. — 416 с. — ..
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Opukloyu mnozhinoyu v evklidovomu abo afinnomu prostori nazivayetsya taka mnozhina yaka razom z dovilnimi dvoma tochkami sho nalezhat mnozhini maye u sobi vidrizok sho yih z yednuye Opukla mnozhina viglyadaye yak deformovane kolo Chornij vidrizok z yednuye tochki x ta y i roztashovanij povnistyu v zelenij mnozhini Oskilki ce vikonuyetsya dlya bud yakih tochok x ta y mnozhini to mnozhina bude opukloyu Priklad neopukloyi mnozhini Tak yak chervona chastina chorne ta chervone vidrizku sho z yednuye tochki x ta y roztashovana za mezhami zelenoyi mnozhini to mnozhina ne bude opukloyu ViznachennyaInshimi slovami mnozhina X R n displaystyle X subset mathbb R n nazivayetsya opukloyu yaksho dlya tochok x 1 x 2 X displaystyle x 1 x 2 in X sho zadayutsya radius vektorami r 1 r 2 displaystyle vec r 1 vec r 2 tochka a r 1 1 a r 2 X a 0 1 displaystyle alpha vec r 1 1 alpha vec r 2 in X alpha in 0 1 Tobto mnozhina X displaystyle X razom z bud yakimi dvoma tochkami x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 yaki nalezhat cij mnozhini mistit vidrizok yakij yih z yednuye x 1 x 2 x x r 1 a r 2 r 1 a 0 1 displaystyle x 1 x 2 left x colon x vec r 1 alpha vec r 2 vec r 1 alpha in 0 1 right PrikladiU prostori R 1 displaystyle mathbb R 1 opuklimi mnozhinami budut tochka vidrizok interval promin pryama U prostori R n displaystyle mathbb R n opuklim bude sam prostir bud yakij jogo linijnij pidprostir kulya opukli mnozhini prostoriv menshoyi vimirnosti Takozh opuklimi budut taki mnozhini pryama l x 0 h displaystyle l x 0 h sho prohodit cherez tochku x 0 displaystyle x 0 v napryamku vektora h displaystyle h l x 0 h x R n x x 0 a h a R n displaystyle l mathbf x 0 h left x in mathbb R n x x 0 alpha h alpha in mathbb R n right promin l x 0 h displaystyle l x 0 h yakij vihodit iz tochki x 0 displaystyle x 0 v napryamku vektora h displaystyle h l X 0 h x R n x x 0 a h a 0 displaystyle l mathbf X 0h left x in mathbb R n x x 0 alpha h alpha geqslant 0 right giperploshina Hpb z normallyu p H p b x R n p x b displaystyle mathrm H p beta left x in mathbb R n p x beta right pivprostori na yaki giperploshina podilyaye prostir H p b x R n p x b displaystyle mathrm H p beta left x in mathbb R n p x geqslant beta right H p b x R n p x b displaystyle mathrm H p beta left x in mathbb R n p x leqslant beta right Vsi perelicheni mnozhini krim kuli ye chastkovimi vipadkami opukloyi mnozhini poliedru Chotirikutnik na ploshini mozhe buti opuklim i neopuklim Vlastivosti opuklih mnozhinPeretin opuklih mnozhin ye opuklim Linijna kombinaciya tochok opukloyi mnozhini opukla Opukla mnozhina mistit bud yaku opuklu kombinaciyu svoyih tochok Bud yaku tochku n vimirnogo evklidovogo prostoru z opukloyi obolonki mnozhini mozhna predstaviti yak opuklu kombinaciyu ne bilsh nizh n 1 tochok ciyeyi mnozhini Div takozhPortal Matematika Zadacha opuklogo programuvannya Opukla obolonka Opuklij politop Opukla poverhnya Lema Shepli Folkmana Opuklij analizPosilannyaAnalitichna geometriya Navch posibnik dlya stud mat spec un tiv per s rus O A Borisenko L M Ushakova Per G Ch Kurinnij Harkiv Osnova 1993 192 s LiteraturaPolovinkin E S Balashov M V Elementy vypuklogo i silno vypuklogo analiza M FIZMATLIT 416 s ISBN 5 9221 0499 3 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi