Альтернатива Фредгольма

Альтернатива Фредгольма — сукупність теорем Фредгольма про розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду.

Наводяться різні формулювання альтернативи. У деяких джерелах під альтернативою Фредгольма розуміють лише першу теорему Фредгольма, яка стверджує, що або неоднорідне рівняння має розв'язок за будь-якого вільного члена, або спряжене (союзне) рівняння має нетривіальний розв'язок. Альтернатива Фредгольма для інтегральних рівнянь є узагальненням на нескінченновимірний випадок аналогічних теорем у скінченному просторі (для систем лінійних алгебричних рівнянь). ^[en] узагальнив її на лінійні операторні рівняння з цілком неперервними операторами в банахових просторах.

Скінченновимірний простір

Або рівняння ${\displaystyle {\mathcal {A}}z=u}$ має розв'язок за будь-якої правої частини ${\displaystyle u\in W}$, або ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}w=0}$ має нетривіальний розв'язок.

Доведення

Спосіб 1

Нехай ${\displaystyle r=\operatorname {rg} {\mathcal {A}},~m=\operatorname {dim} W}$. Можливі два випадки: або ${\displaystyle r=m}$, або ${\displaystyle r<m}$. Умова ${\displaystyle r=m}$ рівносильна умові ${\displaystyle \operatorname {im} {\mathcal {A}}=W}$ що означає, що рівняння ${\displaystyle {\mathcal {A}}z=u}$ має розв'язок за будь-якого ${\displaystyle u\in W}$. При цьому оскільки ${\displaystyle \operatorname {rg} {\mathcal {A}}=\operatorname {rg} {\mathcal {A}}^{*}}$, то ${\displaystyle \operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}=0}$, і отже, рівняння ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}w=0}$ не має ненульового рішення. Умова ${\displaystyle r<m}$ рівносильна умові ${\displaystyle \operatorname {dim} (\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*})>0}$ що означає існування ненульового вектора ${\displaystyle w\in \operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}}$, тобто ненульового розв'язку ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}w=0}$. При цьому ${\displaystyle \operatorname {im} {\mathcal {A}}\neq W}$ і рівняння ${\displaystyle {\mathcal {A}}z=u}$ має розв'язок не для будь-якого ${\displaystyle u\in W}$.

Спосіб 2

1. Нехай система (1), тобто ${\displaystyle A\cdot X=B}$, має розв'язок за будь-якого ${\displaystyle B}$. В цьому випадку ${\displaystyle \operatorname {rg} A=m}$, тому що інакше за деякого ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {rg} A}$ виявився б меншим за ранг розширеної матриці і система (1) була б несумісною в силу теореми Кронекера — Капеллі. Оскільки ${\displaystyle \operatorname {rg} A^{T}=\operatorname {rg} A}$, то в цих умовах ${\displaystyle \operatorname {rg} A^{T}=m}$, тобто дорівнює числу невідомих у системі (2) і ця система має лише тривіальний розв'язок.
2. Нехай тепер система ${\displaystyle A\cdot X=B}$ за деякого ${\displaystyle B}$ несумісна. Отже ${\displaystyle \operatorname {rg} A<m}$, значить і ${\displaystyle \operatorname {rg} A^{T}<m}$, тобто ранг матриці системи (2) менший від числа невідомих і ця система має ненульовий розв'язок.

У доведенні використано позначення: ${\displaystyle \operatorname {rg} A}$ — ранг матриці ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \operatorname {dim} W}$ — розмірність простору ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle \operatorname {im} {\mathcal {A}}}$ — образ оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle \operatorname {def} {\mathcal {A}}}$ — дефект оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle \operatorname {ker} {\mathcal {A}}}$ — ядро оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle A^{T}}$ — транспонована матриця.

Альтернатива Фредгольма для лінійного оператора ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, що діє в одному просторі ${\displaystyle V}$, означає, що або основне рівняння має єдиний розв'язок за будь-якого ${\displaystyle u\in V}$, або спряжене до нього однорідне рівняння має нетривіальнИЙ розв'язок.

Інтегральні рівняння

Формулювання

Альтернативу Фредгольма формулюють для інтегрального рівняння Фредгольма

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits _{0}^{a}K(x,y)\varphi (y)\,dy+f(x)\qquad (1)}$

з неперервним ядром ${\displaystyle K(x,y)}$ та союзного до нього рівняння

${\displaystyle \psi (x)={\bar {\lambda }}\int \limits _{0}^{a}K^{*}(x,y)\psi (y)\,dy+g(x),\qquad (1')}$

${\displaystyle K^{*}(x,y)={\overline {K(y,x)}}}$. Однорідне рівняння — це рівняння з нульовим вільним членом f або g.

Формулювання 1. Якщо інтегральне рівняння (1) з неперервним ядром можна розв'язати ${\displaystyle C[0,a]}$ за будь-якого вільного члена ${\displaystyle f\in C[0,a]}$, то і союзне до нього рівняння (1') можна розв'язати ${\displaystyle C[0,a]}$ за будь-якого вільного члена ${\displaystyle g\in C[0,a]}$, причому ці розв'язки єдині (перша теорема Фредгольма).

Якщо інтегральне рівняння (1) розв'язне в C[0, a] не за будь-якого вільного члена ${\displaystyle f}$, то:

1) однорідні рівняння (1) і (1') мають однакове (скінченне) число лінійно незалежних розв'язків (друга теорема Фредгольма);

2) для розв'язності рівняння (1) необхідно і достатньо, щоб вільний член ${\displaystyle f}$ був ортогональним до всіх розв'язків союзного однорідного рівняння (1') (третя теорема Фредгольма).

Формулювання 2. Якщо однорідне інтегральне рівняння Фредгольма має лише тривіальний розв'язок, то відповідне неоднорідне рівняння має один і лише один розв'язок. Якщо однорідне рівняння має деякий нетривіальний розв'язок, то неоднорідне інтегральне рівняння або зовсім не має розв'язку, або має нескінченну кількість розв'язків залежно від заданої функції ${\displaystyle f(x)}$.

Ідея доведення

Вироджене ядро

Інтегральне рівняння Фредгольма (1) з виродженим ядром вигляду

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{i=1}^{N}f_{i}(x)g_{i}(y)}$

можна переписати у вигляді

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \sum \limits _{i=1}^{N}c_{i}f_{i}(x)+f(x),}$

де

${\displaystyle c_{i}=\int \limits _{0}^{a}\varphi (y)g_{i}(y)\,dy}$

— невідомі числа. Помноживши отриману рівність на ${\displaystyle g_{k}(x)}$ та проінтегрувавши за відрізком ${\displaystyle [0,a]}$, рівняння з виродженим ядром зведемо до еквівалентної йому системи лінійних алгебричних рівнянь відносно невідомих ${\displaystyle (c_{1},c_{2},\dots ,c_{N})}$:

${\displaystyle c_{k}=\lambda \sum _{i=1}^{N}\alpha _{ki}c_{i}+a_{k},}$

де

${\displaystyle \alpha _{ki}=\int \limits _{0}^{a}g_{k}(x)f_{i}(x)\,dx,\quad a_{k}=\int \limits _{0}^{a}g_{k}(x)f(x)\,dx.}$

Тому альтернатива Фредгольма безпосередньо випливає зі скінченновимірного випадку.

Довільне неперервне ядро

У загальному випадку доведення альтернативи Фредгольма для інтегральних рівнянь ґрунтується на поданні довільного неперервного ядра як

${\displaystyle K(x,y)=P(x,y)+Q(x,y),}$

де ${\displaystyle P(x,y)}$ — вироджене ядро (многочлен) і ${\displaystyle Q(x,y)}$ — мале неперервне ядро, ${\displaystyle |Q(x,y)|<\varepsilon ,\,0\leq x\leq a}$. Тоді рівняння (1) набуває вигляду

${\displaystyle \varphi =\lambda P\varphi +\lambda Q\varphi +f,}$

де ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$ — інтегральні оператори з ядрами ${\displaystyle P(x,y)}$ і ${\displaystyle Q(x,y)}$ відповідно.

Введемо невідому функцію ${\displaystyle \Phi (x)}$ за формулою

${\displaystyle \Phi =\varphi -\lambda Q\varphi }$.

При ${\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}}$ функція ${\displaystyle \varphi }$ однозначно виражається через ${\displaystyle \Phi }$ за формулою

${\displaystyle \varphi =(I-\lambda Q)^{-1}\Phi =(I+\lambda R)\Phi ,}$

де ${\displaystyle I}$ — одиничний оператор, ${\displaystyle R}$ — інтегральний оператор з ядром ${\displaystyle R(x,y,\lambda )}$ — резольвентою ядра ${\displaystyle Q(x,y)}$. Тоді початкове рівняння набуває вигляду

${\displaystyle \Phi =\lambda T\Phi +f,}$

де

${\displaystyle T=P+\lambda PR}$

- Інтегральний оператор із виродженим ядром

${\displaystyle T(x,y,\lambda )=P(x,y)+\lambda \int \limits _{0}^{a}P(x,\xi )R(\xi ,y,\lambda )d\xi ,}$

аналітичним за ${\displaystyle \lambda }$ у крузі ${\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}}$. Аналогічно союзне інтегральне рівняння (1') зводиться до вигляду

${\displaystyle \psi ={\bar {\lambda }}T^{*}\psi +g_{1}.}$

Таким чином, рівняння (1) та (1') еквівалентні у крузі ${\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}}$ рівнянням із виродженими ядрами, що дозволяє вивести альтернативу Фредгольма для загального випадку.

Наслідки

• Множина характеристичних чисел неперервного ядра не має скінченних граничних точок і, отже, лише зліченна. Справді, у кожному крузі ${\displaystyle |\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}}$ характеристичні числа ядра ${\displaystyle K(x,y)}$ збігаються з характеристичними числами виродженого ядра, які є нулями аналітичної функції.
• Кожне характеристичне число має скінченну кратність (число лінійно незалежних власних функцій), що випливає з другої теореми Фредгольма. Характеристичні числа можна пронумерувати в порядку зростання їх модулів:

${\displaystyle |\lambda _{1}|\leq |\lambda _{2}|\leq \dots ,}$

повторюючи в цій послідовності ${\displaystyle \lambda _{k}}$ стільки разів, яка його кратність.

• Якщо ${\displaystyle \lambda _{0}}$ — характеристичне число ядра ${\displaystyle K(x,y)}$, то ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{0}}$ — характеристичне число ядра ${\displaystyle K^{*}(x,y)}$, причому вони мають однакову кратність.
• Власні функції ${\displaystyle \varphi _{k}}$ і ${\displaystyle \psi _{i}}$ ядер ${\displaystyle K(x,y)}$ і ${\displaystyle K^{*}(x,y)}$, що відповідають характеристичним числам ${\displaystyle \lambda _{k}}$ і ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{i}}$ відповідно, причому ${\displaystyle \lambda _{k}\neq \lambda _{i}}$, ортогональні: ${\displaystyle (\varphi _{k},\psi _{i})=0}$.

Використовуючи ці властивості, можна переформулювати альтернативу Фредгольма в термінах характеристичних чисел та власних функцій:

• Якщо ${\displaystyle \lambda \neq \lambda _{k},\,k=1,2,\dots }$, то інтегральні рівняння (1) і (1') однозначно розв'язні за будь-яких вільних членів.
• Якщо ${\displaystyle \lambda =\lambda _{k}}$, то однорідні рівняння

${\displaystyle \varphi =\lambda _{k}K\varphi ,\quad \psi ={\bar {\lambda }}_{k}K^{*}\psi ,}$

мають однакове (скінченне) число ${\displaystyle r_{k}\geq 1}$ лінійно незалежних розв'язків — власних функцій ${\displaystyle \varphi _{k},\varphi _{k+1},\dots ,\varphi _{k+r_{k}-1}}$ ядра ${\displaystyle K(x,y)}$ та власних функцій ${\displaystyle \psi _{k},\psi _{k+1},\dots ,\psi _{r_{k}-1}}$ ядра ${\displaystyle K^{*}(x,y)}$.

• Якщо ${\displaystyle \lambda =\lambda _{k}}$, то для розв'язності рівняння (1) необхідно і достатньо, щоб

${\displaystyle (f,\psi _{k+i})=0,\quad i=0,1,r_{k}-1.}$

Банахів простір

Дано рівняння

${\displaystyle Ax-x=y,\quad (2)}$

${\displaystyle A^{*}f-f=g,\quad (2')}$

де ${\displaystyle A}$ — цілком неперервний оператор, що діє в банаховому просторі ${\displaystyle E}$, а ${\displaystyle A^{*}}$ — спряжений оператор, що діє у спряженому просторі ${\displaystyle E^{*}}$. Тоді або рівняння (2) і (2') розв'язні за будь-яких правих частинах, і в цьому випадку однорідні рівняння

${\displaystyle Ax-x=0}$

${\displaystyle A^{*}f-f=0}$

мають лише нульові розв'язки, або однорідні рівняння мають однакову кількість лінійно незалежних розв'язків

${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n};\quad f_{1},f_{2},\dots ,f_{n};}$

у цьому випадку, щоб рівняння (2) (відповідно (2')) мало розв'язок, необхідно і достатньо, щоб

${\displaystyle f_{i}(y)=0,\quad i=1,2,\dots ,n}$

(відповідно ${\displaystyle g(x_{i})=0,\,i=1,2,\dots ,n}$).

Застосування до розв'язання крайових задач для еліптичних рівнянь

Див. також: Крайова задача та Диференціальне рівняння еліптичного типу

Метод Неймана розв'язання задачі Діріхле

${\displaystyle \Delta u(x)=0,\quad x\in G,\quad u(s)=g(s),\quad s\in C}$

полягає в тому, що розв'язок ${\displaystyle u}$ шукають у вигляді

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{C}\mu (t){\frac {\partial }{\partial n_{t}}}\log {\frac {1}{r_{xt}}}dt,}$

тобто у вигляді потенціалу подвійного шару. Тут ${\displaystyle G}$ — плоска ділянка, ${\displaystyle C}$ — замкнута крива, що обмежує її і має неперервну кривину, ${\displaystyle r_{xt}}$ — відстань від точки ${\displaystyle x}$ до точки ${\displaystyle t}$ на контурі ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle n_{t}}$ — внутрішня нормаль до ${\displaystyle C}$ у точці ${\displaystyle t}$. Функція ${\displaystyle \mu }$ має задовольняти інтегральне рівняння

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}g(s)=\mu (s)+\int \limits _{C}K(s,t)\mu (t)\,dt}$

з неперервним ядром

${\displaystyle K(s,t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\partial }{\partial n_{t}}}\log {\frac {1}{r_{xt}}}dt.}$

Згідно з альтернативою Фредгольма, або це неоднорідне рівняння має розв'язок ${\displaystyle \mu (s)}$ за будь-якого вибору неперервної функції ${\displaystyle g(s)}$, або однорідне рівняння

${\displaystyle \nu (s)+\int \limits _{C}K(s,t)\mu (t)\,dt=0}$

допускає ненульовий розв'язок ${\displaystyle \nu (s)}$. Останнє неможливе, це можна показати за допомогою принципу максимуму для гармонічних функцій. Отже, внутрішня задача Діріхле має розв'язок за будь-яких неперервних граничних значень ${\displaystyle g(s)}$. Аналогічні результати отримано для зовнішньої задачі Діріхле, а також для задачі Неймана.

Див. також

• Інтегральне рівняння
• Теорія Фредгольма
• Цілком неперервний оператор
• Ядро інтегрального оператора

Примітки

1. Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, 1998, с. 313.
2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 268.
3. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, с. 221.
4. Трикоми Ф. Интегральные уравнения, 1960, с. 87.
5. Краснов М. Л. Интегральные уравнения, 1975, с. 49.
6. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, Глава IV, § 4.2.
7. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 280.
8. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, п. 81.

Література

Скінченновимірний простір

• ^[ru], Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1998. — 320 с. — .

Інтегральні рівняння

• ^[ru], ^[ru]. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — 2-е изд., стереотип. — М. : Физматлит, 2004. — 400 с. — .
• ^[en]. Интегральные уравнения. — М. : Издательство иностранной литературы, 1960.
• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М. : Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1975.
• ^[ru]. Лекции по теории интегральных уравнений. — М. : Наука, 1965. — 128 с.
• , ^[en]. Лекции по функциональному анализу. — М. : Мир, 1979. — 592 с.

Банахів простір

• Люстерник Л. А., ^[ru]. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, переработанное. — М. : Наука, 1965. — 520 с.