Характеристичне число (інтегральні рівняння)

Характеристичне число ядра інтегрального рівняння — комплексне значення ${\displaystyle \lambda }$, за якого однорідне інтегральне рівняння Фредгольма другого роду

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy}$

має нетривіальний (тобто не рівний тотожно нулю) розв'язок ${\displaystyle \varphi (x)}$, називаний власною функцією. Тут ${\displaystyle G}$ — ділянка в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle K(x,y)}$ — ядро інтегрального рівняння. Характеристичні числа — це величини, обернені власним значенням інтегрального оператора з ядром ${\displaystyle K(x,y)}$. Значення ${\displaystyle \lambda }$, які не є характеристичними числами, називають регулярними. Якщо ${\displaystyle \lambda }$ — регулярне значення, інтегральне рівняння Фредгольма другого роду

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy+f(x)}$

має єдиний розв'язок за будь-якого вільного члена ${\displaystyle f(x)}$; характеристичні числа — це «особливі точки», в яких розв'язок не існує або існує безліч розв'язків, залежно від вільного члена ${\displaystyle f(x)}$.

Властивості

Характеристичні числа неперервного ядра мають такі властивості:

• Множина характеристичних чисел зліченна і не має скінченних граничних точок.
• Кратністю характеристичного числа називають кількість відповідних йому лінійно незалежних власних функцій. Кратність кожного характеристичного числа є скінченною.
• З перших двох властивостей випливає, що характеристичні числа можна пронумерувати в порядку зростання їх модуля:

${\displaystyle |\lambda _{1}|\leq |\lambda _{2}|\leq \dots ,}$

повторюючи при цьому число ${\displaystyle \lambda _{k}}$ стільки разів, яка його кратність.

• ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{1},\,{\bar {\lambda }}_{2},\dots }$ — всі характеристичні числа союзного ядра ${\displaystyle K^{*}(x,y)={\overline {K(y,x)}}}$.
• Якщо ${\displaystyle \lambda _{k}\neq \lambda _{i}}$ і ${\displaystyle \varphi _{k}=\lambda _{k}K\varphi _{k}}$, ${\displaystyle \psi _{i}={\bar {\lambda }}_{i}K^{*}\psi _{i}}$, тобто ${\displaystyle \varphi _{k}}$ і ${\displaystyle \psi _{i}}$ — власні функції ядер ${\displaystyle K(x,y)}$ і ${\displaystyle K^{*}(x,y)}$ відповідно, то ${\displaystyle (\varphi _{k},\psi _{i})=0}$ — власні функції ортогональні в просторі ${\displaystyle L_{2}(G)}$.
• Повторне ядро ${\displaystyle K_{p}(x,y)}$ має характеристичні числа ${\displaystyle \lambda _{k}^{p}}$ і ті самі власні функції ${\displaystyle \varphi _{k}}$, що й ядро ${\displaystyle K(x,y)}$.
• Навпаки, якщо ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \varphi }$ — характеристичне число та відповідна власна функція повторного ядра ${\displaystyle K_{p}(x,y)}$, то принаймні один із коренів ${\displaystyle \lambda _{j},\,j=1,2,\dots ,p,}$ рівняння ${\displaystyle \lambda ^{p}=\mu }$ є характеристичне число ядра ${\displaystyle K(x,y)}$.
• Множина характеристичних чисел ермітового неперервного ядра не порожня і розташована на дійсній осі, систему власних функцій можна обрати ортонормованою.
• Характеристичні числа збігаються з полюсами резольвенти.
• Вироджене ядро має скінченне число характеристичних чисел.
• Неперервне ядро Вольтерри не має характеристичних чисел.

Див. також

• Інтегральне рівняння Фредгольма
• Інтегральний оператор Фредгольма
• Ядро інтегрального оператора
• Резольвента інтегрального рівняння
• Альтернатива Фредгольма
• Власні вектори та власні значення

Примітки

1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 271.
2. Краснов М. Л. Интегральные уравнения, 1975.
3. Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, глава IV, §18, п. 4.
4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 306.
5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 292.
6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 280.

Література

• Уравнения математической физики. — Изд. 4-е. — М. : Наука, гл. ред. физ.-мат. лит, 1981. — 512 с.
• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М. : Наука, гл. ред. физ.-мат. лит, 1975.
• Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М. : Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — .