Теорема Кронекера — Капеллі

Теорема Кронекера —  — критерій сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} .}$

СЛАР має розв'язки тоді й лише тоді, коли ранг її матриці ${\displaystyle \ A}$ дорівнює рангу її розширеної матриці ${\displaystyle \ B=[A|\mathbf {b} ].}$

• Система має єдиний розв'язок, якщо ранг дорівнює кількості невідомих,
• і нескінченно багато розв'язків, якщо ранг менший кількості невідомих.

Необхідність

Нехай СЛАР сумісна, тоді існує розв'язок: ${\displaystyle \ x_{1},\dots ,x_{n}}$ такий, що ${\displaystyle \ \mathbf {b} =x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}.}$

Тобто, стовпець ${\displaystyle \ \mathbf {b} }$ є лінійною комбінацією стовпців матриці ${\displaystyle \ A.}$

Отже ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} B.}$

Достатність

Нехай ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} B=r.}$ Візьмемо у матриці ${\displaystyle \ A}$ будь-який базисний мінор.

Так як ${\displaystyle \operatorname {rang} B=r}$, то він буде базисним мінором і для матриці ${\displaystyle \ B.}$

Тоді згідно з теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриці ${\displaystyle \ B}$ буде лінійною комбінацією базисних стовпчиків, тобто стовпців матриці ${\displaystyle \ A.}$

Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці ${\displaystyle \ A,}$ коефіцієнти такої лінійної комбінації і будуть розв'язком СЛАР.

Див. також

• Метод Крамера
• Метод Гауса
• Список об'єктів, названих на честь Леопольда Кронекера
• Список об'єктів, названих на честь Альфредо Капеллі

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
• Теорема Кронекера — Капеллі // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 42. — 594 с.