Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.
Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.
Властивості
- Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
- Для довільного кардинального числа
існує вільна абелева група рангу
.
- Нехай
— вільна абелева група і
— абелева група. Якщо існує епіморфізм
, то існує підгрупа
групи
ізоморфна групі
така, що
.
- Будь-яка абелева група
гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група
має множину генераторів потужності
то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу
. Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи.
- Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою.
Скінченнопороджені вільні абелеві групи
У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай — вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа
цієї групи є вільною абелевою групою рангу
і можна вибрати такий базис
групи
і натуральні числа
що
- Множина
є базисом підгрупи
ділиться на
для всіх
Доведення
Якщо є групою рангу 1, тобто нескінченною циклічною групою, то твердження одержується із характеристики підгруп циклічних груп. За індукцією припустимо, що твердження доведено для всіх вільних абелевих груп рангу менше n і
є вільною абелевою групою рангу n. Для кожного базису
і елемента
у єдиний спосіб можна записати
де всі
є цілими числами.
Нехай тепер є підгрупою групи
і
є мінімальним додатним цілим числом серед тих, що є коефіцієнтами у записі будь-якого елемента
через будь-який базис
групи
. Якщо перепозначити елементи і індекси базису можна записати:
Також
для
Якщо позначити то
є базисом групи
і
Згідно вибору числа тоді всі
і
Нехай тепер позначає циклічну групу породжену елементом
і
є підгрупою
елементи якої записуються як комбінації елементів
базису. Тоді
Оскільки є базисом групи
, то довільний елемент
є рівним
Елемент
Якщо для
то елемент
записується через базис
як
і тому і відповідно
а тому
Відповідно кожен елемент
є рівним сумі
, де
і
Група — підгрупа
породжена елементами
базису є вільною групою рангу n - 1 і
є підгрупою у
. Згідно припущення індукції
є вільною групою деякого рангу s - 1 і існує базис
групи
і числа
що
є базисом групи
і
ділиться на
для всіх
Тоді
є базисом групи
, а
є базисом групи
Також
ділить
. Справді, якщо
, для
то у базисі
елемент
записується як
Із мінімальності
випливає, що
і
Відповідно базис групи
і числа
(для яких
є базисом) задовільняють умови твердження.
Приклади
- Група
цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин
.
- Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина
.
Джерела
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
- Phillip A. Griffith (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Vilna abeleva grupa abeleva grupa kozhen element yakoyi mozhe buti odnoznachno predstavlenij u viglyadi linijnoyi kombinaciyi elementiv deyakoyi mnozhini z cilochislovimi koeficiyentami Yak i u vipadku z vektornimi prostorami danu mnozhinu nazivayut bazisom Vilni abelevi grupi ne ye vilnimi grupami za vinyatkom ciklichnoyi grupi i trivialnoyi grupi sho skladayetsya z odnogo elementa VlastivostiBud yaki dva bazisi vilnih abelevih grup ye rivnopotuzhnimi Potuzhnist bazisu vilnoyi abelevoyi grupi nazivayetsya rangom abelevoyi grupi Dlya dovilnogo kardinalnogo chisla k displaystyle kappa isnuye vilna abeleva grupa rangu k displaystyle kappa Nehaj G displaystyle G vilna abeleva grupa i A displaystyle A abeleva grupa Yaksho isnuye epimorfizm h A G displaystyle h colon A to G to isnuye pidgrupa F displaystyle F grupi A displaystyle A izomorfna grupi G displaystyle G taka sho A F ker h displaystyle A F oplus ker h Bud yaka abeleva grupa A displaystyle A gomomorfnim obrazom vilnoyi abelevoyi grupi Krim togo yaksho grupa A displaystyle A maye mnozhinu generatoriv potuzhnosti k displaystyle kappa to vona ye gomomorfnim obrazom vilnoyi abelevoyi grupi rangu k displaystyle kappa Yak naslidok bud yaka abeleva grupa izomorfna faktorgrupi vilnoyi abelevoyi grupi Pidgrupa vilnoyi abelevoyi grupi tezh ye vilnoyu abelevoyu grupoyu Skinchennoporodzheni vilni abelevi grupi U vipadku skinchennoporodzhenoyi vilnoyi abelevoyi grupi rang yakoyi ye deyakim naturalnim chislom mozhna dati povnishu harakteristiku pidgrup Nehaj A displaystyle A vilna abeleva grupa zi skinchennim rangom n Todi pidgrupa H displaystyle H ciyeyi grupi ye vilnoyu abelevoyu grupoyu rangu s n displaystyle s leqslant n i mozhna vibrati takij bazis x1 xn displaystyle x 1 ldots x n grupi A displaystyle A i naturalni chisla mi i 1 s displaystyle m i i 1 ldots s sho Mnozhina m1x1 msxs displaystyle m 1 x 1 ldots m s x s ye bazisom pidgrupi H displaystyle H mi displaystyle m i dilitsya na mi 1 displaystyle m i 1 dlya vsih i 2 s displaystyle i 2 ldots s Dovedennya Yaksho A displaystyle A ye grupoyu rangu 1 tobto neskinchennoyu ciklichnoyu grupoyu to tverdzhennya oderzhuyetsya iz harakteristiki pidgrup ciklichnih grup Za indukciyeyu pripustimo sho tverdzhennya dovedeno dlya vsih vilnih abelevih grup rangu menshe n i A displaystyle A ye vilnoyu abelevoyu grupoyu rangu n Dlya kozhnogo bazisu x1 xn displaystyle x 1 ldots x n i elementa a A displaystyle a in A u yedinij sposib mozhna zapisati a a1x1 a2x2 anxn displaystyle a a 1 x 1 a 2 x 2 ldots a n x n de vsi ai displaystyle a i ye cilimi chislami Nehaj teper H displaystyle H ye pidgrupoyu grupi A displaystyle A i m displaystyle m ye minimalnim dodatnim cilim chislom sered tih sho ye koeficiyentami u zapisi bud yakogo elementa h H displaystyle h in H cherez bud yakij bazis x1 xn displaystyle x 1 ldots x n grupi A displaystyle A Yaksho perepoznachiti elementi i indeksi bazisu mozhna zapisati h mx1 a2x2 anxn textstyle h mx 1 a 2 x 2 ldots a n x n Takozh ai mdi ri 0 ri lt m displaystyle a i md i r i quad 0 leqslant r i lt m dlya i 2 n displaystyle i in 2 ldots n Yaksho poznachiti y1 x1 d2x2 dnxn displaystyle y 1 x 1 d 2 x 2 ldots d n x n to y1 x2 xn displaystyle y 1 x 2 ldots x n ye bazisom grupi A displaystyle A i h my1 r2x2 rnxn textstyle h my 1 r 2 x 2 ldots r n x n Zgidno viboru chisla m displaystyle m todi vsi ri 0 textstyle r i 0 i h my1 textstyle h my 1 Nehaj teper H1 displaystyle H 1 poznachaye ciklichnu grupu porodzhenu elementom h textstyle h i H2 displaystyle H 2 ye pidgrupoyu H displaystyle H elementi yakoyi zapisuyutsya yak kombinaciyi elementiv x2 xn displaystyle x 2 ldots x n bazisu Todi H1 H2 0 displaystyle H 1 cap H 2 0 Oskilki y1 x2 xn displaystyle y 1 x 2 ldots x n ye bazisom grupi A displaystyle A to dovilnij element k H displaystyle k in H ye rivnim k b1y1 b2x2 bnxn textstyle k b 1 y 1 b 2 x 2 ldots b n x n Element k b1y1 b2x2 bnxn textstyle k b 1 y 1 b 2 x 2 ldots b n x n Yaksho b1 md r displaystyle b 1 md r dlya d r Z 0 r lt m displaystyle d r in mathbb Z 0 leqslant r lt m to element k dh k dmy1 H displaystyle k dh k dmy 1 in H zapisuyetsya cherez bazis y1 x2 xn displaystyle y 1 x 2 ldots x n yak k dh ry1 b2x2 bnxn displaystyle k dh ry 1 b 2 x 2 ldots b n x n i tomu r 0 displaystyle r 0 i vidpovidno b1 md displaystyle b 1 md a tomu b1y1 mdy1 dh H1 displaystyle b 1 y 1 mdy 1 dh in H 1 Vidpovidno kozhen element k H displaystyle k in H ye rivnim sumi k1 k2 displaystyle k 1 k 2 de k1 H1 displaystyle k 1 in H 1 i k2 H2 displaystyle k 2 in H 2 Grupa A2 displaystyle A 2 pidgrupa A displaystyle A porodzhena elementami x2 xn displaystyle x 2 ldots x n bazisu ye vilnoyu grupoyu rangu n 1 i H2 displaystyle H 2 ye pidgrupoyu u A2 displaystyle A 2 Zgidno pripushennya indukciyi H2 displaystyle H 2 ye vilnoyu grupoyu deyakogo rangu s 1 i isnuye bazis y2 yn displaystyle y 2 ldots y n grupi A2 displaystyle A 2 i chisla mi i 2 s displaystyle m i i 2 ldots s sho m2y2 msys displaystyle m 2 y 2 ldots m s y s ye bazisom grupi H2 displaystyle H 2 i mi displaystyle m i dilitsya na mi 1 displaystyle m i 1 dlya vsih i 3 s displaystyle i 3 ldots s Todi y1 y2 yn displaystyle y 1 y 2 ldots y n ye bazisom grupi A displaystyle A a my1 m2y2 msys displaystyle my 1 m 2 y 2 ldots m s y s ye bazisom grupi H displaystyle H Takozh m displaystyle m dilit m2 displaystyle m 2 Spravdi yaksho m2 md r displaystyle m 2 md r dlya d r Z 0 r lt m displaystyle d r in mathbb Z 0 leqslant r lt m to u bazisi y1 dy2 y2 yn displaystyle y 1 dy 2 y 2 ldots y n element my1 m2y2 H displaystyle my 1 m 2 y 2 in H zapisuyetsya yak m y1 dy2 ry2 displaystyle m y 1 dy 2 ry 2 Iz minimalnosti m displaystyle m viplivaye sho r 0 displaystyle r 0 i m2 md displaystyle m 2 md Vidpovidno bazis y1 y2 yn displaystyle y 1 y 2 ldots y n grupi A displaystyle A i chisla m m1 m2 ms displaystyle m m 1 m 2 ldots m s dlya yakih m1y1 m2y2 msys displaystyle m 1 y 1 m 2 y 2 ldots m s y s ye bazisom zadovilnyayut umovi tverdzhennya PrikladiGrupa Z displaystyle mathbb Z cilih chisel z dodavannyam Bazisom ciyeyi grupi mozhe buti odna z mnozhin 1 1 displaystyle 1 1 Aditivna grupa kilcya mnogochleniv z cilimi koeficiyentami Bazisom ciyeyi grupi ye napriklad mnozhina 1 x x2 x3 displaystyle 1 x x 2 x 3 ldots DzherelaKurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl Phillip A Griffith 1970 Infinite Abelian group theory Chicago Lectures in Mathematics University of Chicago Press ISBN 0 226 30870 7