Подільна група

Подільна група — група ${\displaystyle G}$, така що для будь-яких ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ і ${\displaystyle g\in G}$ рівняння

${\displaystyle x^{n}=g}$

має розв'язок. Часто група вважається абелевою, а умова записується в адитивній нотації як ${\displaystyle nx=g}$.

Група ${\displaystyle A}$ називається ${\displaystyle p}$-подільною (${\displaystyle p}$ — просте число), якщо для будь-якого ${\displaystyle a\in A}$ рівняння ${\displaystyle px=a}$має розв'язок в ${\displaystyle A}$.

Приклади

• Група ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ всіх раціональних чисел і всі її факторгрупи, зокрема ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$
• Будь-які циклічні і загалом скінченнопороджені абелеві групи не є подільними.
• Стандартні групи ${\displaystyle (\mathbb {Q} ^{n},+),(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {C} ,+),(\mathbb {R} ^{n},+),(\mathbb {C} ^{n},+)}$ є подільними.
• ${\displaystyle p}$-примарна квазіциклічна група ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{\infty }}}$, тобто група, породжена зліченним набором елементів ${\displaystyle a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n},\,\ldots }$, які задовольняють умову

${\displaystyle pa_{0}=0,\,pa_{1}=a_{0},\,\ldots ,\,pa_{n}=a_{n-1},\,\ldots .}$ Еквівалентно цю групу можна описати як ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} .}$

• Мультиплікативна група комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}.}$
• Прикладами некомутативних подільних груп є унітарні групи U(n). Кожна матриця із такої групи є діагоналізовною за допомогою унітарної матриці. Тоді якщо в усіх діагональних елементах взяти корінь довільного цілого степеня одержується унітарна матриця, що є коренем відповідного рівняння. Подібним чином подільними також є спеціальні унітарні групи SU(n) оскільки корені на діагоналі можна завжди обрати так щоб їх добуток був рівним 1.
• Мультиплікативна група кватерніонів ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }=\left(\mathbb {H} \backslash \{0\},\cdot \right)}$ теж є некомутативною подільною групою. Зокрема одиничні кватерніони ізоморфні групі:

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$

Ізоморфізм здійснюється за допомогою:

${\displaystyle \mathbf {1} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {i} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}~.}$

Тому результат для кватерніонів є частковим випадком попереднього прикладу.

Властивості подільних груп

• Гомоморфні образи і факторгрупи подільної групи є подільними групами.

Якщо ${\displaystyle \phi :G\to H}$ є гомоморфізмом груп то для елемента ${\displaystyle \phi (a)\in H}$ елемент ${\displaystyle \phi (b)}$ є розв'язком рівняння ${\displaystyle x^{n}=\phi (a),}$ де b є розв'язком рівняння ${\displaystyle x^{n}=a}$ (він існує, оскільки G є подільною).

• Абелева група G є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є ін'єктивним об'єктом у категорії абелевих груп, тобто ін'єктивним ${\displaystyle \mathbb {Z} }$- модулем. З означення ін'єктивного модуля в термінах теорії груп це означає, що G є подільною тоді і тільки тоді, якщо для довільних абелевих груп ${\displaystyle U\subset H}$ і гомоморфізму ${\displaystyle \phi :U\to G}$ існує гомоморфізм ${\displaystyle \psi :H\to G,}$ такий що ${\displaystyle \psi |_{U}:\phi .}$

Якщо G не є подільною то існують ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\ g\in G,}$ що рівняння ${\displaystyle nx=g}$ не має розв'язку. Нехай тепер ${\displaystyle n\mathbb {Z} =U\subset H=\mathbb {Z} .}$ Якщо задати гомоморфізм з U в G, для якого образом n є g, то для будь-якого продовження цього гомоморфізму на H образом 1 має бути елемент, що є розв'язком рівняння ${\displaystyle nx=g.}$ Оскільки такого елемента не існує, то і не існує відповідного продовження гомоморфізму і G не є ін'єктивним об'єктом.

Нехай тепер G є подільною. Розглянемо множину ${\displaystyle \Phi }$ всіх підгруп у H, що містять U і для яких існує гомоморфізм що продовжує гомоморфізм ${\displaystyle \phi :U\to G.}$ Ця множина непуста оскільки їй належить U. Будь-яка лінійно впорядкована підмножина e ${\displaystyle \Phi }$ має верхню межу, що рівна об'єднанню підгруп. Тоді згідно леми Цорна у ${\displaystyle \Phi }$ існує максимальний елемент H^' із гомоморфізмом ${\displaystyle \psi ':H'\to G,}$ що продовжує ${\displaystyle \phi }$. Припустимо, що H^' є власною підгрупою у H і ${\displaystyle h\in H\setminus H'.}$ Якщо ${\displaystyle \langle h\rangle \cap H'=\{0\}}$ то ${\displaystyle \psi '}$ можна продовжити на Якщо ${\displaystyle H'+\langle h\rangle }$ взявши довільний образ для h. Якщо ж ${\displaystyle \langle h\rangle \cap H'}$ містить елемент nh де n — найменше з таких додатних чисел, то за образ h можна взяти розв'язок рівняння ${\displaystyle x^{n}=\psi '(nh).}$ В обох випадках існує продовження на більшу підгрупу, що суперечить максимальності. Отже H' = H і продовження існує на всю групу H. Тобто G є ін'єктивним об'єктом.

Зауваження. Умова комутативності в даному випадку є важливою. Єдиним ін'єктивним об'єктом категорії груп є одинична група.

• Абелева група є подільною тоді і тільки тоді, коли вона є ${\displaystyle p}$-подільною при кожному простому ${\displaystyle p}$.
• Будь-яка пряма сума подільних абелевих груп є подільною групою.
• Кожна подільна підгрупа є прямим доданком групи.
• Кожна абелева група є ізоморфною підгрупі подільної абелевої групи.

Група ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ є підгрупою подільної групи ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ а тому пряма сума ${\displaystyle (\oplus \mathbb {Z} _{i})_{i\in I}}$ є підгрупою ${\displaystyle (\oplus \mathbb {Q} _{i})_{i\in I},}$ що є подільною групою, як пряма сума подільних груп. Оскільки будь-яка абелева група є факторгрупою деякої ${\displaystyle (\oplus \mathbb {Z} _{i})_{i\in I},}$ то вона є підгрупою деякої факторгрупи ${\displaystyle (\oplus \mathbb {Q} _{i})_{i\in I},}$ що є подільною, як факторгрупа подільної групи.

• Для кожної абелевої групи G існує єдина з точністю до ізоморфізму подільна група вкладення G в яку є істотним мономорфізмом. Ця група називається ін'єктивною оболонкою групи G. Ін'єктивна оболонка є мінімальним елементом за включенням серед подільних груп у які існує вкладення групи G.
• Будь-яка абелева група ${\displaystyle A}$ розкладається в пряму суму ${\displaystyle A=D\oplus R}$, де ${\displaystyle D}$ - подільна група (вона називається подільною частиною групи ${\displaystyle A}$), а ${\displaystyle R}$ - редукована група, тобто група, яка не містить ненульових подільних підгруп.
• Якщо ${\displaystyle A}$ є кільцем і ${\displaystyle T}$ подільною групою, то ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} }(A,T)}$ є ін'єктивним ${\displaystyle A}$-модулем.

Будова подільних груп

Нехай G — подільна група. Тоді підгрупа кручення Tor(G) G є подільною. Оскільки подільна група є ін'єктивним модулем, Tor(G) є прямим доданком G. Тому

${\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}$

Як факторгрупа подільної групи G/Tor(G) є подільною. Також вона є групою без кручень і тому є векторним простором над Q. Тож існує множина I, для якої

${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\oplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}$

Структура підгрупи кручення є складнішою. Для всіх простих чисел p існує множина ${\displaystyle I_{p}}$, для якої

${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\oplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},}$

де ${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}}$ є p-примарна компонента Tor(G).

Якщо множину простих чисел позначити P, то:

${\displaystyle G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}$

Потужності множин I і I_p для p∈P є однозначно визначеними G.

Див. також

• Вільна абелева група
• Ін'єктивний модуль
• Ін'єктивний об'єкт

Примітки

1. Kaplansky, 1965.
2. Fuchs, 1970.

Джерела

• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups Vol 1. Academic Press.
• Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN .
• Kaplansky, Irving (1965). Infinite Abelian Groups. University of Michigan Press.
• Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR 0404390