Просторами в математиці називаються простори вимірних функцій, які при піднесенні до степеня (де ) є інтегровними за Лебегом.
— найважливіший клас банахових просторів. Окрім того, — класичний приклад гільбертового простору.
Побудова простору Lp
Визначення 1. Нехай задано простір з мірою . Зафіксуємо і розглянемо множину вимірних функцій, визначених на цьому просторі, таких що
Позначимо цю множину або просто .
Теорема 1. є лінійним простором. Доведення одержується з елементарних властивостей інтеграла Лебега, а також нерівності Мінковського.
На цьому лінійному просторі можна ввести напівнорму:
Додатність і однорідність є наслідками властивостей інтеграла Лебега, а нерівність Мінковського є нерівністю трикутника для цієї напівнорми.
Замітка 1. Введена таким чином напівнорма не є нормою, бо якщо майже всюди, то , що суперечить вимогам до норми. Щоб перетворити простір з напівнормою в простір з нормою, необхідно ототожнити функції, що розрізняються між собою лише на множині міри нуль.
Визначення 2. Введемо на відношення еквівалентності:
- , якщо майже всюди.
Це відношення розбиває простір на класи еквівалентності, причому напівнорми будь-яких двох представників одного і того ж класу збігаються.
Тоді на побудованому фактор-просторі (тобто множині класів еквівалентності) можна ввести норму рівну напівнормі будь-якого представника даного класу. За визначенням, всі аксіоми напівнорми збережуться, і додатково через викладену побудову виявляється виконаною і додатна визначеність.
Визначення 3. Фактор-простір з побудованою на ньому нормою називається простором або просто .
При , не утворюють нормованого простору, оскільки не виконується нерівність трикутника (точніше, виконується зворотна нерівність трикутника: при ), проте утворюють метричні простори.
Повнота простору Lp
Введена вище норма разом з лінійною структурою породжує метрику
а отже і поняття збіжності.
Визначення 3. Нехай є послідовність функцій . Тоді ця послідовність збігається до функції , якщо
- при
Теорема 2. Простір є повним, тобто будь-яка фундаментальна послідовність збігається до елементу цього ж простору. Таким чином, — банахів простір.
Простір L2
У випадку введена вище норма породжується скалярним добутком. Таким чином, разом з поняттям довжини тут має сенс і поняття кута, а отже і суміжні поняття, такі, як ортогональність, проєкція і ін.
Визначення 4. Введемо на просторі скалярний добуток таким чином:
у випадку, якщо дані функції комплекснозначні, або
якщо вони дійсні. Тоді, очевидно:
тобто норма породжується скалярним добутком. Використовуючи це разом з результатом про повноту будь-якого , одержуємо:
Теорема 3. Простір — гільбертів.
Простір L∞
Розглянемо простір вимірних функцій, обмежених майже усюди. Ототожнивши між собою функції, що розрізняються лише на множині міри нуль, і поклавши за визначенням
одержуємо банахів простір.
Метрика, що породжується цією нормою, називається рівномірною. Так само називається і збіжність, породжена такою метрикою:
- у , якщо при .
Властивості просторів Lp
- Із збіжності функцій майже всюди не випливає збіжність в просторі . Нехай при і при , . Тоді майже всюди. Але . Зворотне твердження також невірне.
- Якщо при , то існує підпослідовність , така що майже всюди.
- функції на числовій прямій можуть бути наближені гладкими функціями. Нехай — підмножина , що складається з нескінченно гладких функцій. Тоді всюди щільна в .
- — сепарабельний простір.
- Якщо — скінченна міра, наприклад, ймовірність, і , то . Зокрема , тобто випадкова величина зі скінченним другим має скінченний перший момент.
Простори спряжені Lp
Нехай є простором спряженим до (так званий копростір). За визначенням, елемент є лінійним функціоналом на .
Теорема 4. Якщо , то ізоморфний (пишемо ), де . Будь-який лінійний функціонал на має вигляд:
де .
Через симетрію рівняння сам простір є дуальним (з точністю до ізоморфізму) до , а отже:
Цей результат справедливий і для випадку , тобто . Проте і, зокрема .
Простори lp, 1 ≤ p ≤ ∞
Нехай , де — зліченна міра на , тобто . Тоді якщо , то й простір є множиною послідовностей , таких що
Відповідно, норма на цьому просторі задається
Одержаний нормований простір позначається .
Якщо , то ми розглядаємо простір обмежених послідовностей з нормою
Одержаний нормований простір позначається . Він є прикладом несепарабельного простору.
Як і в загальному випадку, поклавши , ми одержуємо гільбертів простір , норма якого породжена скалярним добутком
якщо послідовності комплекснозначні, і
якщо вони дійсні.
Простір, дуальний , де ізоморфний , .
Див. також
Література
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Prostorami L p displaystyle L p v matematici nazivayutsya prostori vimirnih funkcij yaki pri pidnesenni do stepenya p displaystyle p de p 1 displaystyle p geqslant 1 ye integrovnimi za Lebegom L p displaystyle L p najvazhlivishij klas banahovih prostoriv Okrim togo L 2 displaystyle L 2 klasichnij priklad gilbertovogo prostoru Pobudova prostoru LpViznachennya 1 Nehaj zadano prostir z miroyu X F m displaystyle X mathcal F mu Zafiksuyemo 1 p lt displaystyle 1 leqslant p lt infty i rozglyanemo mnozhinu vimirnih funkcij viznachenih na comu prostori takih sho X f x p m d x lt displaystyle int limits X f x p mu dx lt infty Poznachimo cyu mnozhinu L p X F m displaystyle mathcal L p X mathcal F mu abo prosto L p displaystyle mathcal L p Teorema 1 L p X F m displaystyle mathcal L p X mathcal F mu ye linijnim prostorom Dovedennya oderzhuyetsya z elementarnih vlastivostej integrala Lebega a takozh nerivnosti Minkovskogo Na comu linijnomu prostori mozhna vvesti napivnormu f p X f x p m d x 1 p displaystyle f p left int limits X f x p mu dx right frac 1 p Dodatnist i odnoridnist ye naslidkami vlastivostej integrala Lebega a nerivnist Minkovskogo ye nerivnistyu trikutnika dlya ciyeyi napivnormi Zamitka 1 Vvedena takim chinom napivnorma ne ye normoyu bo yaksho f x 0 displaystyle f x 0 majzhe vsyudi to f p 0 displaystyle f p 0 sho superechit vimogam do normi Shob peretvoriti prostir z napivnormoyu v prostir z normoyu neobhidno ototozhniti funkciyi sho rozriznyayutsya mizh soboyu lishe na mnozhini miri nul Viznachennya 2 Vvedemo na L p displaystyle mathcal L p vidnoshennya ekvivalentnosti f g displaystyle f sim g yaksho f x g x displaystyle f x g x majzhe vsyudi Ce vidnoshennya rozbivaye prostir L p displaystyle mathcal L p na klasi ekvivalentnosti prichomu napivnormi bud yakih dvoh predstavnikiv odnogo i togo zh klasu zbigayutsya Todi na pobudovanomu faktor prostori tobto mnozhini klasiv ekvivalentnosti L p displaystyle mathcal L p sim mozhna vvesti normu rivnu napivnormi bud yakogo predstavnika danogo klasu Za viznachennyam vsi aksiomi napivnormi zberezhutsya i dodatkovo cherez vikladenu pobudovu viyavlyayetsya vikonanoyu i dodatna viznachenist Viznachennya 3 Faktor prostir L p p displaystyle left mathcal L p sim cdot p right z pobudovanoyu na nomu normoyu nazivayetsya prostorom L p X F m displaystyle L p X mathcal F mu abo prosto L p displaystyle L p Pri 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt p lt 1 L p displaystyle L p ne utvoryuyut normovanogo prostoru oskilki ne vikonuyetsya nerivnist trikutnika tochnishe vikonuyetsya zvorotna nerivnist trikutnika pri 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt p lt 1 f g L p W W f x g x p d x 1 p W f x p d x 1 p W g x p d x 1 p displaystyle forall f g in L p Omega int limits Omega f x g x p dx frac 1 p geq int limits Omega f x p dx frac 1 p int limits Omega g x p dx frac 1 p prote utvoryuyut metrichni prostori Povnota prostoru LpVvedena vishe norma razom z linijnoyu strukturoyu porodzhuye metriku d f g f g p displaystyle d f g f g p a otzhe i ponyattya zbizhnosti Viznachennya 3 Nehaj ye poslidovnist funkcij f n n 1 L p displaystyle f n n 1 infty subset L p Todi cya poslidovnist zbigayetsya do funkciyi f L p displaystyle f in L p yaksho f n f p 0 displaystyle f n f p to 0 pri n displaystyle n to infty Teorema 2 Prostir L p displaystyle L p ye povnim tobto bud yaka fundamentalna poslidovnist L p displaystyle L p zbigayetsya do elementu cogo zh prostoru Takim chinom L p displaystyle L p banahiv prostir Prostir L2U vipadku p 2 displaystyle p 2 vvedena vishe norma porodzhuyetsya skalyarnim dobutkom Takim chinom razom z ponyattyam dovzhini tut maye sens i ponyattya kuta a otzhe i sumizhni ponyattya taki yak ortogonalnist proyekciya i in Viznachennya 4 Vvedemo na prostori L 2 displaystyle L 2 skalyarnij dobutok takim chinom f g X f x g x m d x displaystyle langle f g rangle int limits X f x overline g x mu dx u vipadku yaksho dani funkciyi kompleksnoznachni abo f g X f x g x m d x displaystyle langle f g rangle int limits X f x g x mu dx yaksho voni dijsni Todi ochevidno f 2 f f displaystyle f 2 sqrt langle f f rangle tobto norma porodzhuyetsya skalyarnim dobutkom Vikoristovuyuchi ce razom z rezultatom pro povnotu bud yakogo L p displaystyle L p oderzhuyemo Teorema 3 Prostir L 2 displaystyle L 2 gilbertiv Prostir L Rozglyanemo prostir L X F m displaystyle mathcal L infty X mathcal F mu vimirnih funkcij obmezhenih majzhe usyudi Ototozhnivshi mizh soboyu funkciyi sho rozriznyayutsya lishe na mnozhini miri nul i poklavshi za viznachennyam f e s s sup x X f x displaystyle f infty mathrm ess sup limits x in X f x oderzhuyemo banahiv prostir Metrika sho porodzhuyetsya ciyeyu normoyu nazivayetsya rivnomirnoyu Tak samo nazivayetsya i zbizhnist porodzhena takoyu metrikoyu f n f displaystyle f n to f u L displaystyle L infty yaksho e s s sup x X f n x f x 0 displaystyle mathrm ess sup limits x in X f n x f x to 0 pri n displaystyle n to infty Vlastivosti prostoriv LpIz zbizhnosti funkcij majzhe vsyudi ne viplivaye zbizhnist v prostori L p displaystyle L p Nehaj f n x n 1 p displaystyle f n x n 1 p pri x 0 1 n displaystyle x in 0 1 n i f n x 0 displaystyle f n x 0 pri x 1 n 1 displaystyle x in 1 n 1 f n L p displaystyle f n in L p Todi f n 0 displaystyle f n to 0 majzhe vsyudi Ale f n p p 0 1 f n p d m 1 displaystyle f n p p int 0 1 f n p d mu 1 Zvorotne tverdzhennya takozh nevirne Yaksho f n f p 0 displaystyle f n f p to 0 pri n displaystyle n to infty to isnuye pidposlidovnist f n k displaystyle f n k taka sho f n k f displaystyle f n k to f majzhe vsyudi L p displaystyle L p funkciyi na chislovij pryamij mozhut buti nablizheni gladkimi funkciyami Nehaj L C p R B R m displaystyle L C infty p mathbb R mathcal B mathbb R m pidmnozhina L p R B R m displaystyle L p mathbb R mathcal B mathbb R m sho skladayetsya z neskinchenno gladkih funkcij Todi L C p displaystyle L C infty p vsyudi shilna v L p displaystyle L p L p R B R m displaystyle L p mathbb R mathcal B mathbb R m separabelnij prostir Yaksho m displaystyle mu skinchenna mira napriklad jmovirnist i 1 p q displaystyle 1 leqslant p leqslant q leqslant infty to L q L p displaystyle L q subset L p Zokrema L 2 L 1 displaystyle L 2 subset L 1 tobto vipadkova velichina zi skinchennim drugim maye skinchennij pershij moment Prostori spryazheni LpNehaj L p displaystyle left L p right star ye prostorom spryazhenim do L p displaystyle L p tak zvanij koprostir Za viznachennyam element g L p displaystyle g in left L p right star ye linijnim funkcionalom na L p displaystyle L p Teorema 4 Yaksho 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty to L p displaystyle left L p right star izomorfnij L q displaystyle L q pishemo L p L q displaystyle left L p right star cong L q de 1 p 1 q 1 displaystyle 1 p 1 q 1 Bud yakij linijnij funkcional na L p displaystyle L p maye viglyad g f X f x g x m d x displaystyle g f int limits X f x tilde g x mu dx de g x L q displaystyle tilde g x in L q Cherez simetriyu rivnyannya 1 p 1 q 1 displaystyle 1 p 1 q 1 sam prostir L p displaystyle L p ye dualnim z tochnistyu do izomorfizmu do L q displaystyle L q a otzhe L p L p displaystyle left L p right star star cong L p Cej rezultat spravedlivij i dlya vipadku p 1 displaystyle p 1 tobto L 1 L displaystyle left L 1 right star L infty Prote L L 1 displaystyle left L infty right star not cong L 1 i zokrema L 1 L 1 displaystyle left L 1 right star star not cong L 1 Prostori lp 1 p Nehaj X F m N 2 N m displaystyle X mathcal F mu left mathbb N 2 mathbb N m right de m displaystyle m zlichenna mira na N displaystyle mathbb N tobto m n 1 n N displaystyle m n 1 forall n in mathbb N Todi yaksho p lt displaystyle p lt infty to j prostir L p N 2 N m displaystyle L p left mathbb N 2 mathbb N m right ye mnozhinoyu poslidovnostej x n n 1 displaystyle x n n 1 infty takih sho n 1 x n p lt displaystyle sum n 1 infty x n p lt infty Vidpovidno norma na comu prostori zadayetsya x p n 1 x n p 1 p displaystyle x p left sum limits n 1 infty x n p right frac 1 p Oderzhanij normovanij prostir poznachayetsya l p displaystyle l p Yaksho p displaystyle p infty to mi rozglyadayemo prostir obmezhenih poslidovnostej z normoyu x sup n N x n displaystyle x infty sup limits n in mathbb N x n Oderzhanij normovanij prostir poznachayetsya l displaystyle l infty Vin ye prikladom neseparabelnogo prostoru Yak i v zagalnomu vipadku poklavshi p 2 displaystyle p 2 mi oderzhuyemo gilbertiv prostir l 2 displaystyle l 2 norma yakogo porodzhena skalyarnim dobutkom x y n 1 x n y n displaystyle langle x y rangle sum n 1 infty x n overline y n yaksho poslidovnosti kompleksnoznachni i x y n 1 x n y n displaystyle langle x y rangle sum n 1 infty x n y n yaksho voni dijsni Prostir dualnij l p displaystyle l p de 1 p lt displaystyle 1 leqslant p lt infty izomorfnij l q displaystyle l q 1 p 1 q 1 displaystyle 1 p 1 q 1 Div takozhProstir Gardi In yektivnij metrichnij prostirLiteraturaKolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Trenogin V A Funkcionalnyj analiz M Nauka 1980 495 s