Мероморфні функції

У комплексному аналізі меромо́рфною фу́нкцією (від грец. μέρος — дріб, грец. ὅλος — вид) на підмножині ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$ називається функція, що є голоморфною, на множині ${\displaystyle \Omega }$, за винятком деякої множини особливих точок ${\displaystyle \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}}$, яка не має граничних точок і в кожній з яких функція має полюс (тобто ${\displaystyle \lim _{z\to a_{i}}|f(z)|=\infty }$ для всіх ${\displaystyle a_{i}}$). Оскільки множина особливих точок не має граничних точок, вона є не більш, ніж зліченною.

Гамма-функція мероморфна на всій комплексній площині

Будь-яку мероморфну функцію на підмножині ${\displaystyle \Omega }$ можна задати як частку між двома голоморфними функціями (зі знаменником не рівним нулю) визначених на ${\displaystyle \Omega }$. Отже, мероморфна функція — це відношення двох голоморфних функцій. Така функція буде голоморфною, окрім точок, де знаменник дробу обертається в нуль і значення функції прямує до нескінченності.

З алгебраїчної точки зору, якщо множина ${\displaystyle \Omega }$ зв'язна, тоді множина мероморфних функцій є полем часток множини голоморфних функцій на ${\displaystyle \Omega }$, яка є областю цілісності . Аналогічно встановлюється залежність між множиною ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ раціональних та ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ цілих чисел.

Відповідно мероморфною функцією на всій комплексній площині є частка будь-яких двох цілих функцій, тобто частки сум двох степеневих рядів, які збігаються у будь-якій точці.

Приклади

• Всі раціональні функції такі як

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},}$

є мероморфними на всій комплексній площині

• Функції ${\displaystyle f(z)={\frac {e^{z}}{z}},\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}}$ і дзета-функція Рімана є мероморфними функціями на всій комплексній площині із скінченною кількістю особливих точок. Функція ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\sin z}}\;}$ і гамма-функція є мероморфними на всій комплексній площині із нескінченною множиною полюсів.
• Функція ${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$ визначена на всій комплексній площині за винятком точки 0. Проте 0 не є полюсом цієї функції і вона не є мероморфною на всій комплексній площині. Звичайно вона є навіть голоморфною у області ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$.
• Логарифмічна функція ${\displaystyle f(z)=\ln(z)}$ не є мероморфною на всій комплексній площині, оскільки її неможливо однозначно визначити на всій комплексній площині за винятком деякої множини ізольованих точок.
• Функція ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}}$ не є мероморфною на всій комплексній площині, оскільки точка ${\displaystyle z=0}$ є граничною точкою полюсів функції. Функція ${\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}}$ теж не є мероморфною оскільки її особлива точка ${\displaystyle z=0}$ не є полюсом.
• Важливим класом мероморфних функцій є еліптичні функції.

Мероморфні функції на Ріманових поверхнях

Зважаючи на те, що кожна точка ріманової поверхні має окіл, який є гомеоморфним деякій відкритій підмножині комплексної площини, то поняття мероморфної функції є визначеним і на ріманових поверхнях.

На некомпактних ріманових поверхнях мероморфні функції теж є полем часток кільця голоморфних функцій. Для сфери Рімана множина мероморфних функцій рівна множині раціональних функцій. Вона, зрозуміло, не є полем часток голоморфних функцій на сфері Рімана, оскільки всі голоморфні функції є константами.

Будь-яка мероморфна функція ${\displaystyle f\in M(\Omega )}$ задає неперервне відображення ${\displaystyle f}$ області ${\displaystyle \Omega }$ у сферу Рімана ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$, яке є голоморфним відображенням відносно стандартної комплексної структури ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {C} P^{1}}$.

Навпаки, довільне голоморфне відображення ${\displaystyle {\bar {f}}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$, задає мероморфну функцію ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \Omega }$. Множина полюсів ${\displaystyle f}$ визначена як прообраз ${\displaystyle {\bar {f}}^{-1}(\infty )}$, а для інших точок у ${\displaystyle \Omega }$ функція ${\displaystyle f}$ задається рівністю ${\displaystyle f(z)={\bar {f}}(z).}$

Властивості

• Якщо задана дискретна підмножина ${\displaystyle \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}}$ (скінченна або зліченна) області ${\displaystyle \Omega }$ і в кожній точці ${\displaystyle a_{i}}$ — головна частина розкладу Лорана ${\displaystyle g_{i}(z)=\sum _{j=1}^{p_{i}}{\frac {c_{-j}^{(i)}}{(z-a_{i})^{j}}},}$ тоді згідно теореми Міттаг-Лефлера існує мероморфна функція для якої множина ${\displaystyle \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}}$ є множиною полюсів і в кожному полюсі ${\displaystyle a_{i}}$ головна частина розкладу в ряд Лорана рівна ${\displaystyle g_{i}(z).}$ Теорема Міттаг-Лефлера справедлива також для некомпактних ріманових поверхонь. На компактній рімановій поверхні (наприклад, на торі) потрібні додаткові умови узгодження головних частин.
• Пов'язаною є задача знаходжень мероморфних функцій з заданими разом з кратностями нулями і полюсами. Якщо задані дві дискретні підмножини ${\displaystyle \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}}$ і ${\displaystyle \{b_{1},\;b_{2},\;\ldots \}}$ разом із відповідними множинами натуральних чисел ${\displaystyle n_{i}}$ і ${\displaystyle m_{j}}$ то існує мероморфна функція з нулями кратностей ${\displaystyle n_{i}}$ в точках в ${\displaystyle a_{i}}$ і полюсами кратностей ${\displaystyle m_{j}}$ в точках ${\displaystyle b_{j}.}$ Дане твердження є наслідком теореми Вейєрштраса про цілі функції.

Див. також

• Голоморфна функція
• Раціональна функція
• Сфера Рімана
• Теорема Міттаг-Лефлера

Джерела

• Серж Ленг (1999), «Комплексний аналіз» (4 видання), Берлін, Нью-Йорк: Springer-Verlag,