Особлива точка функції

Особлива точка — точка голоморфної функції, в якій функція не визначена, її границя нескінченна або границі не існує.

Для багатозначних аналітичних функцій до особливих точок також відносять точки розгалужень.

Можливі дві класифікації особливих точок. Перша по теоретико-множинним властивостям:

• ізольована особлива точка — точка, для якої існує проколотий окіл, в якому ця функція аналітична.
• неізольована особлива точка — особлива точка, що не є ізольованою.

Види особливостей

• усувна особлива точка — точка, в якій функція не визначена, але границя функції існує і вона скінченна, отже, в цій точці функцію можна доповнити по неперервності.
• полюс — точка, в якій границя нескінченна. При розгляді функції як відображення не в комплексну площину, а на сферу Рімана, полюс не вважають особливою точкою (див. мероморфна функція).
• суттєво особлива точка — точка, в якій границя функції не визначена.

Особливі точки на ріманових поверхнях

Особливі точки також можна розглядати у голоморфних функцій, визначених на рімановіх поверхнях. Зокрема, якщо змінна z пробігає сферу Рімана, то особливість на нескінченності функції ${\displaystyle \ f(x)}$ визначається за степенем «особливості» точки 0 для функції ${\displaystyle F(w)=f\left({\frac {1}{w}}\right)}$.

Див. також

• Особлива точка кривої
• Особливість
• Лишок
• Ряд Лорана
• Аналітичне продовження

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)