Гомотопічна група

Гомотопічні групи — інваріант топологічних просторів, одне з основних понять алгебричної топології.

Неформально кажучи, вони класифікують відображення з багатовимірних сфер в заданий топологічний простір з точністю до неперервної деформації. Незважаючи на простоту означення, гомотопічні групи дуже складні в обчисленні, навіть для сфер. Це відрізняє їх від груп гомологій, які простіше обчислюються але складніше означаються. Найпростішим окремим випадком гомотопічних груп є фундаментальна група.

Фундаментальна група була введена Анрі Пуанкаре, вищі гомотопічні групи — Вітольдом Гуревичем. Незважаючи на простоту їх означення, обчислення конкретних груп (навіть для таких простих просторів, як багатовимірні сфери Sⁿ) часто є дуже важким завданням, причому загальні методи були отримані тільки в середині XX століття з появою .

Означення

Нехай ${\displaystyle X}$ — топологічний простір, ${\displaystyle x_{0}\in X}$; ${\displaystyle I^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — одиничний куб, тобто ${\displaystyle I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}}$, і ${\displaystyle \partial I^{n}}$ — границя цього куба, тобто множина точок куба, для яких ${\displaystyle t_{i}=0}$ або 1 для деякого ${\displaystyle i}$. Множина відносних гомотопічних класів ${\displaystyle [f]}$ неперервних відображень ${\displaystyle f\colon I^{n}\to X}$, для яких ${\displaystyle f(\partial I^{n})=x_{0}\in X}$ позначається ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ (причому ${\displaystyle \partial I^{n}}$ переходить в точку ${\displaystyle x_{0}}$ при всіх відображеннях і гомотопіях). Еквівалентно означення можна дати, як множину класів гомотопії відображень ${\displaystyle f:S^{n}\to X}$ із n-сфери ${\displaystyle S^{n}}$ із виділеною точкою ${\displaystyle s_{0}}$ для яких ${\displaystyle f(s_{0})=x_{0}}$ і всі гомотопії є відносними щодо ${\displaystyle s_{0}.}$

На цій множині класів гомотопії можна визначити добуток елементів:

${\displaystyle [f][g]=[f*g]}$,

де

${\displaystyle f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots t_{n})}$, якщо ${\displaystyle 0\leqslant t_{1}\leqslant {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots t_{n})}$, якщо ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\leqslant t_{1}\leqslant 1}$

Оскільки на границі куба ${\displaystyle f=g=x_{0}}$, то добуток є означеним коректно.

Еквівалентно в означенні добутку можна взяти будь-яку координату замість першої. Також еквівалентним є означення добутку на множині класів відносної гомотопії відображень ${\displaystyle f:S^{n}\to X}$ для яких ${\displaystyle f(s_{0})=x_{0},}$ яке є дане у статті H-простір для асоціативних H'-просторів із оберненими елементами, тобто ${\displaystyle [f][g]=\nabla (f\vee g)m.}$ Дійсно коло ${\displaystyle S^{1}}$є асоціативним H'-простором із оберненими елементами тому таким є і сфера ${\displaystyle S^{2}}$, оскільки (редукована надбудова) асоціативного H'-простору із оберненими елементами теж є таким простором, а ${\displaystyle S^{2}}$ є гомеоморфною редукованій надбудові ${\displaystyle S^{1}.}$ Далі оскільки кожна гіперсфера ${\displaystyle S^{n}}$ є гомеоморфною редукованій надбудові ${\displaystyle S^{n-1}}$ , то за індукцією всі ${\displaystyle S^{n}}$ є асоціативними H'-просторами із оберненими елементами і для них має зміст введене означення. Усі ці означення задають єдиний добуток на множині класів відносної гомотопії.

Легко перевірити, що ${\displaystyle [f*g]}$ залежить тільки від класу гомотопії ${\displaystyle [f]}$ і ${\displaystyle [g]}$. Цей добуток задовольняє всім аксіомам групи. У випадку ${\displaystyle n=1}$ одержується композиція замкнутих шляхів, отже, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ є фундаментальною групою. При n > 1 ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ називаються вищими гомотопічними групами.

Окрім того часто ${\displaystyle \pi _{0}(X,x_{0})}$ позначається множина класів гомотопії відображень ${\displaystyle f\colon S^{0}\to X}$ тобто відображень із двохелементної множини у X. Множина ${\displaystyle \pi _{0}(X,x_{0})}$ є рівною множині лінійних компонент зв'язності простору X. На ній загалом не існує змістовної групової структури, тому ${\displaystyle \pi _{0}(X,x_{0})}$ не розглядається як гомотопічна група але вона має деякі спільні властивості із гомотопічними групами.

Неперервному відображенню просторів із виділеними точками ${\displaystyle F\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$ відповідає гомоморфізм ${\displaystyle F_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(Y,y_{0})}$, причому це відповідність є функторіальною, тобто композиції неперервних відображень відповідає добуток гомоморфізмів гомотопічних груп ${\displaystyle (FG)_{*}=F_{*}G_{*}}$, а тотожному відображенню відповідає тотожний гомоморфізм ${\displaystyle (id)_{*}=id_{*}}$. Якщо відображення ${\displaystyle F}$ є гомотопним ${\displaystyle G}$, то ${\displaystyle F_{*}=G_{*}}$.

Залежність від початкової точки

На відміну від гомологічних груп ${\displaystyle H_{n}(X)}$, у визначенні гомотопічних груп ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ важливою є виділена точка ${\displaystyle x_{0}}$. Нехай ${\displaystyle x_{0}}$ і ${\displaystyle x_{1}}$ є двома точками, що належать одній компоненті лінійної зв'язності простору ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle \gamma }$ є шляхом між цими двома точками. Тоді цей шлях породжує гомоморфізми ${\displaystyle \gamma _{\#}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(X,x_{1})}$із такими властивостями:

• Якщо два шляхи ${\displaystyle \gamma }$ і ${\displaystyle \delta }$ є гомотопними відносно 0 і 1, то як гомоморфізми ${\displaystyle \gamma _{\#}=\delta _{\#}}$
• Якщо позначити ${\displaystyle i_{x_{0}}}$ — тотожний шлях (тобто ${\displaystyle i_{x_{0}}(t)=x_{0}}$, ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1}$) тоді ${\displaystyle (i_{x_{0}})_{\#}}$ є тотожним гомоморфізмом
• Якщо ${\displaystyle x_{2}}$ є ще однією точкою у тій же компоненті зв'язності і ${\displaystyle \beta }$ є шляхом від ${\displaystyle x_{1}}$ до ${\displaystyle x_{2}}$, а ${\displaystyle \gamma \cdot \beta }$ позначає добуток шляхів (який є шляхом від ${\displaystyle x_{0}}$ до ${\displaystyle x_{2}}$), то ${\displaystyle (\gamma \cdot \beta )_{\#}=\beta _{\#}\circ \gamma _{\#}}$
• Якщо ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ є неперервним відображенням просторів для якого ${\displaystyle F(x_{0})=y_{0}}$, ${\displaystyle F(x_{1})=y_{1}}$ і ${\displaystyle F_{*}}$ позначає породжені гомоморфізми гомотопічних груп у відповідних виділених точках, то ${\displaystyle F_{*}\circ \gamma _{\#}=(F\circ \gamma )_{\#}\circ F_{*}}$ як гомоморфізми із ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ у ${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0}).}$

Зокрема, якщо ${\displaystyle x_{0}=x_{1}}$ то петлі із базовою точкою ${\displaystyle x_{0}}$ породжують автоморфізми на групах ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$, тобто ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ є групою автоморфізмів для всіх гомотопічних груп. Важливими є випадки коли всі такі автоморфізми для ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ є тотожними. Іноді простір для якого це виконується для всіх точок називається ${\displaystyle n}$-простим. У такому просторі всі групи ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ незалежно від виділеної точки є ізоморфними. Для лінійно зв'язаного простору умову достатньо перевірити лише для однієї виділеної точки. Окрім того для лінійно зв'язаного ${\displaystyle n}$-простого простору елементи групи ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ є у бієктивній відповідності із класами гомотопії (не відносно виділених точок) відображень ${\displaystyle f\colon S^{n}\to X}$.

Прикладами лінійно зв'язаних просторів, що є ${\displaystyle n}$-простими є однозв'язні простори і лінійно зв'язані H-простори (не обов'язково асоціативні чи з оберненими елементами). Відповідно для таких просторів всі гомотопічні групи для різних виділених точок є ізоморфними.

Властивості

• Тоді як фундаментальна група ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ в загальному випадку є неабелевою, для всіх ${\displaystyle n>1}$ групи ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ є абелевими, тобто ${\displaystyle [f][g]=[g][f]}$.
• Якщо ${\displaystyle p\colon ({\tilde {X}},{\tilde {x}}_{0})\to (X,x_{0})}$ є проєкцією із накриття простору, то породжений гомоморфізм гомотопічних груп ${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{n}({\tilde {X}},{\tilde {x}}_{0})\to \pi _{(}X,x_{0})}$ є ізоморфізмом для всіх ${\displaystyle n\geqslant 2.}$
• Для ${\displaystyle n\geqslant 1}$ для тензорних добутків виконується рівність ${\displaystyle \pi _{n}(X\times Y)\cong \pi _{n}(X)\oplus \pi _{n}(Y).}$
• Для ${\displaystyle n\geqslant 2}$ для букету просторів виконується рівність ${\displaystyle \pi _{n}(X\wedge Y)\cong \pi _{n}(X)\oplus \pi _{n}(Y)\oplus \pi _{n+1}(X\times Y,X\wedge Y),}$ де в останньому добутку є відносна гомотопічна група.
• Теорема Гуревича: Для будь-якого лінійно зв'язаного топологічного простору X і додатного числа ${\displaystyle n}$ існує гомоморфізм груп ${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),}$ який для ${\displaystyle n\geqslant 2}$ у випадку, якщо ${\displaystyle \pi _{i}(X)\cong 0,\quad 1\leq i\leq n-1}$ є ізоморфізмом.

Приклади

• Для ${\displaystyle 0<k<n}$ гомотопічні групи ${\displaystyle \pi _{k}(S^{n})=0}$, для ${\displaystyle k=n}$ натомість ${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} .}$ Для гомотопічних груп із ${\displaystyle k>n}$ усі ${\displaystyle \pi _{k}(S^{n})}$ є скінченними групами за винятком груп виду ${\displaystyle \pi _{4k-1}(S^{2k})}$ які є прямими сумами ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ і скінченних груп. Також для кожного числа ${\displaystyle k}$ існує ${\displaystyle n_{0}}$ таке, що для всіх ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$ групи ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$ є ізоморфними.
• Для просторів X, які мають стягуване універсальне накриття ${\displaystyle \pi _{n}(X)=0}$ для ${\displaystyle n\geqslant 2.}$ Наприклад для тора ${\displaystyle T^{n}}$ (добутку n кіл) універсальним накриттям є ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ тож ${\displaystyle \pi _{n}(T^{n})=0}$ для ${\displaystyle n\geqslant 2.}$ Натомість фундаментальна група є вільною абелевою групою рангу ${\displaystyle n}$.

Відносні гомотопічні групи

Означення

Відносні гомотопічні групи визначаються для простору ${\displaystyle X}$, його підпростору ${\displaystyle A\subset X}$ і виділеної точки ${\displaystyle x_{0}\in A}$. Нехай ${\displaystyle I^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — одиничний куб (${\displaystyle I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})\colon 0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}}$), ${\displaystyle \partial I^{n}}$ — границя цього куба, a ${\displaystyle I^{n-1}\subset \partial I^{n}}$ — грань куба, яка визначається рівнянням ${\displaystyle t_{n}=0}$. Множина гомотопічних класів ${\displaystyle [f]}$ неперервних відображень ${\displaystyle f\colon I^{n}\to X}$, для яких ${\displaystyle f\colon I^{n-1}\to A}$ і на інших гранях ${\displaystyle f\colon \partial I^{n}\setminus \operatorname {Int} (I^{n-1})\to x_{0}}$ позначається ${\displaystyle \pi _{n}(X,A,x_{0})}$ (зокрема ${\displaystyle I^{n-1}}$ переходить в ${\displaystyle A}$, а ${\displaystyle \partial I^{n}\setminus \operatorname {Int} (I^{n-1})}$ в точку ${\displaystyle x_{0}}$ при всіх відображеннях і гомотопіях).

При ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ця множина утворює групу — відносну гомотопічну групу порядку ${\displaystyle n}$. Добуток, як і вище, задається як

${\displaystyle [f][g]=[f*g]}$,

де

${\displaystyle f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots t_{n})}$, якщо ${\displaystyle 0\leqslant t_{1}\leqslant {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots t_{n})}$, якщо ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\leqslant t_{1}\leqslant 1}$.

При усіх гомотопіях у цих означеннях, як і вище ${\displaystyle I^{n-1}}$ переходить в ${\displaystyle A}$, а ${\displaystyle \partial I^{n}\setminus \operatorname {Int} (I^{n-1})}$ в точку ${\displaystyle x_{0}}$. Еквівалентно можна дати означення із використанням усіх координат окрім ${\displaystyle t_{n}.}$

Властивості

Можна дати еквівалентне означення відносних гомотопічних груп розглянувши відображення вкладення ${\displaystyle i\colon A\to X}$ і його простір шляхів відображення ${\displaystyle L_{i}.}$ Цей простір є підпростором добутку ${\displaystyle A\times LB,}$ де ${\displaystyle a\times \lambda \in L_{i}}$ якщо ${\displaystyle \lambda (0)=a}$. Тут ${\displaystyle LB}$ позначає простір шляхів простору ${\displaystyle X}$, тобто його елементами є неперервні відображення ${\displaystyle \lambda \colon I\to B}$ для яких ${\displaystyle \lambda (1)=x_{0}}$ (подібно до простору петель) із компактно-відкритою топологією. Виділеною точкою у ${\displaystyle L_{i}}$ є ${\displaystyle x_{0}\times \lambda _{0}}$, де ${\displaystyle \lambda _{0}}$ є тотожним відображенням із значенням ${\displaystyle x_{0}}$. Тоді ${\displaystyle \pi _{n}(X,A,x_{0})=\pi _{n-1}(L_{i},(x_{0},\lambda _{0}))}$ тобто відносна гомотопічна група є ізоморфною звичайній гомотопічній групі відповідного простору шляхів відображення із порядком на одиницю меншим. Також можна розглянути множину ${\displaystyle \pi _{1}(X,A,x_{0})=\pi _{0}(L_{i},(x_{0},\lambda _{0})),}$ яка загалом не буде групою.

Неперервному відображенню пар просторів із виділеними точками ${\displaystyle F\colon (X,A,x_{0})\to (Y,B,y_{0})}$ відповідає гомоморфізм ${\displaystyle F_{*}\colon \pi _{n}(X,A,x_{0})\to \pi _{n}(Y,B,y_{0})}$, причому це відповідність є функторіальною, тобто композиції неперервних відображень відповідає добуток гомоморфізмів гомотопічних груп ${\displaystyle (FG)_{*}=F_{*}G_{*}}$, а тотожному відображенню відповідає тотожний гомоморфізм ${\displaystyle (id)_{*}=id_{*}}$. Якщо відображення ${\displaystyle F}$ є гомотопним до ${\displaystyle G}$, як відображення пар із виділеними точками, то ${\displaystyle F_{*}=G_{*}}$.

Якщо ${\displaystyle n\geqslant 3}$ то ${\displaystyle \pi _{n}(X,A,x_{0})}$ є абелевою групою.

Точна гомотопічна послідовність

Вкладення ${\displaystyle i\colon (A,x_{0})\to (X,x_{0})}$ індукує гомоморфізм ${\displaystyle i_{*}\colon \pi _{n}(A,x_{0})\to \pi _{n}(X,x_{0})}$, а вкладення ${\displaystyle j\colon (X,x_{0})\to (X,A,x_{0})}$ (тут ${\displaystyle (X,x_{0})}$ слід розуміти як ${\displaystyle (X,x_{0},x_{0})}$), індукує гомоморфізм ${\displaystyle j_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(X,A,x_{0})}$. Будь-який елемент ${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X,A,x_{0})}$ визначається відображенням ${\displaystyle f}$, яке, зокрема, переводить ${\displaystyle I^{n-1}}$ в ${\displaystyle A}$, причому на ${\displaystyle \partial I^{n-1}}$ f тотожно дорівнює ${\displaystyle x_{0}}$, визначаючи елемент з ${\displaystyle \pi _{n-1}(A,x_{0})}$. Таким чином ми отримуємо відображення ${\displaystyle \partial \pi _{n}(X,A,x_{0})\to \pi _{n-1}(A,x_{0})}$, яке є гомоморфізмом. Ми маємо таку послідовність груп і гомоморфізмів:

${\displaystyle \dots ~{\longrightarrow }\pi _{n}(A,x_{0}){\stackrel {i_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,x_{0}){\stackrel {j_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,A,x_{0}){\stackrel {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\pi _{n-1}(A,x_{0}){\longrightarrow }~\dots }$

Ця послідовність є точною, тобто образ будь-якого гомоморфізму збігається з ядром наступного гомоморфізму. Звідси в разі, коли ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})=0}$ для всіх ${\displaystyle n\geqslant 1}$, граничний гомоморфізм ${\displaystyle \partial \colon \pi _{n+1}(X,A,x_{0})\to \pi _{n}(A,x_{0})}$ буде ізоморфізмом.

Див. також

• Гомотопія
• Теорема Гуревича
• Фундаментальна група

Література

• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN , архів оригіналу за 20 лютого 2012, процитовано 11 вересня 2020. Section 3.C
• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 
• Whitehead, George W. (1978), Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 61, Springer-Verlag, ISBN