Розклад Жордана — Шевальє

Розкладом Жордана — Шевальє у лінійній алгебрі називається розклад лінійного ендоморфізму скінченновимірного простору (чи, еквівалентно, матриці цього перетворення для деякого вибраного базису простору) як суми чи, у випадку автоморфізмів, добутку простіших складових, а саме напівпростих, нільпотентних чи, у випадку автоморфізмів, уніпотентних операторів. Розклад Жордана — Шевальє особливо легко отримати для матриць записаних у жордановій нормальній формі.

Більш загально означення даного розкладу можна поширити на випадок так званих локально скінченних ендоморфізмів векторних просторів. Цей факт, а також те, що компоненти розкладу є многочленами від ендоморфізму робить розклад Жордана — Шевальє важливим інструментом у теорії лінійних алгебричних груп.

Означення

Адитивний розклад Жордана — Шевальє

Адитивний розклад Жордана — Шевальє ендоморфізму ${\displaystyle g}$ скінченновимірного векторного простору — запис цього ендоморфізму у вигляді суми напівпростого і нільпотентного ендоморфізмів, що комутують між собою: ${\displaystyle g=g_{s}+g_{n}}$. Ендоморфізми ${\displaystyle g_{s}}$ і ${\displaystyle g_{n}}$ називаються відповідно напівпростою і нільпотентною компонентами розкладу Жордана — Шевальє ендоморфізму ${\displaystyle g}$.

Якщо в деякому базисі простору матриця ${\displaystyle (a_{ij})}$ ендоморфізму ${\displaystyle g}$ є жордановою матрицею, а ${\displaystyle t}$ — такий ендоморфізм, що в тому ж базисі його матриця має вигляд ${\displaystyle (b_{ij})}$, де ${\displaystyle b_{ij}=0}$ при всіх ${\displaystyle i\neq j}$ і ${\displaystyle b_{ii}=a_{ii}}$ для всіх ${\displaystyle i}$, то розклад Жордана — Шевальє ендоморфізму матиме вигляд ${\displaystyle g=t+(g-t)}$, тобто ${\displaystyle g_{s}=t}$ і ${\displaystyle g_{n}=g-t}$.

Мультиплікативний розклад Жордана — Шевальє

Якщо ${\displaystyle g}$ — автоморфізм простору ${\displaystyle V}$, то ${\displaystyle g_{s}}$ — також автоморфізм ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s}}$ де ${\displaystyle g_{u}=1_{V}+g_{s}^{-1}g_{n}}$ і ${\displaystyle 1_{V}}$ позначає тотожний автоморфізм простору ${\displaystyle V}$. Автоморфізм ${\displaystyle g_{u}}$ є уніпотентним, тобто всі його власні значення дорівнюють одиниці. Будь-яке представлення автоморфізму ${\displaystyle g}$ у вигляді добутку комутуючих напівпростого і уніпотентного автоморфізмів збігається з описаним поданням ${\displaystyle g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s}}$. Воно називається мультиплікативним розкладом Жордана — Шевальє автоморфізму ${\displaystyle g}$, a ${\displaystyle g_{s}}$ і ${\displaystyle g_{u}}$ — напівпростою і уніпотентною компонентою автоморфізму ${\displaystyle g}$.

Властивості

• Для будь-якого ендоморфізму ${\displaystyle g}$ векторного простору ${\displaystyle V}$ над алгебрично замкнутим полем ${\displaystyle K}$ (і, більш загально, над довільним досконалим полем) розклад Жордана — Шевальє існує і є єдиним.
• Для напівпростої і нільпотентної компоненти ендоморфізму ${\displaystyle g}$ справедливими є рівності ${\displaystyle g_{s}=P(g)}$ і ${\displaystyle g_{n}=Q(g)}$ для деяких многочленів ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$ над полем ${\displaystyle K}$ з нульовими вільними членами.

Нехай ${\displaystyle a_{i}}$ — різні власні значення автоморфізму ${\displaystyle g}$ із алгебричною кратністю. Тоді характеристичний многочлен ендоморфізму можна записати як ${\displaystyle S(x)=\prod (x-a_{i})^{n_{i}}}$.

Позначимо також ${\displaystyle V_{i}=\{v\in V:(g-a_{i}I)_{i}^{n}v=0\}}$. Підпростори ${\displaystyle V_{i}}$ є стабільними щодо ендоморфізму ${\displaystyle g}$ і весь простір є їх прямою сумою, що легко можна побачити перевівши матрицю перетворення до жорданової нормальної форми.

Згідно з китайською теоремою про залишки для многочленів, існує многочлен ${\displaystyle P\in K[x]}$, для якого:

${\displaystyle P(x)\equiv 0(\operatorname {mod} x),\;\;P(x)\equiv a_{i}(\operatorname {mod} (x-a_{i})^{n_{i}}),\;\forall i}$.

Позначимо ${\displaystyle g_{s}=P(g)}$. Тоді для ${\displaystyle v\in V_{i}}$ отримуємо ${\displaystyle g_{s}v=(a_{i}I+P_{i}(g)(g-a_{i}I)_{i}^{n})v=a_{i}v}$. Тому ${\displaystyle V_{i}}$ є власним простором для власного вектора ${\displaystyle a_{i}}$ і загалом для ендоморфізму існує базис із власних векторів. Тобто ${\displaystyle g_{s}}$ є напівпростим і рівний многочлену від ${\displaystyle g}$ з нульовим вільним членом. Також вибравши базис при якому матриця ${\displaystyle g}$ має жорданову нормальну форму отримуємо, що матриця ${\displaystyle g_{s}}$ є діагональною із діагоналлю рівною діагоналі матриці ${\displaystyle g}$. Тому ${\displaystyle g-g_{s}}$ є жордановою матрицею з нульовою діагоналлю і тому нільпотентною. Отож ${\displaystyle g_{n}=g-g_{s}}$ буде нільпотентним оператором і також можна взяти ${\displaystyle Q(x)=x-P(x)}$. Таким чином отримані напівпрості і нільпотентні компоненти і відповідні многочлени. Оскільки ${\displaystyle g_{n}}$ і ${\displaystyle g_{s}}$ є многочленами від ${\displaystyle g}$ то вони комутують між собою.

Для доведення єдиності розкладу припустимо, що ${\displaystyle g=g_{s}+g_{n}=h_{s}+h_{n}}$. Оскільки всі ендоморфізми ${\displaystyle g_{s},g_{n},h_{s},h_{n}}$ є многочленами від ${\displaystyle g}$ то вони комутують між собою. Звідси ${\displaystyle g_{s}-h_{s}=g_{n}-h_{n}}$ є одночосно напівпростим і нільпотентним оператором, тобто рівним нулю, що завершує доведення єдиності.

• Якщо ${\displaystyle W}$ — підпростір у ${\displaystyle V}$ інваріантний щодо ${\displaystyle g}$ , то ${\displaystyle W}$ є інваріантним також і щодо ${\displaystyle g_{s}}$ і ${\displaystyle g_{n}}$, і до того ж ${\displaystyle g|_{W}=g_{s}|_{W}+g_{n}|_{W}}$ є розкладом Жордана — Шевальє для ${\displaystyle g|_{W}}$ (тут ${\displaystyle g|_{W}}$ позначає обмеження ендоморфізму на підпростір ${\displaystyle W}$). Якщо ${\displaystyle g}$ є автоморфізмом, то ${\displaystyle W}$ є інваріантним також і щодо ${\displaystyle g_{u}}$ і ${\displaystyle g|_{W}=g_{s}|_{W}g_{u}|_{W}}$ — мультиплікативний розклад Жордана — Шевальє автоморфізму ${\displaystyle g|_{W}}$.
• Якщо ${\displaystyle k}$ — підполе в ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle g}$ є раціональним над ${\displaystyle k}$ (щодо деякої ${\displaystyle k}$-структури на ${\displaystyle V}$), то ${\displaystyle g_{s}}$ і ${\displaystyle g_{n}}$ не будуть, взагалі кажучи, раціональними над ${\displaystyle k}$; можна лише стверджувати, що ${\displaystyle g_{s}}$ і ${\displaystyle g_{n}}$ є раціональними над полем ${\displaystyle k^{p^{-\infty }}}$, де , ${\displaystyle p}$ — характеристична експонента поля ${\displaystyle k}$ (для полів характеристики 0 ${\displaystyle k^{p^{-\infty }}}$ є рівним полю ${\displaystyle k}$, в іншому випадку — це множина всіх елементів з ${\displaystyle K}$, що є чисто несепарабельними над ${\displaystyle k}$).
• Якщо ${\displaystyle g}$ є раціональним автоморфізмом над ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle g_{s}}$ і ${\displaystyle g_{u}}$ є раціональними над ${\displaystyle k}$.
• Якщо ${\displaystyle gh=hg,\;\;g,h\in \operatorname {End} (V)}$, то ${\displaystyle (g+h)_{s}=g_{s}+h_{s},\;(g+h)_{n}=g_{n}+h_{n}}$.
• Якщо ${\displaystyle gh=hg,\;\;g,h\in \operatorname {GL} (V)}$, то ${\displaystyle (gh)_{s}=g_{s}h_{s},\;(gh)_{u}=g_{u}h_{u}}$.
• Якщо ${\displaystyle g=g_{s}g_{u}}$ і ${\displaystyle h=h_{s}h_{u}}$ — розклади Жордана — Шевальє, то ${\displaystyle g\oplus h=(g_{s}\oplus h_{s})(g_{u}\oplus h_{u})}$ і ${\displaystyle g\otimes h=(g_{s}\otimes h_{s})(g_{u}\otimes h_{u})}$ є розкладами Жордана — Шевальє відповідних лінійних відображень.

Локально скінченні ендоморфізми

Поняття розкладу Жордана — Шевальє може бути узагальнене на локально скінченні ендоморфізми нескінченновимірного векторного простору ${\displaystyle V}$, тобто ендоморфізми ${\displaystyle g}$, що ${\displaystyle V}$ породжується скінченновимірними ${\displaystyle g}$-інваріантними підпросторами. Для ${\displaystyle g}$ є справедливими твердження про існування і єдиність подання у вигляді суми ${\displaystyle g_{s}+g_{n}}$ (а для автоморфізмів також у вигляді добутку ${\displaystyle g_{s}g_{u}}$), комутуючих локально скінченних напівпростого і нільпотентного ендоморфізмів (відповідно напівпростого і уніпотентного автоморфізмів), тобто таких ендоморфізмів, що будь-який скінченновимірний ${\displaystyle g}$-інваріантний підпростір ${\displaystyle W}$ у ${\displaystyle V}$ є інваріантним щодо ${\displaystyle g_{s}}$ і ${\displaystyle g_{n}}$ (відповідно ${\displaystyle g_{s}}$ і ${\displaystyle g_{u}}$) ${\displaystyle g|_{W}=g_{s}|_{W}+g_{n}|_{W}}$ (відповідно ${\displaystyle g|_{W}=g_{s}|_{W}g_{u}|_{W}}$) є розкладом Жордана — Шевальє для ${\displaystyle g|_{W}}$.

Лінійні алгебричні групи і алгебри Лі

Зазначене розширення поняття розкладу Жордана — Шевальє на локально скінченні ендоморфізми дозволяє ввести означення розкладу Жордана — Шевальє в алгебричних групах і алгебричних алгебрах Лі. Нехай ${\displaystyle G}$ — лінійна алгебрична група над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — її алгебра Лі, ${\displaystyle \rho }$ — представлення ${\displaystyle G}$ в групі автоморфізмів алгебри ${\displaystyle K[G]}$ регулярних функцій на ${\displaystyle G}$, задане правими зсувами, і ${\displaystyle \mathrm {d} \rho }$ — його диференціал. Для будь-яких ${\displaystyle g\in G}$ і ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ендоморфізми ${\displaystyle \rho (g)}$ і ${\displaystyle \mathrm {d} \rho (X)}$ векторного простору ${\displaystyle K[G]}$ є локально скінченними, тому можна говорити про їх розклад Жордана — Шевальє: ${\displaystyle \rho (g)=\rho (g)_{s}\rho (g)_{u}}$ і ${\displaystyle \mathrm {d} \rho (X)=\mathrm {d} \rho (X)_{s}+\mathrm {d} \rho (X)_{n}}$.

Один з важливих результатів теорії алгебричних груп полягає в тому, що зазначені розклади Жордана — Шевальє реалізуються за допомогою елементів з ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ відповідно. Точніше, існують однозначно визначені елементи ${\displaystyle g_{s},g_{u}\in G}$ і ${\displaystyle X_{s},X_{n}\in {\mathfrak {g}}}$ такі, що

${\displaystyle g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s},\;X=X_{s}+X_{n},\;\;[X_{s},X_{n}]=0}$

і для цих елементів:

${\displaystyle \rho (g_{s})=\rho (g)_{s},\;\rho (g_{u})=\rho (g)_{u}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \rho (X_{s})=\mathrm {d} \rho (X)_{s},\;\mathrm {d} \rho (X_{n})=\mathrm {d} \rho (X)_{n}}$.

Ці розклади називаються відповідно розкладом Жордана — Шевальє в алгебричній групі ${\displaystyle G}$ і розкладом Жордана — Шевальє в алгебричній алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Якщо ${\displaystyle G}$ є визначеною над підполем ${\displaystyle k}$ поля ${\displaystyle K}$ і елемент ${\displaystyle g\in G}$(відповідно ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$) є раціональним над ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle g_{s},\;g_{u}}$ (відповідно ${\displaystyle X_{s},\;X_{n}}$) є раціональними над ${\displaystyle k^{p^{-\infty }}}$.

Якщо група ${\displaystyle G}$ реалізована як замкнута підгрупа загальної лінійної групи ${\displaystyle GL(V)}$ автоморфізмів деякого скінченновимірного векторного простору ${\displaystyle V}$ [і, отже, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ реалізується як підалгебра в алгебрі Лі групи ${\displaystyle GL(V)}$), то розклад Жордана — Шевальє для елемента ${\displaystyle g\in G}$ збігається з введеним вище мультиплікативним розкладом Жордана — Шевальє для ${\displaystyle g}$ як автоморфізму простору ${\displaystyle V}$, а розклад ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ як елемента алгебри Лі з адитивним розклад Жордана — Шевальє для ${\displaystyle X}$, як ендоморфізму простору ${\displaystyle V}$.

Якщо ${\displaystyle \varphi }$ — раціональний гомоморфізм афінних алгебричних груп і ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi }$ — відповідний гомоморфізм їх алгебр Лі, то

${\displaystyle \varphi (g_{s})=\varphi (g)_{s},\;\;\varphi (g_{u})=\varphi (g)_{u}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi (X_{s})=\mathrm {d} \varphi (X)_{s},\;\;\mathrm {d} \varphi (X_{n})=\mathrm {d} \varphi (X)_{n}}$

для будь-яких ${\displaystyle g\in G,\;X\in {\mathfrak {g}}}$.

Поняття розкладу Жордана — Шевальє в алгебричних групах і алгебрах Лі дозволяє ввести означення напівпростого, уніпотентного (відповідно нільпотентного) елементів в довільній афінній алгебричній групі (відповідно алгебричній алгебрі Лі). Елемент ${\displaystyle g\in G}$ називається напівпростим, якщо ${\displaystyle g=g_{s}}$, і уніпотентним, якщо ${\displaystyle g=g_{u}}$. Елемент ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ називається напівпростим, якщо ${\displaystyle X=X_{s}}$ і нільпотентним, якщо${\displaystyle X=X_{n}}$.

Нехай ${\displaystyle G}$ визначена над ${\displaystyle k}$, тоді ${\displaystyle G_{u}=\{g\in G:g=g_{u}\}}$ є ${\displaystyle k}$-замкнутою підмножиною в ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}=\{X\in {\mathfrak {g}}:X=X_{n}\}}$ — ${\displaystyle k}$-замкнутою підмножиною в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

У загальному випадку ${\displaystyle G_{s}=\{g\in G:g=g_{s}\}}$ не є замкнутим множиною, але якщо ${\displaystyle G}$ є комутативною, то ${\displaystyle G_{s}}$ і ${\displaystyle G_{u}}$ є замкнутими підгрупами і ${\displaystyle G=G_{s}\times G_{u}}$. Множини ${\displaystyle G_{s}}$ і ${\displaystyle G_{u}}$ в довільній афінній алгебричній групі інваріантні щодо внутрішніх автоморфізмів.

Див. також

• Алгебрична група
• Жорданова нормальна форма
• Напівпростий лінійний оператор
• Нільпотентна матриця
• Уніпотентна матриця
• Уніпотентний елемент

Література

• Humphreys, James E. (1981), Linear Algebraic Groups, Graduate texts in mathematics, т. 21, Springer, ISBN 
• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (вид. 2nd), New York: Birkhäuser, ISBN , MR 1642713