Задача Бернсайда

Зада́ча Бернса́йда — математична задача в галузі комбінаторики, сформульована Вільямом Бернсайдом у 1902 році. Має наступне формулювання: Чи є ^[en] , кожен елемент якої має скінченний порядок, обов'язково скінченною групою.

Вона стала однією з найстаріших проблем у теорії груп, що мала дуже важливий вплив на розвиток комбінаторної теорії груп. Відомо, що це питання має негативну відповідь, оскільки у 1964 році ^[en] та Ігор Шафаревич навели контрприклад. Задача має багато уточнень та варіантів (див. обмеження та послаблення нижче), які відрізняються додатковими умовами, що накладаються на порядок елементів груп та деякі з цих варіантів досі є ^[en].

Теорія груп.

Коротка історія

Початкова робота вказувала на те, що гіпотеза має справджуватися. Наприклад, якщо група ${\displaystyle G}$ є скінченно породженою і порядок кожного елемента групи ${\displaystyle G}$ є дільником 4, то група ${\displaystyle G}$ є скінченною. Крім того, у 1958 році ^[en] вдалося довести, що серед скінченних груп з заданою кількістю генераторів і заданим простим степенем існує найбільша група. Це дає розв'язок послабленої задачі Бернсайда для випадку групи простого степеня. (Пізніше, у 1989 році, Єфиму Зельманову вдалося розв'язати послаблену задачу Бернсайда для групи довільного степеня.) У 1911 році ^[en] довів, що будь-яка скінченно породжена періодична група, яка є підгрупою групи невироджених ${\displaystyle n\times n}$ комплексних матриць, буде скінченною. Він використав цю теорему для доведення ^[en].

Тим не менш, загальна відповідь щодо гіпотези Бернсайда виявилася негативною. У 1964 році Голод і Шафаревич побудували нескінченну групу типу Бернсайда без припущення, що всі елементи мають рівномірно обмежений порядок. У 1968 році ^[en] і Сергій Адян запропонували контрприклад для задачі з обмеженим степенем для всіх непарних степенів більших за 4381. У 1982 році ^[en] знайшов декілька вражаючих контрприкладів для достатньо великих непарних степенів (більших за ${\displaystyle 10^{10}}$) і представив значно простіше доведення з використанням геометричних ідей.

Випадок парних степенів виявився значно важчим. У 1992 році С.В. Іванов анонсував, що задача не має розв'язку для достатньо великих степенів, кратних великим степеням двійки (детальні доведення були опубліковані в 1994 році і займали близько 300 сторінок). Пізніше у спільний роботі Ольшанський та Іванов представили негативний розв'язок до аналогічної задачі Бернсайда для гіперболічних груп, де степінь значно більший. Результатів у випадках, коли степінь групи малий і відрізняється від 2, 3, 4 і 6, відомо дуже мало.

Загальна задача Бернсайда

Група ${\displaystyle G}$ називається періодичною, якщо кожен елемент має скінченний порядок; іншими словами, для кожного ${\displaystyle g}$ в групі ${\displaystyle G}$ існує деяке додатне ціле число ${\displaystyle n}$ таке, що ${\displaystyle g^{n}=1}$. Очевидно, кожна скінченна група є періодичною. Існують легко визначні групи, такі як ${\displaystyle p^{\infty }}$-група, які є нескінченними періодичними групами; але остання група не може бути скінченно породженою.

Загальна задача Бернсайда.

Якщо група ${\displaystyle G}$ є скінченно породженою і періодичною, то чи обов'язково вона скінченна?

Негативну відповідь на це питання отримали в 1964 році ^[en] та Ігор Шафаревич, які навели приклад нескінченної p-групи, яка є скінченно породженою (див. ^[en]). Однак, порядки елементів цієї групи не є апріорі обмежені єдиною константою.

Обмежена задача Бернсайда

Частина складності із загальною задачею Бернсайда полягає в тому, що вимоги скінченно породженості і періодичності дають дуже мало інформації про можливу структуру групи. Тому накладемо більше вимог на групу ${\displaystyle G}$. Розглянемо періодичну групу ${\displaystyle G}$ з додатковою властивістю, що існує найменше ціле ${\displaystyle n}$ таке, що для всіх ${\displaystyle g\in G}$, ${\displaystyle g^{n}=1}$. Групу з цією властивістю називають періодичною з обмеженим степенем ${\displaystyle n}$, або просто групою степеня ${\displaystyle n}$. Задача Бернсайда для груп з обмеженим степенем запитує:

Задача Бернсайда I.

Якщо група ${\displaystyle G}$ є скінченно породженою групою степеня ${\displaystyle n}$, то чи обов'язково група ${\displaystyle G}$ — скінченна?

Граф Келі для вільної групи Бернсайда рангу 2 і степеня 3.

Виявляється, що цю задачу можна переформулювати як питання про скінченність груп у конкретній сім'ї. Вільна група Бернсайда рангу ${\displaystyle m}$ і степеня ${\displaystyle n}$ (позначається ${\displaystyle B(m,n)}$) є групою з m відомими генераторами ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},}$ в якій тотожність ${\displaystyle x^{n}=1}$ виконується для всіх елементів ${\displaystyle x}$, та яка є найбільшою групою, що задовольняє ці вимоги. Точніше, характерною властивістю групи ${\displaystyle B(m,n)}$ є те, що для будь-якої групи ${\displaystyle G}$ з ${\displaystyle m}$ твірними ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m}}$ та степенем ${\displaystyle n}$, існує єдиний гомоморфізм з групи ${\displaystyle B(m,n)}$ у групу ${\displaystyle G}$, що відображає на ${\displaystyle i}$-й генератор ${\displaystyle x_{i}}$ групи ${\displaystyle B(m,n)}$ в ${\displaystyle i}$-й генератор ${\displaystyle g_{i}}$ групи ${\displaystyle G}$. Мовою представлень груп, вільна група Бернсайда ${\displaystyle B(m,n)}$ має ${\displaystyle m}$ генераторів ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$ і співвідношення ${\displaystyle x^{n}=1}$ для будь-якого слова ${\displaystyle x\in x_{1},\dots ,x_{m},}$ і будь-яка група ${\displaystyle G}$ з ${\displaystyle m}$ генераторами степеня ${\displaystyle n}$ отримується з неї шляхом накладання додаткових співвідношень. Існування вільної групи Бернсайда та її єдиність з точністю до ізоморфізму встановлюються стандартними методами теорії груп. Таким чином, якщо група ${\displaystyle G}$ є скінченно породженою групою степеня ${\displaystyle n}$, то група ${\displaystyle G}$ є груп гомоморфним образом групи ${\displaystyle B(m,n)}$, де ${\displaystyle m}$ — число генераторів групи ${\displaystyle G}$. Тепер задача Бернсайда може бути переформульована наступним чином:

Задача Бернсайда II.

Для яких натуральних чисел ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ вільна група Бернсайда ${\displaystyle B(m,n)}$ є скінченною?

Повний розв'язок задачі Бернсайда у такому вигляді невідомий. Бернсайд розглянув деякі більш прості випадки у своїй оригінальній роботі:

• група ${\displaystyle B(1,n)}$ — циклічна група порядку ${\displaystyle n}$.
• група ${\displaystyle B(m,2)}$ — прямий добуток m копій циклічної групи порядку 2 а, отже, скінченних.

Відомими є наступні додаткові результати (Бернсайд, Санов, ^[en]):

• групи ${\displaystyle B(m,3)}$, ${\displaystyle B(m,4)}$, та ${\displaystyle B(m,6)}$ є скінченними для всіх ${\displaystyle m}$.

Частинний випадок групи ${\displaystyle B(2,5)}$ залишається відкритим: станом на 2020 рік не було відомо, чи є ця група скінченною.

Прорив у розв'язанні задачі Бернсайда був досягнутий у 1968 році ^[en] і Сергієм Адяном. Використовуючи складні комбінаторні доведення, вони показали, що для кожного непарного числа ${\displaystyle n}$ з ${\displaystyle n\geq 4381}$ існує нескінченна скінченно породжена група степеня ${\displaystyle n}$. Пізніше Адян покращив оцінку щодо непарного степеня до 665. Останнє покращення оцінки непарного степеня, що дорівнює 101, було отримане Адяном у 2015 році. Випадок парного степеня виявився значно складнішим. Лише у 1994 році С.В. Іванов зміг довести аналог теореми Новікова-Адяна: для будь-якого ${\displaystyle m>1}$, парного ${\displaystyle n\geq 2^{48}}$ та ${\displaystyle n}$ кратного ${\displaystyle 2^{9}}$, група ${\displaystyle B(m,n)}$ є нескінченною; разом з теоремою Новікова—Адяна з цього результату випливає нескінченність всіх ${\displaystyle m>1}$ і ${\displaystyle n\geq 2^{48}}$. Ця умова була покращена y 1996 році І.Г. Лисеноком до ${\displaystyle m>1}$ і ${\displaystyle n\geq 8000}$. Новіков, Адян, Іванов і Лисенок встановили значно більш точні результати щодо структури вільних груп Бернсайда. У випадку непарного степеня доведено, що всі скінченні підгрупи вільних груп Бернсайда є циклічними групами. У випадку парних степенів, кожна скінченна підгрупа міститься у добутку двох діедральних груп та існують нециклічні скінченні підгрупи. Крім того, ^[en] і ^[en] були ефективно розв'язані для групи ${\displaystyle B(m,n)}$ як для випадку непарних, так і парних степенів ${\displaystyle n}$.

Відомий клас контрприкладів до задачі Бернсайда утворює скінченно породжені нециклічні нескінченні групи у яких кожна нетривіальна власна підгрупа є скінченною циклічною групою, так званими монстрами Тарського. Перші приклади таких груп побудовані y 1979 році ^[en] з використанням геометричних методів, що дозволило розв'язати задачу О. Ю. Шмідта. У 1982 році Ольшанський зміг покращити свої результати, довівши існування будь-якого достатньо великого простого числа ${\displaystyle p}$ (можна брати ${\displaystyle p>10^{75}}$) скінченно породжених нескінченних груп, в яких кожна нетривіальна власна підгрупа є циклічною групою порядку ${\displaystyle p}$. У статті, опублікованій у 1996 році, Іванов та Ольшанський розв'язали аналог задачі Бернсайда для довільної гіперболічної групи достатньо великого степеня.

Послаблена задача Бернсайда

Сформульована в 1930-х роках, вона задає інше пов'язане питання:

Послаблена задача Бернсайда.

Якщо відомо, що група ${\displaystyle G}$ з ${\displaystyle m}$ генераторами і степенем ${\displaystyle n}$є скінченною, чи можна зробити висновок, що порядок групи ${\displaystyle G}$ обмежений деякою константою в залежності тільки від ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$? Еквівалентно, чи існує з точністю до ізоморфізму скінченна кількість скінченних груп з ${\displaystyle m}$ генераторами степеня ${\displaystyle n}$?

Цей варіант задачі Бернсайда можна також сформулювати у термінах деяких універсальних груп з ${\displaystyle m}$ генераторами і степенем ${\displaystyle n}$. Відповідно до основних результатів теорії груп перетин двох підгруп скінченного індексу в будь-якій групі сам по собі є підгрупою скінченного індексу. Нехай ${\displaystyle M}$ — перетин всіх підгруп вільної групи Бернсайда ${\displaystyle B(m,n)}$, що мають скінченний індекс, тоді ${\displaystyle M}$ — нормальна підгрупа групи ${\displaystyle B(m,n)}$ (інакше існує підгрупа ${\displaystyle g^{-1}Mg}$ зі скінченним індексом, що містить елементи, що не належать ${\displaystyle M}$). Таким чином, можна визначити групу ${\displaystyle B_{0}(m,n)}$ як факторгрупу ${\displaystyle B(m,n)}$/M. Кожна скінченна група степеня ${\displaystyle n}$ з ${\displaystyle m}$ генераторами є гомоморфним образом групи ${\displaystyle B_{0}(m,n)}$. Тоді послаблена задача Бернсайда ставить питання, чи є ${\displaystyle B_{0}(m,n)}$ скінченною групою.

У випадку простого степеня ${\displaystyle p}$, ця задача інтенсивно досліджувалася ^[en] протягом 1950-х років до отримання негативної відповіді щодо загальної задачі Бернсайда. Розв'язок Кострикіна, що встановлював скінченність групи ${\displaystyle B_{0}(m,p)}$, використовував співвідношення з глибокими питаннями щодо тотожностей в алгебрі Лі зі скінченними характеристиками. Випадок довільного степеня був повністю позитивно розв'язаний Юхимом Зельмановим, який у 1994 році був нагороджений за цю роботу медаллю Філдса.

Див. також

• Гіпотеза фон Неймана

Примітки

1. Curtis, Charles; Reiner, Irving (1962). Representation Theory of Finite Groups and Associated Algebras. John Wiley & Sons. с. 256—262.
2. Ключовим кроком є спостереження, що тотожності ${\displaystyle a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=1}$разом означають, що ${\displaystyle ab=ba}$, тому вільна група степеня 2 обов'язково є абелевою.
3. У 1973 році Джон Бріттон запропонував майже 300-сторінкове альтернативне доведення задачі Бернсайда; проте Адян знайшов помилку у цьому доведенні.

Література

• S.I. Adian (1979) The Burnside problem and identities in groups. Translated from the Russian by John Lennox and James Wiegold. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas], 95. Springer-Verlag, Berlin-New York. .
• S. I. Adian (2015). New estimates of odd exponents of infinite Burnside groups. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V.A. Steklova (рос.). 289: 41—82. doi:10.1134/S0371968515020041. Translation in Adian, S. I. (2015). New estimates of odd exponents of infinite Burnside groups. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 289 (1): 33—71. doi:10.1134/S0081543815040045.
• S. V. Ivanov (1994). The Free Burnside Groups of Sufficiently Large Exponents. International Journal of Algebra and Computation. 04: 1—308. doi:10.1142/S0218196794000026.
• S.V. Ivanov; A.Yu. Ol'Shanskii (1996). Hyperbolic groups and their quotients of bounded exponents. Transactions of the American Mathematical Society. 348 (6): 2091—2138. doi:10.1090/S0002-9947-96-01510-3.
• A.I. Kostrikin (1990) Around Burnside. Translated from the Russian and with a preface by James Wiegold. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 20. Springer-Verlag, Berlin. .
• I.G. Lysënok (1996). Infinite Burnside groups of even exponent (рос.). 60 (3): 3—224. doi:10.4213/im77. Translation in Lysënok, I. G. (1996). Infinite Burnside groups of even exponent. Izvestiya: Mathematics. 60 (3): 453—654. Bibcode:1996IzMat..60..453L. doi:10.1070/IM1996v060n03ABEH000077.
• A.Yu. Ol'shanskii (1989) Geometry of defining relations in groups. Translated from the 1989 Russian original by Yu. A. Bakhturin (1991) Mathematics and its Applications (Soviet Series), 70. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. .
• E. Zelmanov(1990). Solution of the restricted Burnside problem for groups of odd exponent. Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya 54 (1): 42–59, 221. Translation in Zel'manov, E I (1991). Solution of the Restricted Burnside Problem for Groups of Odd Exponent. Mathematics of the USSR-Izvestiya. 36 (1): 41—60. Bibcode:1991IzMat..36...41Z. doi:10.1070/IM1991v036n01ABEH001946.
• E. Zelmanov(1991). Solution of the restricted Burnside problem for 2-groups. Matematicheskii Sbornik 182 (4): 568–592. Translation in Zel'manov, E I (1992). A Solution of the Restricted Burnside Problem for 2-groups. Mathematics of the USSR-Sbornik. 72 (2): 543—565. Bibcode:1992SbMat..72..543Z. doi:10.1070/SM1992v072n02ABEH001272.

Примітки