Монстри Тарського

Монстр Та́рського — нескінченна група, кожна нетривіальна підгрупа якої є циклічною групою фіксованого простого порядку. Названа на честь Альфреда Тарського.

Існування монстрів Тарського довів 1979 року ^[ru]. Вони є джерелом контрприкладів у теорії груп, наприклад до задачі Бернсайда та гіпотези фон Неймана.

Визначення

Нехай ${\displaystyle p}$ — фіксоване просте число. Нескінченна група ${\displaystyle G}$ називається монстром Тарського для ${\displaystyle p}$ якщо всі власні підгрупи (тобто всі підгрупи, крім тривіальної ${\displaystyle \{1\}}$ і ${\displaystyle G}$) мають ${\displaystyle p}$ елементів.

Властивості

• Монстр Тарського скінченно породжений.
  • Більш того, він породжується будь-якими двома некомутувальними елементами.
• Монстр Тарського простий.
• За побудовою Ольшанського існує континуум неізоморфних монстрів Тарського для кожного простого числа ${\displaystyle p>10^{75}}$.

Див. також

• Монстр (група)

Посилання

• А. Ю. Ольшанский. Бесконечная группа с~подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер. матем.. — 1980. — Т. 44, № 2. — С. 309—321.
• A. Yu. Olshanskii, Groups of bounded period with subgroups of prime order, Algebra and Logic 21 (1983), 369—418; translation of Algebra i Logika 21 (1982), 553—618.
• Ol'shanskiĭ, A. Yu. (1991), Geometry of defining relations in groups, Mathematics and its Applications (Soviet Series), т. 70, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN