Порядок елемента групи

Порядок елемента в теорії груп — найменше додатне ціле ${\displaystyle m}$, таке що ${\displaystyle m}$-разове групове множення даного елемента ${\displaystyle g\in G}$ на себе дає нейтральний елемент:

${\displaystyle \underbrace {gg\dots g} _{m}=g^{m}=e}$.

Іншими словами, ${\displaystyle m}$ — кількість різних елементів циклічної підгрупи, породженої даним елементом. Якщо такого ${\displaystyle m}$ не існує (або, еквівалентно, число елементів циклічної підгрупи нескінченне), то кажуть, що ${\displaystyle g}$ має нескінечний порядок. Позначається як ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)}$ або ${\displaystyle |g|}$.

Вивчення порядків елементів групи може дати інформацію про її структуру. Декілька глибоких питань щодо зв'язку порядку елементів і порядку групи містяться в різних задачах Бернсайда, деякі з них залишаються відкритими.

Основні властивості

Порядок елемента дорівнює одиниці тоді й лише тоді, коли елемент є нейтральним.

Якщо будь-який не нейтральний елемент у ${\displaystyle G}$ збігається зі своїм оберненим (тобто ${\displaystyle g^{2}=e}$), то ${\displaystyle \mathrm {ord} (a)=2}$ і ${\displaystyle G}$ є абелевою групою, оскільки ${\displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba}$. Обернене твердження в загальному випадку хибне: наприклад, (адитивна) циклічна група ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ цілих чисел за модулем 6 — абелева, але число 2 має порядок 3:

${\displaystyle 2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}}$.

Для будь-якого цілого ${\displaystyle k}$ тотожність ${\displaystyle g^{k}=e}$ виконана тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)}$ ділить ${\displaystyle k}$.

Усі степені елемента нескінченного порядку мають нескінченний порядок. Якщо ${\displaystyle g}$ має скінченний порядок, то порядок ${\displaystyle g^{k}}$ дорівнює порядку ${\displaystyle g}$, поділеному на найбільший спільний дільник чисел ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)}$ і ${\displaystyle k}$. Порядок оберненого елемента збігається з порядком елемента (${\displaystyle \mathrm {ord} (g)=\mathrm {ord} (g^{-1})}$).

Зв'язок із порядком групи

Порядок будь-якого елемента групи ділить порядок групи. Наприклад, у симетричній групі ${\displaystyle S_{3}}$, що складається з шести елементів, нейтральний елемент ${\displaystyle e}$ має (за визначенням) порядок 1, три елементи, що є коренями з ${\displaystyle e}$ — порядок 2, а порядок 3 мають два елементи, що залишилися, які є коренями елементів порядку 2: тобто, всі порядки елементів є дільниками порядку групи.

Частково обернене твердження правильне для скінченних груп (теоретико-групова теорема Коші): якщо просте число ${\displaystyle p}$ ділить порядок групи ${\displaystyle G}$, то існує елемент ${\displaystyle g\in G}$, для якого ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)=p}$. Твердження не виконується для складених порядків, так що 4-група Кляйна не містить елемента порядку чотири.

Порядок добутку

У будь-якій групі ${\displaystyle \mathrm {ord} (ab)=\mathrm {ord} (ba)}$.

Немає загальної формули, що пов'язує порядок добутку ${\displaystyle ab}$ з порядками співмножників ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$. Можливий випадок, коли і ${\displaystyle a}$, і ${\displaystyle b}$ мають скінченні порядки, а порядок добутку ${\displaystyle ab}$ нескінченний, також можливо, що і ${\displaystyle a}$, і ${\displaystyle b}$ мають нескінченний порядок, тоді як ${\displaystyle \mathrm {ord} (ab)}$ — скінченний. Приклад першого випадку: в симетричній групі над цілими числами перестановки, що задаються формулами ${\displaystyle a(x)=2-x,b(x)=1-x}$ тоді ${\displaystyle ab(x)=x-1}$. Приклад другого випадку: перестановки в тій самій групі ${\displaystyle a(x)=x+1,b(x)=x-1}$, добуток яких є нейтральним елементом (перестановка ${\displaystyle ab(x)=\mathrm {id} }$, що залишає елементи на своїх місцях). Якщо ${\displaystyle ab=ba}$ то можна стверджувати, що ${\displaystyle \mathrm {ord} (ab)}$ ділить найменше спільне кратне чисел ${\displaystyle \mathrm {ord} (a)}$ і ${\displaystyle \mathrm {ord} (b)}$. Як наслідок, у скінченій абелевій групі порядок будь-якого елемента ділить максимальний порядок елементів групи.

Підрахунок за порядком елементів

Для даної скінченної групи ${\displaystyle G}$ порядку ${\displaystyle n}$, кількість елементів із порядком ${\displaystyle d}$ (${\displaystyle d}$ — дільник ${\displaystyle n}$) кратна ${\displaystyle \varphi (d)}$, де ${\displaystyle \varphi }$ — функція Ейлера, що дає число додатних чисел, які не перевищують ${\displaystyle d}$ та взаємно прості з ним. Наприклад, у випадку ${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle \varphi (3)=2}$, і є рівно два елементи порядку 3; при цьому дане твердження не дає жодної корисної інформації щодо елементів порядку 2, оскільки ${\displaystyle \varphi (2)=1}$, і дуже обмежену інформацію про складені числа, такі як ${\displaystyle d=6}$, оскільки ${\displaystyle \varphi (6)=2}$, і в групі ${\displaystyle S_{3}}$ є нуль елементів порядку 6.

Зв'язок із гомоморфізмами

Гомоморфізми груп мають властивість знижувати порядок елементів. Якщо ${\displaystyle f:G\to H}$ є гомоморфізмом, та ${\displaystyle g\in G}$ — елемент скінченного порядку, то ${\displaystyle \mathrm {ord} (f(g))}$ ділить ${\displaystyle \mathrm {ord} (g)}$. Якщо ${\displaystyle f}$ ін'єктивне, то ${\displaystyle \mathrm {ord} (f(g))=\mathrm {ord} (g)}$. Цей факт можна використати для доведення відсутності (ін'єктивного) гомоморфізму між двома заданими групами. (Наприклад, немає нетривіального гомоморфізму ${\displaystyle h:S_{3}\to \mathbb {Z} _{5}}$, оскільки будь-яке число, за винятком нуля, в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ має порядок 5, а 5 не ділить жодного з порядків 1, 2 та 3 елементів ${\displaystyle S_{3}}$.) Іншим наслідком є твердження, що спряжені елементи мають однаковий порядок.

Література

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Курош А.Г. Теория групп. — Москва : Наука, 1967. — .
• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М. : Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — (Справочная математическая библиотека) — 30000 прим. — ISBN .