Однолиста функція

У комплексному аналізі, голоморфна функція на відкритій підмножині комплексної площини називається однолистою якщо вона є ін'єктивною.

Вивчення однолистих функцій має важливе значення у геометрії чисел. Серед основних задач теорії однолистих функцій є вивчення відповідності границь областей при конформному відображенні, отримання умов при яких функція буде однолистою і знаходження розв'язків різних екстремальних задач теорії функцій, зокрема одержання оцінок різних функціоналів і областей значень функціоналів і їх систем в тому

або іншому класі.

Згідно теореми Рімана між будь-якими однозв'язними областями не рівними усій комплексній площині існує біголоморфне відображення, що переводить одну область в іншу. Це відображення і його обернене будуть очевидно однолистими голоморфними функціями. Тому вивчення однолистих функцій на деякій конкретній однозв'язній області є важливим для вивчення однолистих функцій на інших однозв'язних областях. Зважаючи на це особливе значення має вивчення однолистих функцій на одиничному крузі ${\displaystyle \Delta =\{z\in \mathbb {C} \ |\ |z|<1\}.}$ Оскільки для однолистої функції ${\displaystyle f(z)}$ функції ${\displaystyle f(z)-w,\;w\in \mathbb {C} }$ і ${\displaystyle wf(z),\;w\in \mathbb {C} ,\;w\neq 0}$ теж будуть однолистими то додатково при розгляді однолистих функцій на одиничному крузі часто вимагаються умови нормованості: ${\displaystyle f(0)=0,\ f'(0)=1.}$ Клас однолистих функцій на одиничному крузі, що задовольняють умови нормованості буде позначатися ${\displaystyle S.}$

Приклади

• Розглянемо відображення ${\displaystyle \phi _{a}}$ із відкритого одиничного круга в себе задане як:

${\displaystyle \phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\bar {a}}z}}.}$

Тоді ${\displaystyle \phi _{a}}$ є однолистою функцією для ${\displaystyle |a|<1}$.

• Важливими прикладами функцій класу ${\displaystyle S}$ (тобто голоморфних однолистих функцій на одиничному крузі із відповідною нормалізацією) є функція Кебе:

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nz^{n}}$

і узагальнені функції Кебе

${\displaystyle f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\alpha z)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}}$

де α є комплексним числом із абсолютним значенням рівним 1.

Основні властивості

Якщо ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle \Omega }$ є двома областями (відкритими і зв'язаними підмножинами) комплексної площини і

${\displaystyle f:G\to \Omega }$

є однолистою функцією для якої ${\displaystyle f(G)=\Omega }$, тоді похідна ${\displaystyle f}$ ніколи не є рівною 0, ${\displaystyle f}$ є оборотною, і її обернена функція ${\displaystyle f^{-1}}$ є також голоморфною. Окрім того згідно правила диференціювання складеної функції:

${\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}}$

для всіх ${\displaystyle z\in G.}$

Доведення

Оскільки ${\displaystyle f}$ не є константою, то його похідна не є рівною нулю в усіх точках області ${\displaystyle G}$, а тому нулі функції ${\displaystyle f'}$ є ізольованими. Припустимо, що ${\displaystyle z_{0}\in G}$ є такою точкою, що ${\displaystyle f'(z_{0})=0}$ і ${\displaystyle f(z_{0})=w_{0}\in \Omega .}$ Нехай ${\displaystyle \rho >0}$ таке число, що ${\displaystyle {\bar {B}}(z_{0},\rho )=\{z\in \mathbb {C} \ |\ |z-z_{0}|\leqslant \rho \}\subset G}$ і у цьому крузі ${\displaystyle f'}$ має єдиний нуль у точці ${\displaystyle z_{0}.}$

Розглянемо функцію ${\displaystyle N(w)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=\rho }{f'(z) \over {f(z)-w}}\,dz}$ яку можна розглядати в якомусь зв'язаному відкритому околі ${\displaystyle W}$ точки ${\displaystyle w_{0},}$ що є підобластю області ${\displaystyle f(B(z_{0},\rho )).}$

Згідно принципу аргументу для кожної точки ${\displaystyle w\in W}$ функція ${\displaystyle N(w)}$ є рівною кількості нулів (з урахуванням кратності) голоморфної функції ${\displaystyle f(z)-w}$ у відкритому крузі ${\displaystyle B(z_{0},\rho )}$. Також з означення ${\displaystyle N(w)}$ випливає, що вона є неперервною на зв'язаному відкритому околі ${\displaystyle W}$ і тому, як неперервна функція із зв'язаної множини у множину цілих чисел, вона є константою. Для кожного ${\displaystyle w\in W}$ функція ${\displaystyle f(z)-w}$ має нуль лише в одній точці (оскільки вона теж є однолистою). Оскільки для всіх ${\displaystyle z\in B(z_{0},\rho )\setminus z_{0}}$ також ${\displaystyle f'(z)\neq 0}$ то для всіх ${\displaystyle w\neq w_{0}}$ також кратність цього нуля функції ${\displaystyle f(z)-w}$ є рівною одиниці, тобто ${\displaystyle N(w)=1.}$ Але звідси випливає, що ${\displaystyle N(w_{0})=N(w)=1}$ і тому кратність ${\displaystyle z_{0}}$ як кореня ${\displaystyle f(z)-w_{0}}$ є рівною одиниці. Це можливо лише якщо ${\displaystyle f'(z_{0})\neq 0.}$ Тобто ${\displaystyle f'}$ не має нулів у області ${\displaystyle G}$.

Для доведення голоморфності оберненої функції її локально можна записати через інтегральний вираз. Для цього нехай ${\displaystyle {\bar {B}}(z_{0},\rho )\subset G}$ і також ${\displaystyle \delta =\min _{|z-z_{0}|=\rho }|f(z)-w_{0}|,}$ де ${\displaystyle f(z_{0})=w_{0}.}$ Для ${\displaystyle B(w_{0},\delta )=\{w\in \mathbb {C} \ |\ |w-w_{0}|<\delta \}\subset \Omega }$ можна, як і вище ввести функцію ${\displaystyle N(w)}$ оскільки на границі ${\displaystyle {\bar {B}}(z_{0},\rho )}$ функція не набуває жодного із значень ${\displaystyle w\in B(w_{0},\delta ).}$ Як і вище ${\displaystyle N(w)=1}$ для всіх ${\displaystyle w\in B(w_{0},\delta )}$ і тому прообраз ${\displaystyle B(w_{0},\delta )}$ при функції ${\displaystyle f^{-1}}$ є підмножиною ${\displaystyle B(z_{0},\rho ).}$

Функцію ${\displaystyle f^{-1}}$ на ${\displaystyle B(w_{0},\delta )}$ можна задати за допомогою інтегральної формули:

${\displaystyle f^{-1}(w)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\xi -z_{0}|=\rho }{{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-w}}\,d\xi \quad w\in B(w_{0},\delta ).}$

Для доведення цієї рівності варто зауважити, що функція ${\displaystyle {{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-w}}}$ має лише один простий полюс у ${\displaystyle B(z_{0},\rho )}$ у точці z в якій ${\displaystyle f(z)=w,}$ а тому, згідно основної теореми про лишки ${\displaystyle f^{-1}(w)=\operatorname {Res} ({{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-w}},z).}$ Звідси, згідно властивостей лишків, ${\displaystyle f^{-1}(w)=\lim _{\xi \to z}(\xi -z){{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-w}}=z}$ (тут, зокрема, використовується, що ${\displaystyle f'(z)\neq 0}$).

Оскільки вибір ${\displaystyle z_{0}}$ і ${\displaystyle W_{0}}$ був довільним для доведення голоморфності ${\displaystyle f^{-1}}$ достатньо довести голоморфність локально для ${\displaystyle B(w_{0},\delta )}$ скориставшись доведеною формулою. Для цього потрібно довести існування

${\displaystyle \lim _{\Delta w\to 0}{\frac {1}{\Delta w}}\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\xi -z_{0}|=\rho }{{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-w}}\,d\xi -{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\xi -z_{0}|=\rho }{{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-(w+\Delta )}}\,d\xi \right)}$

для всіх ${\displaystyle w\in B(w_{0},\delta ).}$ Для цього достатньо довести, що ця границя прямує до ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\xi -z_{0}|=\rho }{{\xi f'(\xi )} \over {(f(\xi )-w))^{2}}}\,d\xi }$ для всіх ${\displaystyle w\in B(w_{0},\delta ).}$ Справді:

${\displaystyle \lim _{\Delta w\to 0}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\xi -z_{0}|=\rho }{\frac {1}{\Delta w}}\left({{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-w}}\,-{{\xi f'(\xi )} \over {f(\xi )-(w+\Delta w)}}\right)\,-{{\xi f'(\xi )} \over {(f(\xi )-w))^{2}}}\,d\xi \right|=\lim _{\Delta w\to 0}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\xi -z_{0}|=\rho }{{\Delta w\xi f'(\xi )} \over {(f(\xi )-w)^{2}(f(\xi )-(w+\Delta w))}}\,\right|}$

Далі, функція ${\displaystyle \xi f'(\xi )}$ є неперервною на множині ${\displaystyle |\xi -z_{0}|=\rho }$ і тому для всіх точок цієї множини ${\displaystyle |\xi f'(\xi )|<M}$ для деякого додатного числа у всіх точках множини ${\displaystyle |\xi -z_{0}|=\rho }$. Також, оскільки на множині ${\displaystyle |\xi -z_{0}|=\rho }$ функція f ніде не є рівною ${\displaystyle w}$ то існує число ${\displaystyle \varepsilon >0}$, таке що ${\displaystyle |f(\xi )-w|>\varepsilon }$ і також ${\displaystyle |f(\xi )-(w+\Delta w)|>\varepsilon }$ для всіх достатньо малих за модулем ${\displaystyle \Delta w}$. Для таких ${\displaystyle \Delta w}$ тоді у формулі вище підінтегральні вирази за модулем є меншими ${\displaystyle {\frac {|\Delta w|M}{\varepsilon ^{3}}}}$ і оскільки ${\displaystyle \lim _{\Delta w\to 0}{\frac {|\Delta w|M}{\varepsilon ^{3}}}=0}$ то це ж справедливо і для границь у попередній формулі. Це доводить існування комплексної похідної у всіх точках області визначення ${\displaystyle f^{-1}}$ і тому голоморфність цієї функціїв усіх точках.

Порівняння з функціями дійсної змінної

Для дійсних аналітичних функцій, на відміну від комплексних аналітичних (тобто голоморфних) функцій ці властивості не є вірними. Наприклад, розглянемо функцію

${\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}$

задану як ƒ(x) = x³. Ця функція є ін'єктивною але її похідна є рівною 0 в точці x = 0, і її обернена функція не є аналітичною чи навіть диференційовною на всьому інтервалі  (−1, 1). Тому, якщо збільшити область визначення до відкритої підмножини G комплексної площини, вона не може бути ін'єктивною; у цьому випадку, наприклад f(εω) = f(ε) (де ω є примітивним коренем з 1 і ε є додатним цілим числом меншим, ніж радіус G як околу 0).

Властивості

• З теореми Гурвіца випливає, що якщо {f_k} є послідовністю голоморфних однолистих функцій на зв'язаній відкритій множині G і вони рівномірно сходяться на компактних підмножинах у G до голоморфної функції f, то f є або теж однолистою або константою.
• Якщо f є однолистою на одиничному крузі, тоді ${\displaystyle f\in \ H^{p}}$ для всіх ${\displaystyle \ 0<p<{\frac {1}{2}},}$ де ${\displaystyle H^{p}}$ позначають простори Гарді. Якщо додатково ця функція не є рівною нулю у жодній точці одиничного круга, то ${\displaystyle \ln f\in \ H^{p}}$ для всіх ${\displaystyle p>0.}$
• Нерівність Правітца: нехай ${\displaystyle f(z)\in S}$ і позначимо ${\displaystyle M_{p}(r,f)=\left({\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{p}\;d\theta \right)^{\frac {1}{p}}}$ для ${\displaystyle 0<p<\infty }$ і ${\displaystyle M_{\infty }(r,f)=\max _{|z|=r}|f(z)|.}$ Тоді справедливою є нерівність:

${\displaystyle M_{p}^{p}(r,f)\leqslant p\int \limits _{0}^{r}{1 \over t}M_{\infty }^{p}(t,f)dt\quad 0<r<1.}$

• Теорема де Бранже (гіпотеза Бібербаха): якщо функція ${\displaystyle f(z)\in S}$ і зокрема її розклад у ряд Тейлора має вигляд ${\displaystyle f(z)=z+\sum _{n\geq 2}a_{n}z^{n},}$ то для коефіцієнтів ряду Тейлора виконуються нерівності ${\displaystyle |a_{n}|\leqslant n\quad \forall \ n\geqslant 2.}$ Приклад функції Кебе показує що значення у правій частині нерівностей є оптимальними.
• Теорема Літлвуда — Пелі: якщо функція ${\displaystyle f(z)\in S}$ є непарною, тобто її розклад у ряд Тейлора має вигляд ${\displaystyle f(z)=z+\sum _{n\geq 1}a_{2n+1}z^{2n+1},}$ то існує константа A, що не залежить від конкретної функції, така що для коефіцієнтів ряду Тейлора виконуються нерівності ${\displaystyle |a_{2n+1}|\leqslant A.}$
• Теорема Ґронвала про площу: якщо ${\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$ є однолистою в області |z| > 1 то:

${\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}n|b_{n}|^{2}\leqslant 1.}$

• Теорема Кебе про чверть: якщо функція ${\displaystyle f(z)\in S}$ то образ ${\displaystyle f(\Delta )}$ містить круг ${\displaystyle \{w\ |\ |w|<{1 \over 4}\}}$ з центром у точці 0 і радіусом 1/4. Приклад функції Кебе показує, що константу 1/4 утвердженні теореми не можна збільшити.
• Теорема Кебе про спотворення: нехай ${\displaystyle f(z)\in S}$ і r = |z|. Тоді

${\displaystyle {r \over (1+r)^{2}}\leqslant |f(z)|\leqslant {r \over (1-r)^{2}}}$

${\displaystyle {1-r \over (1+r)^{3}}\leqslant |f^{\prime }(z)|\leqslant {1+r \over (1-r)^{3}}}$

${\displaystyle {1-r \over 1+r}\leqslant \left|z{f^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leqslant {1+r \over 1-r}}$

До того ж рівності справджуються лише для узагальнених функцій Кебе.

• Теорема Каратеодорі про ядро: нехай ${\displaystyle f_{n}\in S}$ — послідовність функцій, ${\displaystyle U_{n}=f_{n}(\Delta )}$ — образи одиничного круга при дії цих функцій. Нехай ${\displaystyle V_{n}}$ позначає зв'язну компоненту, що містить 0 внутрішності перетину ${\displaystyle \cap _{i=n}^{\infty }U_{n}.}$ Ядром послідовності множин ${\displaystyle U_{n}}$ називається об'єднання усіх ${\displaystyle V_{n}}$ або точка ${\displaystyle \{0\},}$ якщо це об'єднання є порожньою множиною. Теорема Каратеодорі стверджує, що послідовність ${\displaystyle f_{n}}$ збігається рівномірно на компактах до функції f, якщо і тільки якщо послідовність множин ${\displaystyle U_{n}}$ збігається до свого ядра і це ядро не є рівним всій комплексній площині. Якщо ядро є рівним ${\displaystyle \{0\}}$ то функція є константою рівною 0. В іншому випадку ядро U є зв'язаною відритою множиною, f є однолистою функцією і ${\displaystyle U=f(\Delta ).}$

• Нерівність Грунського: якщо функція ${\displaystyle f(z)\in S}$ то:

${\displaystyle \left|\log {z \over f(z)}\right|\leqslant \log {1+|z| \over 1-|z|}.}$

• Критерій Неванлінни: якщо ${\displaystyle f(z)\in S,}$ то образ одиничного круга ${\displaystyle f(\Delta )}$ буде зірчатою областю щодо точки 0 тоді й лише тоді, коли дійсна частина функції ${\displaystyle zf^{\prime }(z)/f(z)}$ буде додатним числом для всіх ${\displaystyle z\in \Delta .}$

З іншого боку, якщо f є голоморфною на одиничному крузі, дійсна частина функції ${\displaystyle zf^{\prime }(z)/f(z)}$ є додатним числом для всіх ${\displaystyle z\in \Delta }$ і ${\displaystyle f'(0)\neq 0}$ то тоді ${\displaystyle f(0)=0}$ і f є однолистою на одиничному крузі.

• Теорема Грунського: якщо ${\displaystyle f(z)\in S,}$ то для всіх r ≤ tanh π/4, образ круга |z| < r при відображенні f є зірчатою областю щодо точки 0.

• Нерівність Голузіна: для функції ${\displaystyle f(z),}$ що є однолистою в області |z| > 1, якщо z_i є n різними точками із |z_i| > 1 і λ_i є довільними комплексними числами то:

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{j}\log {g(z_{i})-g(z_{j}) \over z_{i}-z_{j}}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}{\overline {\lambda _{j}}}\log {z_{i}{\overline {z_{j}}} \over z_{i}{\overline {z_{j}}}-1},}$

Література

• Duren, P. L. (1983), Univalent functions, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, т. 259, Springer-Verlag, ISBN 
• Goodman, A.W. (1983), Univalent functions, т. I, Mariner Publishing Co., ISBN 
• Goodman, A.W. (1983), Univalent functions, т. II, Mariner Publishing Co., ISBN 
• Hayman, W. K. (1994) [1958], Multivalent functions, Cambridge Tracts on Mathematics, т. 110 (вид. Second), Cambridge: Cambridge University Press, с. xii+263, ISBN , MR 1310776, Zbl 0904.30001.
• Jenkins, James A. (1958), Univalent Functions and Conformal Mapping, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, т. 18, Springer-Verlag, ISBN 
• Lehto, O. (1987), Univalent functions and Teichmuller spaces, Springer-Verlag, ISBN  {{}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= ().
• Milin, I. M. (1977) [1971], Univalent functions and orthonormal systems, Translations of Mathematical Monographs, т. 49, Providence, R.I.: American Mathematical Society, с. iv+202, ISBN , MR 0369684, Zbl 0342.30006
• Pommerenke, C. (1975), Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, т. 15, Vandenhoeck & Ruprecht