Зірчата область

Зірчата область, відносно фіксованої точки ${\displaystyle x_{0}}$ — область ${\displaystyle D}$ евклідового простору, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ така, що відрізок, що сполучає довільну точку області ${\displaystyle D}$ з точкою ${\displaystyle x_{0}}$, цілком належить цій області.

Зірчата область відносно точки ${\displaystyle x_{0}}$

Кільце не є зірчатою областю

Формально, область ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ називається зірчатою щодо точки ${\displaystyle x_{0}\in D}$ якщо для всіх точок ${\displaystyle x\in D}$ відрізок

${\displaystyle [x_{0}\,x]=\left\{x_{0}+t(x-x_{0})\;\colon \;t\in [0,1]\right\}}$

повністю належить ${\displaystyle D}$.

Приклади

• Довільна лінія або площина в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ є зірчатою областю.
• Довільна опукла область є зірчатою.
• Область є опуклою тоді і тільки тоді, коли вона є зірчатою відносно кожної своєї точки.
• Якщо A є множиною в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то множина ${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$ є зірчастою щодо початку координат.

Властивості

• Зірчаста область є стягуваною множиною, зокрема вона є однозв'язною.
• Непуста відкрита зірчата область ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ є дифеоморфною ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• Непуста множина ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ є зірчатою щодо точки ${\displaystyle x_{0}}$ тоді і тільки тоді коли її образ при перетворенні гомотетії з центром в точці ${\displaystyle x_{0}}$ і коефіцієнтом t є підмножиною ${\displaystyle D}$ для всіх ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$.
• Підмножина ${\displaystyle D}$ дійсного векторного простору ${\displaystyle E}$ є зірчатою щодо точки ${\displaystyle 0}$ тоді і тільки тоді коли існує функція ${\displaystyle p:E\to \left[0,+\infty \right]}$ для якої ${\displaystyle \forall t\in \left[0,+\infty \right[\quad \forall x\in E\quad p(tx)=tp(x)}$, (приймається ${\displaystyle 0\times \infty =0}$) і також ${\displaystyle \{x\in E\mid p(x)<1\}\subset D\subset \{x\in E\mid p(x)\leqslant 1\}}$. Для відкритої множини ${\displaystyle D=\{x\in E\mid p(x)<1\},}$ для замкнутої ${\displaystyle D=\{x\in E\mid p(x)\leqslant 1\},}$ Ця функція є функціоналом Мінковського множини ${\displaystyle D}$ : ${\displaystyle \forall x\in E\quad p(x)=\inf {\{\lambda >0\mid x\in \lambda D\}}}$. Зірчаста область щодо точки ${\displaystyle 0}$ є обмеженою тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle p(x)>0,\quad x\in D,\;x\not =0.}$ Вона є опуклою якщо ${\displaystyle p(x+y)\leqslant p(x)+p(y).}$

Див. також

• Зіркоподібний многокутник
• Опукла множина

Література

• Касселс Дж., Введение в геометрию чисел, пер. с англ., М., 1965