Обернена функція (обернене відображення) до даної функції f — в математиці така функція g, яка в композиції з f дає тотожне відображення.
Нехай f: X → Y та g: Y → X деякі функції (відображення).
Визначення
Функція називається оберненою до функції , якщо виконані наступні рівності:
- для всіх
- для всіх
Існування
Щоб знайти обернену функцію, потрібно розв'язати рівняння щодо . Якщо воно має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до не існує. Таким чином, функція обернена на проміжку тоді і тільки тоді, коли на цьому проміжку вона взаємно-однозначна.
Для неперервної функції виразити із рівняння можливо тільки в тому випадку, коли функція строго монотонна (див. теорема про неявну функцію). Тим не менш, неперервну функцію завжди можна обернути на проміжках її строгої монотонності. Наприклад, є оберненою функцією до на , хоча на проміжку обернена функція інша: .
Якщо композиція функцій f o g = EY, де E: Y→Y — тотожне відображення, то f має назву лівого оберненого відображення (функції) до g, а g - правого оберненого відображення (функції) до f.
Якщо справедливо і f o g = EYі g o f = EX, то g має назву оберненого відображення (оберненої функції) до f і позначається як f-1. Тобто f-1(f(x))=f(f-1(x))=x.
Приклади
- Якщо , де то
- Якщо , де фіксовані постійні і , то
- Якщо , то
Не слід плутати позначку f-1 з позначенням степеня.
Наприклад, для функції, визначеної як f(x) → 3x + 2, оберненою функцією буде x → (x - 2) / 3. Це часто записується як:
Властивості
- Областю визначення є множина , а областю значень множина .
- При побудові маємо:
або
- ,
- ,
або коротше
- ,
- ,
де означає композицію функцій, а — Тотожні відображення на і .
- Функція є оберненою до :
- .
- Нехай — бієкція. Нехай її обернена функція. Тоді (графіки) функцій і симетричні відносно прямої .
Розкладання в степеневий ряд
Обернена функція аналітичної функції може бути представлена у вигляді степеневого ряду:
де коефіцієнти задаються рекурсивною формулою:
Див. також
Джерела
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
- Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
- Функція, обернена до даної // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 176. — 594 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Obernena funkciya obernene vidobrazhennya do danoyi funkciyi f v matematici taka funkciya g yaka v kompoziciyi z f daye totozhne vidobrazhennya Funkciya f displaystyle f i obernena yij funkciya f 1 displaystyle f 1 Yaksho f a 3 displaystyle f a 3 to f 1 3 a displaystyle f 1 3 a Nehaj f X Y ta g Y X deyaki funkciyi vidobrazhennya ViznachennyaFunkciya g Y X displaystyle g Y to X nazivayetsya obernenoyu do funkciyi f X Y displaystyle f X to Y yaksho vikonani nastupni rivnosti f g y y displaystyle f g y y dlya vsih y Y displaystyle y in Y g f x x displaystyle g f x x dlya vsih x X displaystyle x in X IsnuvannyaShob znajti obernenu funkciyu potribno rozv yazati rivnyannya y f x displaystyle y f x shodo x displaystyle x Yaksho vono maye bilshe nizh odin korin to funkciyi obernenoyi do f displaystyle f ne isnuye Takim chinom funkciya f x displaystyle f x obernena na promizhku a b displaystyle a b todi i tilki todi koli na comu promizhku vona vzayemno odnoznachna Dlya neperervnoyi funkciyi F y displaystyle F y viraziti y displaystyle y iz rivnyannya x F y 0 displaystyle x F y 0 mozhlivo tilki v tomu vipadku koli funkciya F y displaystyle F y strogo monotonna div teorema pro neyavnu funkciyu Tim ne mensh neperervnu funkciyu zavzhdi mozhna obernuti na promizhkah yiyi strogoyi monotonnosti Napriklad x displaystyle sqrt x ye obernenoyu funkciyeyu do x2 displaystyle x 2 na 0 displaystyle 0 infty hocha na promizhku 0 displaystyle infty 0 obernena funkciya insha x displaystyle sqrt x Yaksho kompoziciya funkcij f o g EY de E Y Y totozhne vidobrazhennya to f maye nazvu livogo obernenogo vidobrazhennya funkciyi do g a g pravogo obernenogo vidobrazhennya funkciyi do f Yaksho spravedlivo i f o g EYi g o f EX to g maye nazvu obernenogo vidobrazhennya obernenoyi funkciyi do f i poznachayetsya yak f 1 Tobto f 1 f x f f 1 x x PrikladiYaksho F R R F x ax displaystyle F mathbb R to mathbb R F x a x de a gt 0 displaystyle a gt 0 to F 1 x loga x displaystyle F 1 x log a x Yaksho F x ax b x R displaystyle F x ax b x in mathbb R de a b R displaystyle a b in mathbb R fiksovani postijni i a 0 displaystyle a neq 0 to F 1 x x ba displaystyle F 1 x frac x b a Yaksho F x xn x 0 n Z displaystyle F x x n x geq 0 n in mathbb Z to F 1 x xn displaystyle F 1 x sqrt n x Ne slid plutati poznachku f 1 z poznachennyam stepenya Napriklad dlya funkciyi viznachenoyi yak f x 3x 2 obernenoyu funkciyeyu bude x x 2 3 Ce chasto zapisuyetsya yak f x 3x 2 displaystyle f colon x to 3x 2 f 1 x x 2 3 displaystyle f 1 colon x to x 2 3 VlastivostiOblastyu viznachennya F 1 displaystyle F 1 ye mnozhina Y displaystyle Y a oblastyu znachen mnozhina X displaystyle X Pri pobudovi mayemo y F x x F 1 y displaystyle y F x Leftrightarrow x F 1 y abo F F 1 y y y Y displaystyle F left F 1 y right y forall y in Y F 1 F x x x X displaystyle F 1 F x x forall x in X abo korotshe F F 1 idY displaystyle F circ F 1 mathrm id Y F 1 F idX displaystyle F 1 circ F mathrm id X de displaystyle circ oznachaye kompoziciyu funkcij a idX idY displaystyle mathrm id X mathrm id Y Totozhni vidobrazhennya na X displaystyle X i Y displaystyle Y Funkciya F displaystyle F ye obernenoyu do F 1 displaystyle F 1 F 1 1 F displaystyle left F 1 right 1 F Nehaj F X R Y R displaystyle F X subset mathbb R to Y subset mathbb R biyekciya Nehaj F 1 Y X displaystyle F 1 Y to X yiyi obernena funkciya Todi grafiki funkcij y F x displaystyle y F x i y F 1 x displaystyle y F 1 x simetrichni vidnosno pryamoyi y x displaystyle y x Rozkladannya v stepenevij ryadObernena funkciya analitichnoyi funkciyi mozhe buti predstavlena u viglyadi stepenevogo ryadu F 1 y k 0 Ak x0 y f x0 kk displaystyle F 1 y sum k 0 infty A k x 0 frac y f x 0 k k de koeficiyenti Ak displaystyle A k zadayutsya rekursivnoyu formuloyu Ak x A0 x xAn 1 x An x F x displaystyle A k x begin cases A 0 x x A n 1 x frac A n x F x end cases Div takozhFunkciya matematika Totozhna funkciya Kompoziciya funkcij Teorema pro obernenu funkciyu Obernenij operatorDzherelaKolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Zavalo S T 1972 Elementi analizu Algebra mnogochleniv Kiyiv Radyanska shkola s 462 ukr Funkciya obernena do danoyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 176 594 s