Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ця стаття має кілька недоліків Будь ласка допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на сторінці обговорення

Чотиривимірний простір

Чотиривимірний простір
Ця стаття має кілька недоліків. Будь ласка, допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на .
Ця стаття містить , але походження окремих тверджень через брак . Будь ласка, допоможіть поліпшити цю статтю, джерела з переліку посилань на джерела-виноски у самому тексті статті. Зверніться на за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. (15 січня 2020)
Ця стаття потребує уваги й турботи фахівця у своїй галузі. Будь ласка, повідомте про це знайомому вам спеціалісту, або виправте її самі, якщо ви володієте відповідними знаннями. Можливо, містить зауваження щодо потрібних змін. (15 січня 2020)

Чотириви́мірний про́стір (позначення: 4D або ) — математичний об'єкт, що узагальнює властивості тривимірного простору. Його не варто плутати з чотиривимірним простором-часом теорії відносності (простором Мінковського).

image
3D проєкція тесеракту, просте обертання

Алгебрично чотиривимірний простір може бути побудовано як множину векторів з чотирма дійсними координатами. Геометрично в найпростішому випадку чотиривимірний простір розглядається як евклідів простір чотирьох вимірів, у загальнішому розгляді він має неевклідову метрику, змінювану від точки до точки.

Способи візуалізації чотиривимірних тіл

Проєкції

image
Стереографічна проєкція [en]: множина точок (cos(a), sin(a), cos(b), sin(b)), який є підмножиною 3-сфери.

Проєкція — зображення n-вимірної фігури на так званому картинному (проєкційному) підпросторі способом, що є геометричною ідеалізацією оптичних механізмів.

Так, наприклад, у реальному світі, контур тіні предмету — це проєкція контуру цього предмету на пласку чи наближену до пласкої поверхню — проєкційну площину. При розгляді проєкцій чотиривимірних тіл проєціювання здійснюється на тривимірний простір, тобто, по відношенню до чотиривимірного простору, на картинний (проєційний) підпростір (тобто простір з кількістю вимірів або, інакше кажучи, розмірністю, на один меншою, ніж кількість вимірів (розмірність) самого того простору, в якому знаходиться тіло, що проєктується). Проєкції бувають паралельними (проєкційні промені паралельні) та центральними (проєкційні промені виходять із деякої точки). Іноді застосовуються також стереографічні проєкції. Стереографічна проєкція — центральна проєкція, що відбиває n-1-сферу n-вимірної кулі (з однією виколотою точкою) на гіперплощину n-1. n-1-сферою (гіперсферою) називають узагальнення сфери, гіперповерхня в n-вимірному (з кількістю вимірів або розмірністю n) евклідовому просторі, яка утворена точками, рівновіддаленими від заданої точки, званої центром сфери, гіперкулею — тіло (область гіперпростору), обмежене гіперсферою.

Перерізи

image
Переріз пентахорона тетраедром у центральній проєкції

Переріз — зображення фігури, утвореної розтином тіла площиною без зображення частин за цією площиною. Подібно до того, як будуються двовимірні перерізи тривимірних тіл, можна побудувати тривимірні перерізи чотиривимірних тіл, причому так само, як двовимірні перерізи одного і того ж самого тривимірного тіла можуть сильно відрізнятися за формою, так і тривимірні перерізи будуть ще більше різноманітними, оскільки змінюватимуть і кількість граней, і кількість сторін у кожної грані перерізу. Побудова тривимірних перерізів складніша, ніж створення проєкцій, оскільки проєкції можна (особливо для нескладних тіл) отримати за аналогією з двовимірними, а перерізи будуються тільки логічним шляхом, при цьому розглядається кожний конкретний випадок окремо.

Розгортки

image
Розгортка тесеракту

Розгортка гіперповерхні — фігура, що отримується в гіперплощині (підпросторі) при такому суміщенні точок даної гіперповерхні з цією площиною, при якому довжини ліній залишаються сталими. Аналогічно до того, як тривимірні багатогранники можна скласти з паперових розгорток, багатовимірні тіла можуть бути представлені у вигляді розгорток своїх гіперповерхонь.

Спроби наукового дослідження

Після того, як Бернгард Ріман у 1853 році теоретично обґрунтував можливість існування n-вимірного простору, спроби виявити та дослідити гіпотетичні додаткові виміри простору неодноразово здійснювали як серйозні науковці, так і всілякі окультисти та відверті шахраї. Англійський математик Чарльз Гінтон опублікував ряд книг на цю тему та глибоко вивчив проблему візуалізації. На його думку наш тривимірний світ розділяє невидимий нам чотиривимірний на дві частини (аналогічно до того, як площина ділить навпіл наш простір). Ці частини він умовно назвав грецькою Ана (верхній світ) і Ката (нижній світ).

У другій половині XIX — початку XX століття вивчення цієї теми було добряче дискредитовано спіритизмом, який розглядав невидимі виміри як оселю душ померлих, а світи Ана і Ката найчастіше уособлювалися з пеклом і раєм; свій внесок зробили філософи та теологи. Разом з тим запитання привертало увагу таких великих науковців, як фізики Вільям Крукс і Вільгельм Вебер, астроном Йоганн Карл Фрідріх Целльнер (автор книги «Трансцендентальна фізика»), нобелівські лауреати лорд Релей і Джозеф Джон Томсон.

В 1920-ті роки з'явилася перша фізична модель п'ятивимірного простору-часу, що включає чотиривимірний простір (теорія Калуци — Клейна); ця теорія дозволяла зв'язати гравітацію та електромагнетизм із геометричними властивостями простору і часу. У сучасній теорії струн простір-час має 11 вимірів.

Див. також: Старші розмірності

У культурі

Тема додаткових вимірів простору та близька до неї тема паралельних світів давно стала популярною у фантастичній і філософській літературі. Герберт Уеллс, який одним із перших описав подорож у часі, в багатьох інших своїх творах порушив також і невидимі виміри простору: «Чудовий візит», «Дивовижний випадок з очима Девідсона», «Кришталеве яйце», «Викрадені тіла», «Люди як боги», «Історія Платтнера». В останній розповіді людина, яка була викинута катастрофою з нашого світу, а потім повернулася, зазнає просторове відображення — наприклад, серце у неї опиняється з правого боку. Володимир Набоков описав аналогічну зміну просторової орієнтації в романі [en]» (1974). У науковій фантастиці другої половини XX століття четвертий вимір використовували такі великі письменники, як Айзек Азімов, Артур Кларк, Фредерик Пол, Кліффорд Саймак і багато інших. Створення чотиривимірного тесеракту лежить в основі сюжету розповіді Роберта Гайнлайна — «І побудував він будинок».

У містичний літературі четвертий вимір нерідко описується як оселя демонів або душ померлих. Ці мотиви зустрічаються, наприклад, у Джорджа Макдональда (роман «Ліліт»), у деяких розповідях Амброза Бірса, в розповіді А. П. Чехова «Таємниця». В романі Дж. Конрада і Ф. М. Форда [en]» (1901) мешканці четвертого виміру намагаються захопити наш Всесвіт.

Концепція четвертого виміру зробила значний вплив на образотворче мистецтво. Роль перспективи знизилася; наприклад, кубісти (Пікассо, Метценже та інші) у своїх картинах часто зображали людей і предмети одночасно в різних ракурсах, тим самим начебто додаючи їм вимірів (див., наприклад, картину «Авіньйонські дівиці»). Гійом Аполлінер 1913 року писав:

Сьогодні науковці більше не обмежують себе трьома вимірами Евкліда. І художники, що цілком природно (хоча хтось і скаже, що тільки завдяки інтуїції), залучили нові можливості просторових вимірів, що мовою сучасних студій стало називатися четвертим виміром. Існуючи у свідомості образом пластики предмету, четвертий вимір зароджується завдяки трьом відомим вимірам: воно є неосяжність простору в усіх напрямках у кожну мить. Це сам простір, сам вимір нескінченності; четвертий вимір наділяє предмети пластичністю.

Пошуком нових засобів займався сюрреаліст Марсель Дюшан, добре знайомий з багатовимірною математикою та методами її візуалізації. Серед найхарактерніших зразків його творчості — картини «Оголена на сходах, № 2» і «Велике скло». Аналогічні мотиви прослідковуються у футуристів, супрематистів («роботи Малевича цього періоду нагадують пласкі перерізи об'єктів з вищих вимірів») і сюрреалістів. У Сальвадора Далі є картини «Розп'яття, чи Гіперкубічне тіло» та «У пошуках четвертого виміру».

Див. також

Примітки

  1. Ібан'єс, 2014, с. 59—60, 71.
  2. Ібан'єс, 2014, с. 75—81.
  3. Ібан'єс, 2014, с. 87—102.
  4. Ібан'єс, 2014, с. 133—155.

Література

  • Людина, яка «бачила» четвертий вимір // Гіперпростір / Мічіо Кайку ; Пер. з англійської Анжела Кам’янець / Наук. ред. Іван Вакарчук. — Львів : Літопис, 2019. — С. 75-100.
  • Ібан'єс, Рауль (2014). Четвёртое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной?. Мир математики: в 45 томах, том 6. М.: Де Агостини. ISBN . (рос.)

Посилання

  • Dimensions — відео-прогулянка математичними розмірностями, різні уявлення багатовимірних об'єктів, етальні примітки з посиланнями [ 16 травня 2016 у Wayback Machine.](рос.)
  • Ебботт Э., Бюргер Д.[недоступне посилання з травня 2019]Флетландія.[недоступне посилання з травня 2019]Сферландія.[недоступне посилання з травня 2019](рос.)
  • MagicCube 4D [ 9 квітня 2016 у Wayback Machine.] 4-вимірний аналог традиційного кубика Рубіка(англ.)
  • Покадрова анімація 4D—3D аналогій [ 2 липня 2016 у Wayback Machine.](англ.)
  • Знайти вихід із лабіринту в 3Д і 4Д. [ 8 листопада 2020 у Wayback Machine.] Зручне керування на клавіатурі. [ 8 листопада 2020 у Wayback Machine.] Java [ 8 листопада 2020 у Wayback Machine.](англ.) або для WinXP [ 16 серпня 2016 у Wayback Machine.]
  • Jenn3D [ 19 листопада 2021 у Wayback Machine.](англ.) — керований політ у 3-стереографічній проєкції 4-політопів, наприклад, тесеракту
  • 4D евклідів простір [ 13 квітня 2016 у Wayback Machine.](англ.)
  • 4D Building Blocks — Interactive game to explore 4D space [ 27 червня 2016 у Wayback Machine.](англ.)
  • 4DNav — Простий інструмент для перегляду 4-вимірного об'єкту в чотирьох 3-вимірних проєкціях [ 17 травня 2009 у Wayback Machine.](фр.) використовує (англ.)
  • TeV scale gravity, mirror universe, and … dinosaurs [ 8 квітня 2016 у Wayback Machine.] стаття Зураба К. Сілагадзе з Acta Physica Polonica B [ 24 березня 2021 у Wayback Machine.](англ.)
  • Вікі-збірник 4-мірия Гаррета Джонса [Архівовано 20 грудня 2012 у Archive.is](англ.)
  • (англ.)
  • . Архів оригіналу за 5 липня 2016. Процитовано 1 липня 2016. (рос.)

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Cya stattya maye kilka nedolikiv Bud laska dopomozhit udoskonaliti yiyi abo obgovorit ci problemi na storinci obgovorennya Cya stattya mistit perelik posilan ale pohodzhennya okremih tverdzhen zalishayetsya nezrozumilim cherez brak vnutrishnotekstovih dzherel vinosok Bud laska dopomozhit polipshiti cyu stattyu peretvorivshi dzherela z pereliku posilan na dzherela vinoski u samomu teksti statti Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki 15 sichnya 2020 Cya stattya potrebuye uvagi j turboti fahivcya u svoyij galuzi Bud laska povidomte pro ce znajomomu vam specialistu abo vipravte yiyi sami yaksho vi volodiyete vidpovidnimi znannyami Mozhlivo storinka obgovorennya mistit zauvazhennya shodo potribnih zmin 15 sichnya 2020 Chotirivi mirnij pro stir poznachennya 4D abo R4 displaystyle mathbb R 4 matematichnij ob yekt sho uzagalnyuye vlastivosti trivimirnogo prostoru Jogo ne varto plutati z chotirivimirnim prostorom chasom teoriyi vidnosnosti prostorom Minkovskogo 3D proyekciya teseraktu proste obertannya Algebrichno chotirivimirnij prostir mozhe buti pobudovano yak mnozhinu vektoriv z chotirma dijsnimi koordinatami Geometrichno v najprostishomu vipadku chotirivimirnij prostir rozglyadayetsya yak evklidiv prostir chotiroh vimiriv u zagalnishomu rozglyadi vin maye neevklidovu metriku zminyuvanu vid tochki do tochki Sposobi vizualizaciyi chotirivimirnih tilProyekciyi Stereografichna proyekciya en mnozhina tochok cos a sin a cos b sin b yakij ye pidmnozhinoyu 3 sferi Proyekciya zobrazhennya n vimirnoyi figuri na tak zvanomu kartinnomu proyekcijnomu pidprostori sposobom sho ye geometrichnoyu idealizaciyeyu optichnih mehanizmiv Tak napriklad u realnomu sviti kontur tini predmetu ce proyekciya konturu cogo predmetu na plasku chi nablizhenu do plaskoyi poverhnyu proyekcijnu ploshinu Pri rozglyadi proyekcij chotirivimirnih til proyeciyuvannya zdijsnyuyetsya na trivimirnij prostir tobto po vidnoshennyu do chotirivimirnogo prostoru na kartinnij proyecijnij pidprostir tobto prostir z kilkistyu vimiriv abo inakshe kazhuchi rozmirnistyu na odin menshoyu nizh kilkist vimiriv rozmirnist samogo togo prostoru v yakomu znahoditsya tilo sho proyektuyetsya Proyekciyi buvayut paralelnimi proyekcijni promeni paralelni ta centralnimi proyekcijni promeni vihodyat iz deyakoyi tochki Inodi zastosovuyutsya takozh stereografichni proyekciyi Stereografichna proyekciya centralna proyekciya sho vidbivaye n 1 sferu n vimirnoyi kuli z odniyeyu vikolotoyu tochkoyu na giperploshinu n 1 n 1 sferoyu gipersferoyu nazivayut uzagalnennya sferi giperpoverhnya v n vimirnomu z kilkistyu vimiriv abo rozmirnistyu n evklidovomu prostori yaka utvorena tochkami rivnoviddalenimi vid zadanoyi tochki zvanoyi centrom sferi giperkuleyu tilo oblast giperprostoru obmezhene gipersferoyu Pererizi Pereriz pentahorona tetraedrom u centralnij proyekciyi Pereriz zobrazhennya figuri utvorenoyi roztinom tila ploshinoyu bez zobrazhennya chastin za ciyeyu ploshinoyu Podibno do togo yak buduyutsya dvovimirni pererizi trivimirnih til mozhna pobuduvati trivimirni pererizi chotirivimirnih til prichomu tak samo yak dvovimirni pererizi odnogo i togo zh samogo trivimirnogo tila mozhut silno vidriznyatisya za formoyu tak i trivimirni pererizi budut she bilshe riznomanitnimi oskilki zminyuvatimut i kilkist granej i kilkist storin u kozhnoyi grani pererizu Pobudova trivimirnih pereriziv skladnisha nizh stvorennya proyekcij oskilki proyekciyi mozhna osoblivo dlya neskladnih til otrimati za analogiyeyu z dvovimirnimi a pererizi buduyutsya tilki logichnim shlyahom pri comu rozglyadayetsya kozhnij konkretnij vipadok okremo Rozgortki Rozgortka teseraktu Rozgortka giperpoverhni figura sho otrimuyetsya v giperploshini pidprostori pri takomu sumishenni tochok danoyi giperpoverhni z ciyeyu ploshinoyu pri yakomu dovzhini linij zalishayutsya stalimi Analogichno do togo yak trivimirni bagatogranniki mozhna sklasti z paperovih rozgortok bagatovimirni tila mozhut buti predstavleni u viglyadi rozgortok svoyih giperpoverhon Sprobi naukovogo doslidzhennyaPislya togo yak Berngard Riman u 1853 roci teoretichno obgruntuvav mozhlivist isnuvannya n vimirnogo prostoru sprobi viyaviti ta dosliditi gipotetichni dodatkovi vimiri prostoru neodnorazovo zdijsnyuvali yak serjozni naukovci tak i vsilyaki okultisti ta vidverti shahrayi Anglijskij matematik Charlz Ginton opublikuvav ryad knig na cyu temu ta gliboko vivchiv problemu vizualizaciyi Na jogo dumku nash trivimirnij svit rozdilyaye nevidimij nam chotirivimirnij na dvi chastini analogichno do togo yak ploshina dilit navpil nash prostir Ci chastini vin umovno nazvav greckoyu Ana verhnij svit i Kata nizhnij svit U drugij polovini XIX pochatku XX stolittya vivchennya ciyeyi temi bulo dobryache diskreditovano spiritizmom yakij rozglyadav nevidimi vimiri yak oselyu dush pomerlih a sviti Ana i Kata najchastishe uosoblyuvalisya z peklom i rayem svij vnesok zrobili filosofi ta teologi Razom z tim zapitannya privertalo uvagu takih velikih naukovciv yak fiziki Vilyam Kruks i Vilgelm Veber astronom Jogann Karl Fridrih Cellner avtor knigi Transcendentalna fizika nobelivski laureati lord Relej i Dzhozef Dzhon Tomson V 1920 ti roki z yavilasya persha fizichna model p yativimirnogo prostoru chasu sho vklyuchaye chotirivimirnij prostir teoriya Kaluci Klejna cya teoriya dozvolyala zv yazati gravitaciyu ta elektromagnetizm iz geometrichnimi vlastivostyami prostoru i chasu U suchasnij teoriyi strun prostir chas maye 11 vimiriv Div takozh Starshi rozmirnostiU kulturiTema dodatkovih vimiriv prostoru ta blizka do neyi tema paralelnih svitiv davno stala populyarnoyu u fantastichnij i filosofskij literaturi Gerbert Uells yakij odnim iz pershih opisav podorozh u chasi v bagatoh inshih svoyih tvorah porushiv takozh i nevidimi vimiri prostoru Chudovij vizit Divovizhnij vipadok z ochima Devidsona Krishtaleve yajce Vikradeni tila Lyudi yak bogi Istoriya Plattnera V ostannij rozpovidi lyudina yaka bula vikinuta katastrofoyu z nashogo svitu a potim povernulasya zaznaye prostorove vidobrazhennya napriklad serce u neyi opinyayetsya z pravogo boku Volodimir Nabokov opisav analogichnu zminu prostorovoyi oriyentaciyi v romani en 1974 U naukovij fantastici drugoyi polovini XX stolittya chetvertij vimir vikoristovuvali taki veliki pismenniki yak Ajzek Azimov Artur Klark Frederik Pol Klifford Sajmak i bagato inshih Stvorennya chotirivimirnogo teseraktu lezhit v osnovi syuzhetu rozpovidi Roberta Gajnlajna I pobuduvav vin budinok U mistichnij literaturi chetvertij vimir neridko opisuyetsya yak oselya demoniv abo dush pomerlih Ci motivi zustrichayutsya napriklad u Dzhordzha Makdonalda roman Lilit u deyakih rozpovidyah Ambroza Birsa v rozpovidi A P Chehova Tayemnicya V romani Dzh Konrada i F M Forda en 1901 meshkanci chetvertogo vimiru namagayutsya zahopiti nash Vsesvit Koncepciya chetvertogo vimiru zrobila znachnij vpliv na obrazotvorche mistectvo Rol perspektivi znizilasya napriklad kubisti Pikasso Metcenzhe ta inshi u svoyih kartinah chasto zobrazhali lyudej i predmeti odnochasno v riznih rakursah tim samim nachebto dodayuchi yim vimiriv div napriklad kartinu Avinjonski divici Gijom Apolliner 1913 roku pisav Sogodni naukovci bilshe ne obmezhuyut sebe troma vimirami Evklida I hudozhniki sho cilkom prirodno hocha htos i skazhe sho tilki zavdyaki intuyiciyi zaluchili novi mozhlivosti prostorovih vimiriv sho movoyu suchasnih studij stalo nazivatisya chetvertim vimirom Isnuyuchi u svidomosti obrazom plastiki predmetu chetvertij vimir zarodzhuyetsya zavdyaki trom vidomim vimiram vono ye neosyazhnist prostoru v usih napryamkah u kozhnu mit Ce sam prostir sam vimir neskinchennosti chetvertij vimir nadilyaye predmeti plastichnistyu Poshukom novih zasobiv zajmavsya syurrealist Marsel Dyushan dobre znajomij z bagatovimirnoyu matematikoyu ta metodami yiyi vizualizaciyi Sered najharakternishih zrazkiv jogo tvorchosti kartini Ogolena na shodah 2 i Velike sklo Analogichni motivi proslidkovuyutsya u futuristiv suprematistiv roboti Malevicha cogo periodu nagaduyut plaski pererizi ob yektiv z vishih vimiriv i syurrealistiv U Salvadora Dali ye kartini Rozp yattya chi Giperkubichne tilo ta U poshukah chetvertogo vimiru Div takozhn vimirna evklidova geometriya GiperkubPrimitkiIban yes 2014 s 59 60 71 Iban yes 2014 s 75 81 Iban yes 2014 s 87 102 Iban yes 2014 s 133 155 LiteraturaLyudina yaka bachila chetvertij vimir Giperprostir Michio Kajku Per z anglijskoyi Anzhela Kam yanec Nauk red Ivan Vakarchuk Lviv Litopis 2019 S 75 100 Iban yes Raul 2014 Chetvyortoe izmerenie Yavlyaetsya li nash mir tenyu drugoj Vselennoj Mir matematiki v 45 tomah tom 6 M De Agostini ISBN 978 5 9774 0631 4 ros PosilannyaDimensions video progulyanka matematichnimi rozmirnostyami rizni uyavlennya bagatovimirnih ob yektiv etalni primitki z posilannyami 16 travnya 2016 u Wayback Machine ros Ebbott E Byurger D nedostupne posilannya z travnya 2019 Fletlandiya nedostupne posilannya z travnya 2019 Sferlandiya nedostupne posilannya z travnya 2019 ros MagicCube 4D 9 kvitnya 2016 u Wayback Machine 4 vimirnij analog tradicijnogo kubika Rubika angl Pokadrova animaciya 4D 3D analogij 2 lipnya 2016 u Wayback Machine angl Znajti vihid iz labirintu v 3D i 4D 8 listopada 2020 u Wayback Machine Zruchne keruvannya na klaviaturi 8 listopada 2020 u Wayback Machine Java 8 listopada 2020 u Wayback Machine angl abo dlya WinXP 16 serpnya 2016 u Wayback Machine Jenn3D 19 listopada 2021 u Wayback Machine angl kerovanij polit u 3 stereografichnij proyekciyi 4 politopiv napriklad teseraktu 4D evklidiv prostir 13 kvitnya 2016 u Wayback Machine angl 4D Building Blocks Interactive game to explore 4D space 27 chervnya 2016 u Wayback Machine angl 4DNav Prostij instrument dlya pereglyadu 4 vimirnogo ob yektu v chotiroh 3 vimirnih proyekciyah 17 travnya 2009 u Wayback Machine fr vikoristovuye angl TeV scale gravity mirror universe and dinosaurs 8 kvitnya 2016 u Wayback Machine stattya Zuraba K Silagadze z Acta Physica Polonica B 24 bereznya 2021 u Wayback Machine angl Viki zbirnik 4 miriya Garreta Dzhonsa Arhivovano 20 grudnya 2012 u Archive is angl angl Arhiv originalu za 5 lipnya 2016 Procitovano 1 lipnya 2016 ros

Дата публікації:
Топ