Кирпатий додекаедр

Кирпатий додекаедр, плосконосий додекаедр або плосконосий ікосододекаедр — напівправильний многогранник (архімедове тіло), одне з тринадцяти опуклих ізогональних непризматичних тіл, гранями яких є два або більше правильних многокутників.

Кирпатий додекаедр має 92 грані (найбільше з усіх архімедових тіл), 12 п'ятикутних, інші 80 — правильні трикутники. У нього 150 ребер та 60 вершин.

Многогранник має дві різні форми, що є дзеркальними образами (або енантіоморфами) одна одної. Об'єднання обох форм утворює ^[en], а опукла оболонка цієї конструкції є ромбозрізаним ікосододекаедром.

Кеплер 1619 року у своїй книзі Harmonices Mundi спочатку назвав його латиною dodecahedron simum. Гарольд Коксетер зауважив, що многогранник можна отримати і з додекаедра або ікосаедра і назвав його кирпатим ікосододекаедром, з вертикальним символом Шлефлі ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$.

Співвідношення між довжиною ребра ${\displaystyle a}$ та діаметром описаної сфери ${\displaystyle D}$:

${\displaystyle D=4{,}311675\cdot a}$

Декартові координати

з парною кількістю знаків плюс, де: (±2α, ±2, ±2β),

(±(α+β/ϕ+ϕ), ±(−αϕ+β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ−1)),

(±(α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ−β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ+1)),

(±(−α/ϕ+βϕ+1), ±(−α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β−1/ϕ)) та: (±(−α/ϕ+βϕ−1), ±(α−β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β+1/ϕ)), і

α = ξ − 1 / ξ

де ${\displaystyle \phi =(1+{\sqrt {5}})/2}$ — золотий перетин, а ξ — дійсний розв'язок рівняння ξ³ − 2ξ = ϕ і це число дорівнює

β = ξϕ + ϕ ² + ϕ /ξ,

а об'єм дорівнює

${\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{{\frac {\phi }{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\phi -{\frac {5}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {\phi }{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\phi -{\frac {5}{27}}}}}}}$

або, приблизно, 1,7155615.

Цей кирпатий додекаедр має довжину ребра приблизно 6,0437380841.

Перетворення ромбоікосідодекаедра на кирпатий додекаедр

Якщо взяти непарні перестановки наведених вище координат із парним числом знаків плюс, отримаємо іншу, енантіоморфну форму першого. Хоча це не зразу очевидно, тіло, отримане з парних перестановок, є тим самим, що й з непарних. Так само, дзеркальне відбиття многогранника відповідатиме або парним перестановкам, або непарним.

Площа поверхні та об'єм

За довжини ребра 1 площа поверхні дорівнює

${\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55,28674495844515}$

Декартовими координатами вершин кирпатого додекаедра є всі парні перестановки

${\displaystyle V={\frac {12\xi ^{2}(3\phi +1)-\xi (36\phi +7)-(53\phi +6)}{6{\sqrt {3-\xi ^{2}}}^{3}}}\approx 37,61664996273336}$ ,

де ${\displaystyle \phi }$ — золотий перетин.

Кирпатий додекаедр має найвищу сферичність із усіх архімедових тіл.

Ортогональні проєкції

Кирпатий додекаедр має дві особливі ортогональні проєкції, центровані відносно двох типів граней — трикутних та п'ятикутних, що відповідають площинам Коксетера A₂ та H₂.

Ортогональні проекції

Центрований відносно…	…трикутної грані	…п'ятикутної грані	…ребра
Зображення
Проєктивна симетрія	[3]	[5]^+	[2]
Двоїстий многогранник

Геометричні зв'язки

Обертання кирпатого додекаедра
Обертання по спіралі вправо Обертання по спіралі вліво

Кирпатий додекаедр можна отримати з дванадцяти правильних п'ятикутних граней додекаедра, так, щоб вони перестали торкатися одна одної. При розтягуванні на відповідну відстань це дасть ромбоікосододекаедр, якщо простір, отриманий між розділеними ребрами, заповнити квадратами, а між розділеними вершинами — трикутниками. Але щоб отримати кирпатий вид, заповнюємо лише трикутні грані, квадратні проміжки залишаємо порожніми. Тепер повертаємо п'ятикутники відносно їхніх центрів разом із трикутниками, доки квадратні проміжки не перетворяться на рівносторонні трикутники.

Кирпатий додекаедр можна також отримати з ромбозрізаного ікосододекаедра ^[en]. Шістдесят вершин ромбозрізаного ікосододекаедра утворюють многогранник, топологічно еквівалентний одному кирпатому додекаедру. Решта шістдесят утворюють його дзеркальне відображення. Отриманий многогранник вершинно транзитивний, але не однорідний, оскільки має ребра різної довжини, для зведення його до однорідного многогранника знадобиться деяка деформація.

Пов'язані многогранники та мозаїки

Сімейство однорідних ікосаедричних багатогранників

Симетрія: , (*532)							[5,3]^+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Двоїсті до однорідних багатогранників
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5		V3.3.3.3.3

Цей напівправильний многогранник належить до послідовності ^[en] многогранників та мозаїк з вершинною фігурою (3.3.3.3.n) та діаграмою Коксетера — Динкіна. Ці фігури та їхні двоїсті мають (n32) обертальну ^[en] і існують у евклідовій площині для n=6 та гіперболічній площині для будь-якого n, більшого від 6. Можна вважати, що послідовність починається з n=2, якщо припустити, що деяка множина граней вироджується в двокутники.

n32 симетрії кирпатих мозаїк: 3.3.3.3.n

Симетрія	Сферична					Компактна гіперболічна		Паракомп.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Кирпаті фігури
Конфігурація	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5
Фігури
Конфігурація	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3				V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Граф кирпатого додекаедра

Граф кирпатого додекаедра
(Вершин)	60
(Ребер)	150
(Автоморфізм)	60
Властивості	гамільтонів регулярний

У теорії графів граф кирпатого додекаедра — це граф вершин і ребер кирпатого додекаедра. Він має 60 вершин і 150 ребер і є архімедовим графом.

Галерея

• Розгортання кирпатого додекаедра
• Кирпатий додекаедр

Примітки

1. Веннинджер, 1974, с. 20, 42.
2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
3. Люстерник, 1956, с. 183.
4. Read, Wilson, 1998, с. 269.

Література

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, ^[ru], ^[ru]. — М. : ^[ru], 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : ^[ru], 1956.
• Udaya Jayatilake. Calculations on face and vertex regular polyhedra // Mathematical Gazette. — 2005. — Т. 89, вип. 514 (March) (4 липня). — С. 76–81.
• Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc, 1979. — . (Секція 3-9)
• P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom : Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — .
• R.C. Read, R.J. Wilson. An Atlas of Graphs. — Oxford University Press, 1998.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Snub dodecahedral graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• 3D convex uniform polyhedra Архівовано грудень 22, 2015 на сайті Wayback Machine.
• Editable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view Архівовано грудень 23, 2015 на сайті Wayback Machine.
• The Uniform Polyhedra Архівовано лютий 11, 2008 на сайті Wayback Machine.
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra Архівовано лютий 23, 2008 на сайті Wayback Machine.
• The Snub Dodecahedron made with LEGO by Antonio Nicassio (ITALY) Архівовано грудень 22, 2015 на сайті Wayback Machine.