Факторгрупа

Фактор-група — в теорії груп, група класів еквівалентності відносно деякого відношення еквівалентності. Тобто, фактор-множина, що має властивості групи.

Визначення

Нехай ${\displaystyle G}$ — група, і ${\displaystyle H}$ — її нормальна підгрупа, тобто для довільного ${\displaystyle a\in G}$ його класи суміжності збігаються:

${\displaystyle \ aH=Ha}$

Тоді на класах суміжності ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$ можна ввести множення:

${\displaystyle \ (aH)(bH)=abH}$

Легко перевірити, що це множення не залежить від вибору елементів у класах суміжності, тобто якщо ${\displaystyle aH=a'H}$ і ${\displaystyle bH=b'H}$, то ${\displaystyle abH=a'b'H}$. Воно визначає структуру групи на множині класів суміжності, а одержана група називається фактор-групою ${\displaystyle G}$ по ${\displaystyle H}$.

Фактор-група позначається ${\displaystyle G/H}$.

Властивості

• Теорема про гомоморфізм: Для довільного гомоморфізму ${\displaystyle \varphi :G\to K}$

${\displaystyle G/{\mathrm {K} er}\,\varphi \cong \varphi (G)}$,

тобто фактор-група ${\displaystyle G}$ за ядром ${\displaystyle {\mathrm {K} er}\varphi }$ ізоморфна її образу ${\displaystyle \varphi (G)}$ в ${\displaystyle K}$.

• Відображення ${\displaystyle a\mapsto aH}$ задає природний гомоморфізм ${\displaystyle G\to G/H}$.
• Порядок ${\displaystyle G/H}$ рівний індексу підгрупи ${\displaystyle [G:H]}$. У випадку скінченної групи ${\displaystyle G}$ він рівний ${\displaystyle |G|/|H|}$.
• Якщо ${\displaystyle G}$ абелева, нільпотентна, циклічна або , то і ${\displaystyle G/H}$ буде мати такі ж властивості.
• ${\displaystyle G/G}$ ізоморфна тривіальній групі (${\displaystyle \{e\}}$), ${\displaystyle G/{e}}$ ізоморфна ${\displaystyle G}$.

Приклади

• Нехай ${\displaystyle G=\mathbb {Z} ,\;H=2\mathbb {Z} }$, тоді ${\displaystyle G/H}$ ізоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.
• Нехай ${\displaystyle G=\mathbf {UT} _{n}}$ група невироджених верхньотрикутних матриць, ${\displaystyle H=\mathbf {SUT} _{n}}$ група верхніх унітрикутних матриць, тоді ${\displaystyle G/H}$ ізоморфна групі діагональних матриць.

Див. також

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми
• Фактор-кільце
• Фактор-простір

Література

Українською

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)

• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)

1. . Архів оригіналу за 16 квітня 2021. Процитовано 4 квітня 2022.