Рівняння прямої

Пряма́ або пряма́ лінія — одне з основних понять геометрії, введене античними математиками для позначення прямих об'єктів (тобто без кривини) з несуттєвою шириною та глибиною. Прямі є ідеалізаціями таких об'єктів.

Червона та блакитна прямі мають однаковий кутовий коефіцієнт; червона та зелена прямі мають спільний перетин з віссю y.

Евклід описує пряму, як лінію нескінченної довжини, яка розташована однаково по відношенню до будь-якої своєї точки. Він визначив набір постулатів, як основних властивостей, що приймаються без доведень, а вже з них робляться логічні доведення, які і утворюють всю геометрію, яка зараз називається Евклідовою геометрією. Починаючи з кінці 19 сторіччя в активному вжитку знаходяться й інші геометрії, такі як неевклідові геометрії, проективна та афінна геометрії.

В сучасній математиці, в якій є багато геометричних концепцій, поняття лінії здебільшого залежить від способу, яким геометрія описується. Наприклад, в аналітичній геометрії, пряма визначається як множина точок, координати яких задовольняють лінійне рівняння. В більш абстрактних концепціях, таких, як геометрія інцидентності, пряма може бути незалежним об'єктом, відмінним від тих точок, з яких вона складається.

При аксіоматичному опису геометрії, поняття прямої лінії зазвичай залишається невизначеним, приймається за одне з вихідних понять (так зване неозначуване поняття), яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Перевагою такого підходу є гнучкість у використанні такої геометрії. Так у диференціальній геометрії, пряму можна розуміти як геодезичну лінію (найкоротший шлях між двома точками), а в проективній геометрії пряма є двовимірним векторним простором (всі лінійні комбінації двох незалежних векторів). Така гнучкість корисна не тільки математикам, а й іншим. Наприклад, фізики можуть мислити шлях проходження світла, як пряму лінію.

Визначення і описання

Всі визначення з рештою є ^[en] за своєю природою, оскільки вони залежать від понять, які також повинні мати визначення, і цей ланцюг залежностей не можна продовжувати нескінченності без повернення назад до початкової точки. Тому, аби уникнути такого зациклювання, певні поняття мають бути прийняти як такі, що не потребують визначення. В геометрії, таким поняттям часто є поняття прямої, що є одним із фундаментальним понять. В тих випадках, коли пряма може бути визначеним поняттям, як у аналітичній геометрії, за фундаментальні поняття обираються якісь інші примітиви. Якщо поняття прямої є фундаментальним невизначеним поняттям, тоді поведінка і властивості прямої визначають за допомогою аксіом, яким вона повинна задовольняти.

При спрощеному або неаксиоматичному трактуванні геометрії, поняття або фундаментальне означення може бути занадто абстрактним, для уявлення. В таких випадках наводять описання або ментальний образ цього первісного поняття, аби сформувати основу для вибудовування поняття, яке формально буде базуватися на (невизначених) аксіомах. Деякі автори можуть наводити таке описання замість визначення, користуючись цим неформальним стилем представлення. Але ці визначення не є вірними, і не можуть використовуватися в формальних виведеннях тверджень. «Визначення» прямої в в математичних трактатах Евкліда підпадає під цю категорію. Навіть, при розгляді певної системи геометрії (наприклад, Евклідової геометрії), між авторами не існує загальноприйнятої згоди, щодо того яким повинно бути неформальне описання прямої, і те що воно не повинно розглядатися формально.

Властивості прямої в евклідовій геометрії

• Через будь-яку точку можна провести нескінченно багато прямих.
• Через будь-які дві незбіжні точки можна провести єдину пряму.
• Дві незбіжні прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є паралельними (випливає з попереднього). У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих.
• У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:
  • прямі перетинаються;
  • прямі паралельні;
  • прямі мимобіжні.

Алгебраїчне визначення

Три графіки ліній — червона та синя мають однаковий нахил k, а червона та зелена мають однаковий зсув b.

Пряма лінія — алгебраїчна лінія першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням першого степеня (лінійне рівняння):

${\displaystyle ax+by+c=0}$

де ${\displaystyle a\,}$, ${\displaystyle b\,}$, ${\displaystyle c\,}$ — деякі числа, при чому ${\displaystyle a\,}$ або ${\displaystyle b\,}$ повинне бути відмінне від нуля. Це рівняння — загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним».

Натомість, канонічне рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції:

${\displaystyle y=kx+b}$.

Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину.

Загальне визначення прямої

Загальне рівняння прямої лінії на площині в декартових координатах:

${\displaystyle Ax+By+C=0,\,}$

де ${\displaystyle A,B}$ та ${\displaystyle C}$ — довільні постійні, причому постійні ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ не дорівнюються нулю одночасно.

При ${\displaystyle A=0}$ пряма паралельна осі ${\displaystyle Ox}$, при ${\displaystyle B=0}$ — паралельна осі ${\displaystyle Oy}$.

Вектор з координатами ${\displaystyle (A,B)}$ називається нормальним вектором, він перпендикулярний прямій.

При ${\displaystyle C=0}$ пряма проходить через початок координат.

Також рівняння можна переписати у вигляді:

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.}$

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь ${\displaystyle Oy}$ у точці ${\displaystyle (0,\;b)}$ і утворює кут ${\displaystyle \varphi }$ з додатним напрямком осі ${\displaystyle Ox}$:

${\displaystyle y=kx+b,\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi .}$

Коефіцієнт ${\displaystyle k}$ називається кутовим коефіцієнтом прямої.

У цьому виді неможливо уявити пряму, паралельну осі (іноді в цьому випадку формально кажуть, що кутовий коефіцієнт стає нескінченним).

Отримання рівняння прямої у відрізках

Рівняння прямої у відрізках

Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь ${\displaystyle Ox}$ у точці ${\displaystyle (a,\;0)}$ та вісь ${\displaystyle Oy}$ у точці ${\displaystyle (0,\;b)}$:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).}$

У цьому вигляді неможливо представити пряму, що проходить через початок координат.

Нормальне рівняння прямої

${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,\,}$

де ${\displaystyle p}$ — довжина перпендикуляра, опущеного на пряму з початку координат, а ${\displaystyle \theta }$ — кут між нормальним до прямої вектором та додатним напрямом осі ${\displaystyle Ox}$. Якщо ${\displaystyle p=0}$, то пряма проходить через початок координат, а кут ${\displaystyle \theta =\varphi +{\frac {\pi }{2}}}$ задає кут нахилу прямої.

Якщо пряма задана загальним рівнянням ${\displaystyle Ax+By+C=0,}$ то відрізки ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b,}$ відсікаються нею на осях, кутовий коефіцієнт ${\displaystyle k,}$ відстань від початку координат ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \cos \theta }$ та ${\displaystyle \sin \theta }$  виражаються через коефіцієнти ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ та ${\displaystyle C}$ наступним чином:

${\displaystyle a=-{\frac {C}{A}},\quad b=-{\frac {C}{B}},\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi =-{\frac {A}{B}},\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2}},}$

${\displaystyle p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}.}$

Щоб уникнути невизначеності знак перед радикалом вибирається так, щоб дотримувалася умова ${\displaystyle p>0.}$ У цьому випадку ${\displaystyle \cos \theta }$ та ${\displaystyle \sin \theta }$ є напрямними косинусами виражаються нормалі прямої — перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму. Якщо ${\displaystyle C=0,}$ то пряма проходить через початок координат і вибір позитивного напрямку довільний.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані незбіжні точки

Якщо задані дві незбіжні точки з координатами ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$ та ${\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}$, то пряма, що проходить через них задається рівнянням:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$

або

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

або у загальному вигляді

${\displaystyle \left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)=0.}$

Отримання векторного параметричного рівняння прямої

Векторне параметричне рівняння прямої

Векторне параметричне рівняння прямої задається вектором ${\displaystyle {\vec {r}}_{0},}$ кінець якого лежить на прямій, і напрямним вектором прямої ${\displaystyle {\vec {u}}.}$ Параметр ${\displaystyle t}$ пробігає всі дійсні значення.

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.}$

Параметричні рівняння прямої можуть бути записані у вигляді

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases}}}$

де ${\displaystyle t}$ — довільний параметр ${\displaystyle a_{x},\;a_{y}}$ — координати ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ напрямного вектора прямої. При цьому

${\displaystyle k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y}}},\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},}$

${\displaystyle p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.}$

Сенс параметра ${\displaystyle t}$ аналогічний параметру в векторно-параметричному рівнянні.

Канонічне рівняння прямої

Канонічне рівняння виходить з параметричних рівнянь діленням одного рівняння на інше:

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}}{a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}}$

де ${\displaystyle ~a_{x},a_{y}}$ — координати ${\displaystyle ~x}$ та ${\displaystyle ~y}$ напрямного вектора прямої, ${\displaystyle ~x_{0}}$ та ${\displaystyle ~y_{0}}$ координати точки, що належить прямій.

Рівняння прямої в полярних координатах ${\displaystyle \rho }$ та ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0}$

або

${\displaystyle \rho \cos(\varphi -\theta )=p.\,}$

Рівняння прямої у просторі

Векторне параметричне рівняння прямої в просторі:

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+t{\vec {a}},\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),}$

де ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ — радіус-вектор деякої фіксованої точки ${\displaystyle M_{0},}$ що лежить на прямій, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ — ненульовий вектор, колінеарний цій прямій, ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радіус-вектор довільної точки прямої.

Параметричні рівняння прямої в просторі:

${\displaystyle x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),}$

де ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})}$ — координати фіксованої точки ${\displaystyle M_{0},}$ що лежить на прямій; ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )}$ — координати вектора, колінеарного цій прямій.

Канонічне рівняння прямої в просторі:

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }},}$

де ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})}$ — координати фіксованої точки ${\displaystyle M_{0},}$ що лежить на прямій; ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )}$ — координати вектора, колінеарного цій прямій.

Оскільки пряма є перетином двох різних площин заданих відповідно загальними рівняннями:

${\displaystyle ({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0}$ і ${\displaystyle ({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0,}$

то рівняння прямої можна задати системою цих рівнянь:

${\displaystyle {\begin{cases}({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0.\end{cases}}}$

Векторне рівняння прямої в просторі :

Рівняння прямої в просторі можна записати у вигляді векторного добутку радіуса-вектора довільної точки цієї прямої ${\displaystyle {\vec {r}}}$ на фіксований вектор ${\displaystyle {\vec {a}}}$ прямої

${\displaystyle [{\vec {r}},{\vec {a}}]={\vec {M}},}$

де фіксований вектор ${\displaystyle {\vec {M}}}$, ортогональний до вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$, можна знайти, підставляючи в це рівняння радіус-вектор якої-небудь однієї відомої точки прямої.

В n-вимірному просторі

Нехай задано вектор ${\displaystyle k}$ в n-вимірному Евклідовому просторі ${\displaystyle E^{n}}$, ${\displaystyle k=(k_{i})\in E^{n}}$, та ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ — деякі фіксовані числа. Геометричне місце точок ${\displaystyle x=x_{i}}$ простору ${\displaystyle E^{n}}$, координати яких представлено у вигляді:

${\displaystyle x_{i}=k_{i}+\alpha _{i}t,\qquad -\infty <t<+\infty ,\quad i=1,\dots ,n}$,

називається прямою в просторі ${\displaystyle E^{n}}$, що проходить через точку ${\displaystyle k}$ в «напрямі» ${\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$.

Частина прямої, що відповідає зміні параметру ${\displaystyle t}$ в деякому відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ називається прямолінійним відрізком, а її частина, що відповідає зміні параметру в проміжку ${\displaystyle t\geq a}$, — променем.

Якщо задано дві точки ${\displaystyle (x'_{i})}$, ${\displaystyle (x''_{i})}$ то рівняння прямої, що проходить через ці точки матиме вигляд:

${\displaystyle x_{i}=x'_{i}+(x''_{i}-x'_{i})t,\qquad -\infty <t<+\infty ,i=1,\dots ,n}$.

Узагальнене визначення

• Прямою в афінному просторі ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ що задається точкою ${\displaystyle M_{0}}$ та відмінним від нуля вектором ${\displaystyle \mathbf {a} \in {\mathcal {V}}}$ називається множина точок ${\displaystyle M}$, для яких вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {M_{0}M}}}$ колінеарний вектору ${\displaystyle \mathbf {a} }$, тобто, виконується рівність:

${\displaystyle {\overrightarrow {M_{0}M}}=l\mathbf {a} .}$

Таким чином, довільна пряма в просторі ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ має властивості афінного простору розмірності 1.

• В метричному просторі під «прямою» розуміють геодезичну лінію, тобто таку лінію, на якій досягається найменша відстань між двома точками.

Властивості

Пряма ${\displaystyle m}$ паралельна площині ${\displaystyle \alpha }$ тоді та лише тоді, коли в цій площині існує деяка пряма ${\displaystyle p}$ паралельна прямій ${\displaystyle m}$.

Якщо пряма ${\displaystyle m}$ паралельна кожній з площин ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$ що перетинаються, то вона паралельна лінії їхнього перетину.

Якщо три площини попарно перетинаються та не мають спільної прямої, то лінії їхнього перетину або паралельні або мають спільну точку.

В проективній геометрії

Докладніше: Проективна геометрія

В багатьох моделях проективної геометрії, представлення прямої рідко відповідає поняттю «прямої лінії», як це є в Евклідовій геометрії. Типовий приклад цього, можна побачити в еліптичній геометрії. У випадку сферичного представлення еліптичної геометрії, прямі представлені як великі кола на сфері із визначеними на них діаметрально протилежними точками. У іншій моделі еліптичної геометрії, прямі задаються Евклідовими площинами, які проходять через початок системи координат. Хоча ці представлення візуально є відмінними, вони задовольняють властивостям проективної геометрії (наприклад, що дві точки визначають лише одну пряму), що роблять їх зручною відповідністю поняття прямої в цій геометрії.

Примітки

1. Coxeter, 1969, p. 4
2. Faber, 1983, p. 95
3. (Постніков, с. 176)
4. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — М. : Высшая школа, 2003. — Т. 1. — 703 с.(рос.)
5. Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука».
6. Я. П. Понарин (2006). Элементарная Геометрия. т.2. ISBN .
7. Faber, Part III, p. 108.

Див. також

• Паралельні прямі
• (Перпендикулярність прямих на площині)
• Лінія Ейлера
• Лінійне рівняння
• Крива
• Кутовий коефіцієнт
• Гіперцикл (геометрія)
• Уявна пряма (математика)

Посилання

• Пряма лінія на площині // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 88. — 594 с.
• Пряма лінія в просторі // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 134. — 594 с.