Напівпросте кільце

Напівпрості модулі  — модулі, які є прямою сумою простих модулів. Кільце, що є напівпростим модулем над самим собою, називається напівпростим кільцем. Важливий приклад напівпростих кілець  — групове кільце скінченної групи над полем характеристики нуль. Структура напівпростих кілець описується теоремою Веддерберна  — Артіна: всі такі кільця є прямими добутками кілець матриць.

Визначення

Наводяться три еквівалентних визначення напівпростих модулів: модуль M називається напівпростим, якщо

1. M ізоморфний прямій сумі простих (незвідних) модулів.
2. M можна розкласти в суму простих M.
3. Якщо N  — підмодуль M, то існує підмодуль P модуля M, такий що M = N ⊕ P.

Властивості

• Якщо M є напівпростим і N  — його підмодуль, то N і M/N також напівпрості.
• Якщо всі ${\displaystyle M_{i}}$  — напівпрості модулі, то і пряма сума ${\displaystyle \bigoplus _{i}M_{i}}$ є напівпростою.
• Модуль M є скінченнопородженим і напівпростим тоді і тільки тоді, коли він є артиновим і його рівний нулю.

Нехай A — алгебра над полем k. Лівий модуль M над A називається абсолютно напівпростим якщо для будь-якого розширення F поля k, ${\displaystyle F\otimes _{k}M}$ є напівпростим модулем над ${\displaystyle F\otimes _{k}A}$.

Напівпрості кільця

Кільце називається напівпростим (зліва) якщо воно є напівпростим як (лівий) модуль над самим собою. Виявляється, що напівпрості зліва кільця напівпрості справа і навпаки, так що можна говорити про напівпрості кільця.

Будь-які ліві і праві модулі над напівпростим кільцем є напівпростими модулями.

Напівпрості кільця можна охарактеризувати в термінах гомологічної алгебри: кільце R є напівпростим тоді і тільки тоді, коли будь-яка коротка точна послідовність (лівих) R-модулів розщеплюється. Зокрема, модуль над напівпростим кільцем є ін'єктивним і проективним.

Напівпрості кільця є одночасно артиновими і нетеровими. Якщо існує гомоморфізм з поля в напівкільце, воно називається напівпростою алгеброю.

Приклади

• Комутативне напівпросте кільце є ізоморфним прямому добутку полів.
• Якщо k  — поле і G  — скінченна група порядку n, то групове кільце k[G] є напівпростим тоді і тільки тоді, коли характеристика поля ділить n. Цей результат відомий як теорема Машке і важливий в теорії представлень груп.

Теорема Веддерберна  — Артіна

Докладніше: Теорема Веддерберна  — Артіна

Теорема Веддерберна  — Артіна стверджує, що будь-яке напівпросте кільце є ізоморфним прямому добутку кілець матриць n_i на n_i з елементами в тілі D_i, причому числа n_i визначені однозначно, і тіла  — з точністю до ізоморфізму. Зокрема, просте кільце є ізоморфним кільцю матриць над тілом.

Оригінальний результат Джозефа Веддерберна полягав у тому, що просте кільце, яке є скінченновимірною простою алгеброю над тілом є ізоморфним кільцю матриць. Еміль Артін узагальнив теорему на випадок напівпростих (артинових) кілець.

Приклади випадків, в яких можна застосувати теорему Веддерберна  — Артіна: кожна скінченновимірна проста алгебра над R є кільцем матриць над R, C або H (кватерніонами), кожна скінченновимірна проста алгебра над С є кільцем матриць над С.

Примітки

1. Nathan Jacobson, Basic Algebra II (Second Edition), p.120

Література

• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (вид. 2nd), W. H. Freeman, ISBN 
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (вид. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR1838439
• R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.