Крива Безьє — параметрично задана крива, яка використовується в комп'ютерній графіці та суміжних галузях. Узагальнення кривих Безьє на вищі розмірності називаються поверхнями Безьє, якою є [en] в окремому випадку.
Крива Безьє | |
Названо на честь | П'єр Без'є |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом | |
Крива Безьє у Вікісховищі |
У векторній графіці, криві Безьє використовуються для моделювання гладких кривих, які можна масштабувати до нескінченності. «Шляхи», як їх зазвичай називають у програмах для роботи з зображеннями, є комбінаціями з'єднаних кривих Безьє. Шляхи не обмежуються розмірами растрових зображень і їх редагування є інтуїтивно зрозумілим. Криві Безьє також використовуються в анімації, як інструмент для управління рухом, та в системах автоматизованого проектування.
Криві Безьє були запроваджені в 1962 році П'єром Безьє з автомобілебудівної компанії «Рено», хоча ще в 1959 році використовувались [en] з компанії «Сітроен», але його дослідження не публікувались і приховувались компанією як комерційна таємниця до кінця 1960-х.
Іменем де Кастельє названо його рекурсивний спосіб визначення кривих (алгоритм де Кастельє).
Визначення
Крива Безьє — параметрична крива, вигляду
де
- — опорні вершини,
- — поліноми Бернштейна, вони є базисними функціями кривої Без'є.
Також існує рекурсивна формула побудови кривих Безьє
Властивості кривої Безьє
- безперервність заповнення сегмента між початковою та кінцевою точками;
- крива завжди розташовується всередині фігури, утвореної лініями, що з'єднують контрольні точки;
- при наявності лише двох контрольних точок сегмент являє собою пряму лінію;
- пряма лінія утворюється лише тоді, коли контрольні точки розташовані на одній прямій;
- крива Безьє симетрична, тобто обмін місцями між початковою та кінцевою точками (зміна напрямку траєкторії) не впливає на форму кривої;
- масштабування та зміна пропорцій кривої Безьє не порушує її стабільності, оскільки вона з математичної точки зору «аффінно інваріантна»;
- зміна координат хоча б однієї з точок веде до зміни форми всієї кривої Безьє;
- будь-який частковий відрізок кривої Безьє також є кривою Безьє;
- степінь кривої завжди на одиницю менший від кількості контрольних точок. Наприклад, при трьох контрольних точках форма кривої — парабола;
- коло не може бути описане параметричним рівнянням кривої Безьє;
Види кривих Безьє
Лінійні криві Безьє
При n = 1 крива є відрізком від точки P0 до точки P1 (лінійна інтерполяція). Крива задається як:
Квадратичні криві Безьє
Квадратична крива Без'є (n = 2) задається трьома опорними точками: P0, P1 та P2.
- .
Сплайни з квадратичних кривих Безьє використовуються для описування форми символів в шрифтах TrueType.
Кубічні криві Безьє
Чотири опорні точки P0, P1, P2 та P3, задані в 2-х чи 3-мірному просторі визначають форму кривої:
Лінія починається в точці P0 направляється до P1 і закінчується в точці P3 підходячи до неї з боку точки P2. Тобто крива не проходить через точки P1 та P2, вони використовуються для напрямку руху.
- .
В матричній формі кубічна крива Безьє записується як:
- , де — називається базисною матрицею Безьє.
В таких графічних системах, як PostScript, Inkscape та GIMP для криволінійних форм використовуються сплайни з кубічних кривих Безьє.
Застосування в комп'ютерній графіці
Завдяки простоті завдання і виконанню операцій, криві Безьє знайшли широке застосування в комп'ютерній графіці для моделювання гладких ліній. Крива цілком лежить в опуклій оболонці своїх опорних точок. Ця властивість кривих Безьє з одного боку значно полегшує завдання знаходження точок перетину кривих (якщо не перетинаються опуклі оболонки опорних точок, то не перетинаються і самі криві), а з іншого боку дозволяє здійснювати інтуїтивно зрозуміле управління параметрами кривої в графічному інтерфейсі за допомогою її опорних точок. Крім того, афінні перетворення кривої (перенесення, масштабування, обертання та ін.) також можуть бути виконані через застосування відповідних перетворень до опорних точок.
Найбільше значення мають криві Безьє другого та третього степенів (квадратичні і кубічні). Криві вищих степенів при обробці вимагають більшого обсягу обчислень і для практичних цілей використовуються рідше. Для побудови складних за формою ліній, окремі криві Безьє можуть бути послідовно з'єднані один з одним в сплайн Безьє. Для того, щоб забезпечити гладкість лінії в місці з'єднання двох кривих, три суміжні опорні точки обох кривих повинні лежати на одній прямій. У програмах векторної графіки на зразок Adobe Illustrator або Inkscape подібні фрагменти відомі під назвою «контурів» (path).
Див. також
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Category:Bezier Curves |
- [en] (англ.)
- NURBS
- B-сплайн
- Поверхня Безьє
Примітки
- Програми для роботи з зображеннями такі як Inkscape, Adobe Photoshop, and GIMP.
- Програми для роботи з анімацією такі як Adobe Flash, Adobe After Effects, , Blender, Autodesk Maya та Autodesk 3ds MAX.
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kriva Bezye parametrichno zadana kriva yaka vikoristovuyetsya v komp yuternij grafici ta sumizhnih galuzyah Uzagalnennya krivih Bezye na vishi rozmirnosti nazivayutsya poverhnyami Bezye yakoyu ye en v okremomu vipadku Kubichna kriva Bez ye Kriva Bezye source source source source source source source Nazvano na chestP yer Bez ye Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika Kriva Bezye u Vikishovishi U vektornij grafici krivi Bezye vikoristovuyutsya dlya modelyuvannya gladkih krivih yaki mozhna masshtabuvati do neskinchennosti Shlyahi yak yih zazvichaj nazivayut u programah dlya roboti z zobrazhennyami ye kombinaciyami z yednanih krivih Bezye Shlyahi ne obmezhuyutsya rozmirami rastrovih zobrazhen i yih redaguvannya ye intuyitivno zrozumilim Krivi Bezye takozh vikoristovuyutsya v animaciyi yak instrument dlya upravlinnya ruhom ta v sistemah avtomatizovanogo proektuvannya Krivi Bezye buli zaprovadzheni v 1962 roci P yerom Bezye z avtomobilebudivnoyi kompaniyi Reno hocha she v 1959 roci vikoristovuvalis en z kompaniyi Sitroen ale jogo doslidzhennya ne publikuvalis i prihovuvalis kompaniyeyu yak komercijna tayemnicya do kincya 1960 h Imenem de Kastelye nazvano jogo rekursivnij sposib viznachennya krivih algoritm de Kastelye ViznachennyaKubichna kriva Bezye Kriva Bezye parametrichna kriva viglyadu B t i 0 n b i n t P i t 0 1 displaystyle mathbf B t sum i 0 n mathbf b i n t mathbf P i qquad t in 0 1 de P i displaystyle mathbf P i oporni vershini b i n t n i t i 1 t n i displaystyle mathbf b i n t n choose i t i 1 t n i polinomi Bernshtejna voni ye bazisnimi funkciyami krivoyi Bez ye Takozh isnuye rekursivna formula pobudovi krivih Bezye B P 0 P 1 P n t 1 t B P 0 P 1 P n 1 t t B P 1 P 2 P n t displaystyle mathbf B P 0 P 1 ldots P n t 1 t mathbf B P 0 P 1 ldots P n 1 t t mathbf B P 1 P 2 ldots P n t Vlastivosti krivoyi Bezyebezperervnist zapovnennya segmenta mizh pochatkovoyu ta kincevoyu tochkami kriva zavzhdi roztashovuyetsya vseredini figuri utvorenoyi liniyami sho z yednuyut kontrolni tochki pri nayavnosti lishe dvoh kontrolnih tochok segment yavlyaye soboyu pryamu liniyu pryama liniya utvoryuyetsya lishe todi koli kontrolni tochki roztashovani na odnij pryamij kriva Bezye simetrichna tobto obmin miscyami mizh pochatkovoyu ta kincevoyu tochkami zmina napryamku trayektoriyi ne vplivaye na formu krivoyi masshtabuvannya ta zmina proporcij krivoyi Bezye ne porushuye yiyi stabilnosti oskilki vona z matematichnoyi tochki zoru affinno invariantna zmina koordinat hocha b odniyeyi z tochok vede do zmini formi vsiyeyi krivoyi Bezye bud yakij chastkovij vidrizok krivoyi Bezye takozh ye krivoyu Bezye stepin krivoyi zavzhdi na odinicyu menshij vid kilkosti kontrolnih tochok Napriklad pri troh kontrolnih tochkah forma krivoyi parabola kolo ne mozhe buti opisane parametrichnim rivnyannyam krivoyi Bezye Vidi krivih BezyeLinijni krivi Bezye Pri n 1 kriva ye vidrizkom vid tochki P0 do tochki P1 linijna interpolyaciya Kriva zadayetsya yak B t 1 t P 0 t P 1 t 0 1 displaystyle mathbf B t 1 t mathbf P 0 t mathbf P 1 quad t in 0 1 Kvadratichni krivi Bezye Kvadratichna kriva Bez ye n 2 zadayetsya troma opornimi tochkami P0 P1 ta P2 B t 1 t 2 P 0 2 t 1 t P 1 t 2 P 2 t 0 1 displaystyle mathbf B t 1 t 2 mathbf P 0 2t 1 t mathbf P 1 t 2 mathbf P 2 quad t in 0 1 Splajni z kvadratichnih krivih Bezye vikoristovuyutsya dlya opisuvannya formi simvoliv v shriftah TrueType Kubichni krivi Bezye Chotiri oporni tochki P0 P1 P2 ta P3 zadani v 2 h chi 3 mirnomu prostori viznachayut formu krivoyi Liniya pochinayetsya v tochci P0 napravlyayetsya do P1 i zakinchuyetsya v tochci P3 pidhodyachi do neyi z boku tochki P2 Tobto kriva ne prohodit cherez tochki P1 ta P2 voni vikoristovuyutsya dlya napryamku ruhu B t 1 t 3 P 0 3 t 1 t 2 P 1 3 t 2 1 t P 2 t 3 P 3 t 0 1 displaystyle mathbf B t 1 t 3 mathbf P 0 3t 1 t 2 mathbf P 1 3t 2 1 t mathbf P 2 t 3 mathbf P 3 quad t in 0 1 V matrichnij formi kubichna kriva Bezye zapisuyetsya yak B t t 3 t 2 t 1 M B P 0 P 1 P 2 P 3 displaystyle mathbf B t begin bmatrix t 3 amp t 2 amp t amp 1 end bmatrix mathbf M B begin bmatrix mathbf P 0 mathbf P 1 mathbf P 2 mathbf P 3 end bmatrix de M B 1 3 3 1 3 6 3 0 3 3 0 0 1 0 0 0 displaystyle mathbf M B begin bmatrix 1 amp 3 amp 3 amp 1 3 amp 6 amp 3 amp 0 3 amp 3 amp 0 amp 0 1 amp 0 amp 0 amp 0 end bmatrix nazivayetsya bazisnoyu matriceyu Bezye V takih grafichnih sistemah yak PostScript Inkscape ta GIMP dlya krivolinijnih form vikoristovuyutsya splajni z kubichnih krivih Bezye Zastosuvannya v komp yuternij graficiZavdyaki prostoti zavdannya i vikonannyu operacij krivi Bezye znajshli shiroke zastosuvannya v komp yuternij grafici dlya modelyuvannya gladkih linij Kriva cilkom lezhit v opuklij obolonci svoyih opornih tochok Cya vlastivist krivih Bezye z odnogo boku znachno polegshuye zavdannya znahodzhennya tochok peretinu krivih yaksho ne peretinayutsya opukli obolonki opornih tochok to ne peretinayutsya i sami krivi a z inshogo boku dozvolyaye zdijsnyuvati intuyitivno zrozumile upravlinnya parametrami krivoyi v grafichnomu interfejsi za dopomogoyu yiyi opornih tochok Krim togo afinni peretvorennya krivoyi perenesennya masshtabuvannya obertannya ta in takozh mozhut buti vikonani cherez zastosuvannya vidpovidnih peretvoren do opornih tochok Najbilshe znachennya mayut krivi Bezye drugogo ta tretogo stepeniv kvadratichni i kubichni Krivi vishih stepeniv pri obrobci vimagayut bilshogo obsyagu obchislen i dlya praktichnih cilej vikoristovuyutsya ridshe Dlya pobudovi skladnih za formoyu linij okremi krivi Bezye mozhut buti poslidovno z yednani odin z odnim v splajn Bezye Dlya togo shob zabezpechiti gladkist liniyi v misci z yednannya dvoh krivih tri sumizhni oporni tochki oboh krivih povinni lezhati na odnij pryamij U programah vektornoyi grafiki na zrazok Adobe Illustrator abo Inkscape podibni fragmenti vidomi pid nazvoyu konturiv path Div takozhVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Category Bezier Curves en angl NURBS B splajn Poverhnya BezyePrimitkiProgrami dlya roboti z zobrazhennyami taki yak Inkscape Adobe Photoshop and GIMP Programi dlya roboti z animaciyeyu taki yak Adobe Flash Adobe After Effects Blender Autodesk Maya ta Autodesk 3ds MAX LiteraturaRodzhers D Adams Dzh 2001 Matematicheskie osnovy mashinnoj grafiki vid druge Moskva Mir s 604 s ISBN 5 03 002143 4 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite book title Shablon Cite book cite book a Cite maye pustij nevidomij parametr glava dovidka