Лінійна інтерполяція

Лінійна інтерполяція — це інтерполяція функції f алгебраїчним двочленом P₁(x) = kx + c у точках x₀ та x₁, які належать відрізку [a, b].

Для заданих двох червоних точок, синя лінія — лінійний інтерполянт між ними, і значення y в x можна знайти через лінійну інтерполяцію

Лінійна інтерполяція функції (сині прямі).

Геометрична інтерпретація

З геометричної точки зору це означає заміну функції ${\displaystyle f}$ прямою,яка проходить через точки ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ та ${\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))}$.

Рівняння такої прямої має вигляд:

${\displaystyle {\frac {y-f(x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})}}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$

звідси для ${\displaystyle x\in [x_{0},x_{1}]}$ маємо:

${\displaystyle f(x)\approx y=P_{1}(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0})}$

Це і є формула лінійної інтерполяції, причому

${\displaystyle f(x)=P_{1}(x)+R_{1}(x)\quad ,}$

де ${\displaystyle R_{1}(x)}$ — похибка формули, яка обчислюється за формулою:

${\displaystyle R_{1}(x)={\frac {f''(\psi )}{2}}(x-x_{0})(x-x_{1}),\quad \psi \in [x_{0},x_{1}]}$

Для неї є справедливою наступна оцінка:

${\displaystyle |R_{1}(x)|\leqslant {\frac {M_{2}}{2}}\max |(x-x_{0})(x-x_{1})|={\frac {M_{2}h^{2}}{8}},\quad M_{2}=\max _{[a,b]}|f''(x)|,\quad h=x_{1}-x_{0}.}$

Див. також

• Білінійна інтерполяція

Джерела

• Бахвалов Н. С. Численные методы. — М: Лаборатория Базовых Знаний, 2007. — 636 с. — . (рос.)