Поверхня Безьє є різновидом математичного сплайна, використовуваним в комп'ютерній графіці, автоматизованому проектуванні і моделюванні методом скінченних елементів. Як і у випадку кривої Безьє, поверхня Безьє визначається набором контрольних точок. Попри значну подібність до інтерполяції, основна відмінність полягає в тому, що поверхня, в загальному випадку, не проходить через центральні контрольні точки; скоріше, вона «розтягується» відносно них так, ніби кожна з них є центром тяжіння. Поверхні Безьє візуально впізнавані, і математично зручні для багатьох застосувань.
Історія
Поверхні Безьє були вперше описані в 1962 році французьким інженером П'єром Безьє, який використовував їх для проектування автомобільних кузовів. Поверхні Безьє можуть бути будь-якого степеня, але бікубічні поверхні Безьє зазвичай забезпечують достатню кількість ступенів вільності для більшості потреб.
Рівняння поверхні
Поверхня Безьє порядку задається контрольними точками . Вона відображає одиничний квадрат гладкою безперервною поверхнею, вкладеною в простір тієї ж розмірності, що і {}. Наприклад, якщо P — це точки в чотиривимірному просторі, то поверхня також буде в чотиривимірному просторі. Двовимірна поверхня Безьє може бути визначена як параметрична поверхня, коли становище точки р як функції параметричних координат u, v визначається за формулою:
де , а - многочлени Бернштейна:
Деякі властивості поверхонь Безьє:
- Поверхня Безьє перетворюється так само, як і її контрольні точки при всіх лінійних перетвореннях та зрушеннях.
- Усі u = const і v = const лінії в просторі (u, v), і, зокрема, всі чотири ребра деформованого одиничного квадрата (u, v) є кривими Безьє.
- Поверхня Безьє буде повністю лежати всередині опуклої оболонки своїх контрольних точок, і, отже, також повністю в межах рамки своїх контрольних точок в будь-якій заданій декартовій системі координат.
- Точки на латці, відповідній кутам деформованого одиничного квадрата, збігаються з чотирма контрольними точками.
- Проте, поверхня Безьє, як правило, не проходить через інші свої контрольні точки.
Поверхні Безьє в комп'ютерній графіці
Латкові сітки Безьє перевершують трикутні сітки як метод представлення гладких поверхонь, оскільки вони набагато компактніші, ними легше маніпулювати, і вони мають набагато кращі властивості безперервності. Крім того, інші загальні параметричні поверхні, такі як сфери і циліндри можна добре апроксимувати відносно невеликим числом кубічних латок Безьє.
Латку Безьє порядку можна побудувати з двох трикутників Безьє порядку m+n, або з одного трикутника Безьє порядку m+n, з областю визначення у вигляді квадрата замість трикутника.
Трикутник Безьє степеня m може бути також побудований з поверхні Безьє (m, m) порядку, з такими контрольними точками, щоб один край був стиснутий в точку, або з областю визначення даних у вигляді трикутника, а не квадрата.
Примітки
- Farin, Gerald. Curves and Surfaces for CAGD (вид. 5th). Academic Press. ISBN .
Література
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Poverhnya Bezye ye riznovidom matematichnogo splajna vikoristovuvanim v komp yuternij grafici avtomatizovanomu proektuvanni i modelyuvanni metodom skinchennih elementiv Yak i u vipadku krivoyi Bezye poverhnya Bezye viznachayetsya naborom kontrolnih tochok Popri znachnu podibnist do interpolyaciyi osnovna vidminnist polyagaye v tomu sho poverhnya v zagalnomu vipadku ne prohodit cherez centralni kontrolni tochki skorishe vona roztyaguyetsya vidnosno nih tak nibi kozhna z nih ye centrom tyazhinnya Poverhni Bezye vizualno vpiznavani i matematichno zruchni dlya bagatoh zastosuvan IstoriyaPoverhni Bezye buli vpershe opisani v 1962 roci francuzkim inzhenerom P yerom Bezye yakij vikoristovuvav yih dlya proektuvannya avtomobilnih kuzoviv Poverhni Bezye mozhut buti bud yakogo stepenya ale bikubichni poverhni Bezye zazvichaj zabezpechuyut dostatnyu kilkist stupeniv vilnosti dlya bilshosti potreb Rivnyannya poverhniPriklad poverhni Bezye Poverhnya Bezye poryadku n m displaystyle n m zadayetsya n 1 m 1 displaystyle n 1 m 1 kontrolnimi tochkami P i j displaystyle P i j Vona vidobrazhaye odinichnij kvadrat gladkoyu bezperervnoyu poverhneyu vkladenoyu v prostir tiyeyi zh rozmirnosti sho i P i j displaystyle P i j Napriklad yaksho P ce tochki v chotirivimirnomu prostori to poverhnya takozh bude v chotirivimirnomu prostori Dvovimirna poverhnya Bezye mozhe buti viznachena yak parametrichna poverhnya koli stanovishe tochki r yak funkciyi parametrichnih koordinat u v viznachayetsya za formuloyu p u v i 0 n j 0 m B i n u B j m v P i j displaystyle mathbf p u v sum i 0 n sum j 0 m B i n u B j m v mathbf P i j de u v 0 1 displaystyle displaystyle u v in 0 1 a B displaystyle B mnogochleni Bernshtejna B i n u n i u i 1 u n i n i n i u i 1 u n i displaystyle B i n u n choose i u i 1 u n i frac n i n i u i 1 u n i Deyaki vlastivosti poverhon Bezye Poverhnya Bezye peretvoryuyetsya tak samo yak i yiyi kontrolni tochki pri vsih linijnih peretvorennyah ta zrushennyah Usi u const i v const liniyi v prostori u v i zokrema vsi chotiri rebra deformovanogo odinichnogo kvadrata u v ye krivimi Bezye Poverhnya Bezye bude povnistyu lezhati vseredini opukloyi obolonki svoyih kontrolnih tochok i otzhe takozh povnistyu v mezhah ramki svoyih kontrolnih tochok v bud yakij zadanij dekartovij sistemi koordinat Tochki na latci vidpovidnij kutam deformovanogo odinichnogo kvadrata zbigayutsya z chotirma kontrolnimi tochkami Prote poverhnya Bezye yak pravilo ne prohodit cherez inshi svoyi kontrolni tochki Poverhni Bezye v komp yuternij graficiModel Gumbo Edvina Ketmella skladena z latok Latkovi sitki Bezye perevershuyut trikutni sitki yak metod predstavlennya gladkih poverhon oskilki voni nabagato kompaktnishi nimi legshe manipulyuvati i voni mayut nabagato krashi vlastivosti bezperervnosti Krim togo inshi zagalni parametrichni poverhni taki yak sferi i cilindri mozhna dobre aproksimuvati vidnosno nevelikim chislom kubichnih latok Bezye Latku Bezye poryadku n m displaystyle n m mozhna pobuduvati z dvoh trikutnikiv Bezye poryadku m n abo z odnogo trikutnika Bezye poryadku m n z oblastyu viznachennya u viglyadi kvadrata zamist trikutnika Trikutnik Bezye stepenya m mozhe buti takozh pobudovanij z poverhni Bezye m m poryadku z takimi kontrolnimi tochkami shob odin kraj buv stisnutij v tochku abo z oblastyu viznachennya danih u viglyadi trikutnika a ne kvadrata PrimitkiFarin Gerald Curves and Surfaces for CAGD vid 5th Academic Press ISBN 1 55860 737 4 LiteraturaRodzhers D Adams Dzh Matematichni osnovi mashinnoyi grafiki BEZIER SURFACE Routines for Bezier Surface Information angl Biblioteka funkcij Matlab i Fortran sho dozvolyaye doslidzhuvati vlastivosti poverhon Bezye Rozpovsyudzhuyetsya zgidno z licenziyeyu LGPL Div takozhKriva Bezye NURBS V splajn Poverhnya