Метод скінченних елементів — метод чисельного розв'язування диференціальних рівнянь, який широко використовують в інженерному та математичному моделюванні. Процес розв'язання побудований або на повному усуненні диференціального рівняння для стаціонарних задач, або на розкладі ДРЧП в апроксимуючу систему звичайних диференціальних рівнянь, які потім розв'язуються використанням якої-небудь стандартної техніки, такої як метод Ейлера, Рунге-Кутти тощо.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemRpTDBaRlRWOWxlR0Z0Y0d4bFgyOW1YekpFWDNOdmJIVjBhVzl1TG5CdVp5OHlNakJ3ZUMxR1JVMWZaWGhoYlhCc1pWOXZabDh5UkY5emIyeDFkR2x2Ymk1d2JtYz0ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemd3TDBWNFlXMXdiR1ZmYjJaZk1rUmZiV1Z6YUM1d2JtY3ZNakl3Y0hndFJYaGhiWEJzWlY5dlpsOHlSRjl0WlhOb0xuQnVadz09LnBuZw==.png)
При розв'язанні часткових диференціальних рівнянь головною метою є створення рівності, що апроксимує досліджувану рівність, і є числово стабільною, тобто помилки у вхідних даних і проміжних обчисленнях не акумулюються і не спричиняють беззмістовних результатів. Для реалізації цього є багато способів, кожен зі своїми плюсами і мінусами. Метод скінчених елементів є добрим вибором при розв'язуванні ДРЧП, які описують складні середовища (такі як машини, чи нафтогони); при змінності цих середовищ; коли бажана точність змінюється у різних ділянках середовища; чи коли розв'язку не вистачає гладкості. Наприклад, при моделювання фронтального розбиття машини є можливість збільшити точність моделювання у важливіших зонах, таких, як передня частина машини, і зменшити її при обрахунку того, що відбудеться із задньою частиною машини (тим самим зменшивши ресурсоємність моделювання). Інакшим прикладом може служити моделювання погоди на Землі, при якому важливішою є погода над сушею, ніж над безкраїми морськими просторами.
Історія
Метод скінченних елементів (МСЕ) виник з потребою розв'язування складних задач еластичності та структурного аналізу в цивільній, морській та авіаінженерії. Його розвиток можна відслідкувати ще в роботах Олександра Хренікова (1941) та Річарда Куранта (1942). При тому, що бачення двох науковців були неймовірно різними, вони усе ж таки сходились на найважливішому: розподілення великої неперервної області на менші домени, які як правило називаються елементами.
У своїй роботі Хреніков розподіляв домен, використовуючи принцип решітки. В той самий час Курант розділяв область на скінченну кількість трикутних підобластей, які відповідають розв'язкам еліптичних ДРЧП другого порядку, які постають від проблеми скручення циліндра. Внесок Куранта був еволюційним, тобто спирався на великий багаж знань про такі ДРЧП, який накопичили Рейліг, Рітц та Гальоркін.
Розвиток методу скінченних елементів почався в середині 1950-х років для потреб структурного аналізу у аерокосмічній і будівельній галузях і дістав свого найбільшого розвитку в Штутгартському університеті в роботі Джона Аргеріса та в університеті Берклі, а точніше в роботі Рея В. Клафа в 1960-х для використання у цивільній інженерії. До кінця 1950-х ключові концепції матриці жорсткості та збір елементів вже існували практично в таких само формах, в яких вони застосовуються і зараз. В 1965 році на замовлення НАСА була написана програма НАСТРАН, як програмне забезпечення побудоване для реалізації МСЕ. Сам метод був строго доведений в 1973 році в публікації Стренга та Фікса — «Аналіз методу скінченних елементів», і з того часу був узагальнений в окрему галузь прикладної математики та математичного моделювання фізичних систем в великій кількості інженерних дисциплін, таких як електромагнетизм чи рідинна динаміка.
Застосування
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelJoTDBaQlJWOTJhWE4xWVd4cGVtRjBhVzl1TG1wd1p5OHlOVEJ3ZUMxR1FVVmZkbWx6ZFdGc2FYcGhkR2x2Ymk1cWNHYz0uanBn.jpg)
Метод скінченних елементів, зазвичай на стадії дизайну та розробки продуктів, використовує багато дисциплін здебільшого з сім'ї механічної інженерії (таких як аеро-, морська, біометрична та автомобільна індустрії). Декілька сучасних МСЕ-пакетів включають спеціальні елементи, такі як термальні, електромагнітні, рідинні та структурні робочі середовища. В структурному моделюванні МСЕ дуже допомагає у генерації жорсткісних і силових візуалізацій у місцях зсувів та згинів, та відображання розповсюдження сил та зміщень.
МСЕ-програми забезпечують широкий спектр моделювальних можливостей контролю складності і модельовальної і аналітичної систем. За потреби в більшості інженерних програм можна змінювати бажаний рівень точності, час, потрібний для необхідних та асоційованих обчислень.
МСЕ дозволяє проектувати, відлагоджувати та оптимізовувати продукцію перед її випуском. Цей могутній засіб проектування відчутно покращив стандарти інженерних проектів та методологію цього процесу у багатьох сферах. Використання МСЕ зменшило час, за який продукт проходив від концепції до конвеєра. Його головною ідеєю було покращення початкових прототипів використовуючи МСЕ, що сприяло прискоренню їхнього тестування та розробки. В цілому, перевагами МСЕ є збільшення точності, покращення дизайну і краще бачення його критичних параметрів, створення віртуальних прототипів, зменшення кількості реальних прототипів, пришвидшення та здешевлення проектування, збільшення продуктивності та прибутковості.
Технічна сторона
Розглянемо дію методу на двох прикладах, на які можна екстраполювати основний метод.
П1 є одновимірною проблемою:
де є заданою функцією, а
— невідома функція від
, і
є другою похідною функції
по змінній x.
Двовимірна проблема є відомою під назвою проблема Діріхле:
де є відкритою зв'язною областю на площині
, з «гарною» (наприклад багатокутником) границею, а
і
— другі похідні функції
по
, та по
відповідно.
Проблему П1 можна розв'язати прямо — обраховуванням первісних. Хоча цей метод розв'язування задач на граничних значеннями працює коли є тільки один просторовий вимір і не узагальнюється на багатовимірні задачі чи на задачі виду . З цієї причини ми застосуємо метод скінченних елементів на П1 і опишемо його узагальнення на П2.
Наше пояснення відбуватиметься у два кроки, які віддзеркалюють два основних кроки для розв'язання задач на граничні значення використовуючи МСЕ.
- На першому кроці ми маємо перетворити ЧДР у його «слабку», чи варіаційну форму. Для цього кроку, як правило, ніяких обчислень взагалі не потрібно — всі перетворення робляться вручну на папері.
- Другий крок полягає у дискретизації, де ця «слабка» форма є дискретизованою на скінченновимірному просторі.
Після цього другого кроку ми маємо конкретну формулу для великої, зате скінченновимірної лінійної задачі, розв'язок якої буде приблизно розв'язувати початкове ЧДР. Опісля скінченновимірну задачу розв'язують на комп'ютері.
Переваги і недоліки МСЕ
Найважливішими перевагами методу скінченних елементів є:
- Властивості матеріалів суміжних елементів можуть бути різними. Це дозволяє застосовувати метод до тіл, складених з декількох матеріалів.
- Скінченними елементами є прості області (прямі лінії, трикутники, прямокутники, піраміди, призми). Таким чином, даним методом можна апроксимувати тіла із складною формою країв.
- Розміри елементів можуть бути змінними. Це дозволяє збільшувати чи зменшувати елементи сітки.
- За допомогою МСЕ легко розглянути граничні умови з розривним поверхневим навантаженням, а також змішані граничні умови.
- Алгоритм методу скінченних елементів дозволяє створити загальні програми для розв'язку завдань різного класу.
- Завдання зводиться до розв'язку системи алгебраічних рівнянь великої розмірності. Проте хороша обумовленість системи розв'язних рівнянь дозволяє отримувати досить точні розв'язки для систем рівнянь розмірністю 5-10 мільйонів і більше.
- Основні процедури МСЕ добре придатні для паралелізування на кластерних і багатопроцесорних архитектурах.
Головний недолік цього методу полягає у потребах великого обсягу пам'яті комп'ютерів і високої швидкості розрахунку. Станом на 10-20-і роки XXI ст. розвиток ІТ-техніки практично усунув цей недолік.
Застосування
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkZtTDFaaGJtRmthWE5mWVRGZmRHVnpkQzVuYVdZdk1qUTFjSGd0Vm1GdVlXUnBjMTloTVY5MFpYTjBMbWRwWmc9PS5naWY=.gif)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk0xTDFaaGJtRmthWE5mWVRKZmRHVnpkQzVuYVdZdk1qUTFjSGd0Vm1GdVlXUnBjMTloTWw5MFpYTjBMbWRwWmc9PS5naWY=.gif)
Різноманітні галузі машинобудування (такі як авіаційна, біомеханічна та автомобільна промисловість) зазвичай використовують метод скінченних елементів у проєктуванні та розробці своїх продуктів. Кілька сучасних пакетів комп'ютерних програм на основі методу скінченних елементів включають спеціальні інструменти для моделювання теплопереносу, електромагнітних полів, гідродинаміки та механічних деформації. У структурному моделюванні метод скінченних елементів допомагає з візуалізацією жорсткості та міцності, дозволяючи моделювати та оптимізувати цілі конструкції перед їхнім виготовленням в металі.
Комп'ютерні програми на основі методу скінченних елементів надають широкий спектр варіантів моделювання для контролю складності моделювання та аналізу систем. Вони дозволяють одночасно керувати бажаним рівнем точності та вимогами до часу обчислення, що зазвичай контролюється використаною для розрахунків сіткою. Як правило, чим більша кількість елементів у сітці, тим більший час розрахунків і тим точніший розв'язок. Однак для достатньо детальних сіток розв'язок вже стає достатньо точним, і подальше збільшення кількості елементів вже не призводить до практично значущого підвищення точності.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek5pTDBoMWJXRnVYMnR1WldWZmFtOXBiblJmUmtWZmJXOWtaV3d1Y0c1bkx6STBOWEI0TFVoMWJXRnVYMnR1WldWZmFtOXBiblJmUmtWZmJXOWtaV3d1Y0c1bi5wbmc=.png)
Цей потужний інструмент проєктування значно покращив як стандарт інженерних проєктів, так і методологію процесу проєктування в багатьох промислових застосуваннях. Впровадження методу скінченних елементів істотно скоротило час, необхідний для розробки проєктів. Тестування та розробка були прискорені, в першу чергу, завдяки вдосконаленим початковим прототипам проєктів з використанням методу скінченних елементів. Підсумовуючи, переваги метод скінченних елементів включають підвищену точність, вдосконалений дизайн і краще розуміння критичних параметрів дизайну, створення віртуальних прототипів, меншу кількість апаратних прототипів, швидший і дешевший цикл проєктування та в результаті підвищення продуктивності і збільшення прибутку.
У 1990-х роках метод скінченних елементів був запропонований для використання в стохастичному моделюванні для чисельного розв'язання ймовірнісних моделей, а пізніше для оцінки надійності.
Див. також
Примітки
- Kiritsis, D.; Eemmanouilidis, Ch.; Koronios, A.; Mathew, J. (2009). Engineering Asset Management. Proceedings of the 4th World Congress on Engineering Asset Management (WCEAM): 591—592.
- Finite Element Analysis: How to create a great model. Coventive Composites (брит.). 18 березня 2019. Процитовано 5 квітня 2019.[недоступне посилання]
- Naghibi Beidokhti, Hamid; Janssen, Dennis; Khoshgoftar, Mehdi; Sprengers, Andre; Perdahcioglu, Emin Semih; Boogaard, Ton Van den; Verdonschot, Nico (2016). A comparison between dynamic implicit and explicit finite element simulations of the native knee joint (PDF). Medical Engineering & Physics. 38 (10): 1123—1130. doi:10.1016/j.medengphy.2016.06.001. PMID 27349493. (PDF) оригіналу за 19 липня 2018. Процитовано 19 вересня 2019.
- Hastings, J. K., Juds, M. A., Brauer, J. R., Accuracy and Economy of Finite Element Magnetic Analysis, 33rd Annual National Relay Conference, April 1985.
- McLaren-Mercedes (2006). . Архів оригіналу за 30 жовтня 2006. Процитовано 3 жовтня 2006.
- Peng Long; Wang Jinliang; Zhu Qiding (19 May 1995). Methods with high accuracy for finite element probability computing. Journal of Computational and Applied Mathematics. 59 (2): 181—189. doi:10.1016/0377-0427(94)00027-X.
- Haldar, Achintya; Mahadevan, Sankaran (2000). Reliability Assessment Using Stochastic Finite Element Analysis. John Wiley & Sons. ISBN .
Література
- Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. 541 с.
- Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. А.С.Сахарова и И.Альтенбаха. К.: Вища школа. Головное изд-во, 1982. 480 с.
- Носко П.Л. Оптимальное проектирование машиностроительных конструкций. Луганск: Изд-во ВУГУ, 1999. 392 с. .
- Киричевский В.В. Метод конечных элементов в механике эластомеров. К.: Наук. думка, 2002. 653 c.
- Метод конечных элементов: теория, алгоритмы, реализация / В.А.Толок [и др.]. К.: Наук. думка, 2003. 316 c.
- Карпіловський В.С. Метод скінченних елементів і задачі теорії пружності. – Київ: «Софія А», 2022. – 275 с. .
Цю статтю треба для відповідності Вікіпедії. (жовтень 2009) |
Ця стаття містить , але походження тверджень у ній через практично повну відсутність . (грудень 2018) |
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Metod skinchennih elementiv metod chiselnogo rozv yazuvannya diferencialnih rivnyan yakij shiroko vikoristovuyut v inzhenernomu ta matematichnomu modelyuvanni Proces rozv yazannya pobudovanij abo na povnomu usunenni diferencialnogo rivnyannya dlya stacionarnih zadach abo na rozkladi DRChP v aproksimuyuchu sistemu zvichajnih diferencialnih rivnyan yaki potim rozv yazuyutsya vikoristannyam yakoyi nebud standartnoyi tehniki takoyi yak metod Ejlera Runge Kutti tosho Dvovimirnij rozv yazok magnetostatichnoyi konfiguraciyi otrimanij za dopomogoyu MSE liniyi pokazuyut obchislenu gustinu potoku a kolorove zabarvlennya jogo velichinuDvovimirna sitka dlya gorishnogo malyunku sitka gustisha navkolo ob yekta sho nas cikavit Pri rozv yazanni chastkovih diferencialnih rivnyan golovnoyu metoyu ye stvorennya rivnosti sho aproksimuye doslidzhuvanu rivnist i ye chislovo stabilnoyu tobto pomilki u vhidnih danih i promizhnih obchislennyah ne akumulyuyutsya i ne sprichinyayut bezzmistovnih rezultativ Dlya realizaciyi cogo ye bagato sposobiv kozhen zi svoyimi plyusami i minusami Metod skinchenih elementiv ye dobrim viborom pri rozv yazuvanni DRChP yaki opisuyut skladni seredovisha taki yak mashini chi naftogoni pri zminnosti cih seredovish koli bazhana tochnist zminyuyetsya u riznih dilyankah seredovisha chi koli rozv yazku ne vistachaye gladkosti Napriklad pri modelyuvannya frontalnogo rozbittya mashini ye mozhlivist zbilshiti tochnist modelyuvannya u vazhlivishih zonah takih yak perednya chastina mashini i zmenshiti yiyi pri obrahunku togo sho vidbudetsya iz zadnoyu chastinoyu mashini tim samim zmenshivshi resursoyemnist modelyuvannya Inakshim prikladom mozhe sluzhiti modelyuvannya pogodi na Zemli pri yakomu vazhlivishoyu ye pogoda nad susheyu nizh nad bezkrayimi morskimi prostorami IstoriyaMetod skinchennih elementiv MSE vinik z potreboyu rozv yazuvannya skladnih zadach elastichnosti ta strukturnogo analizu v civilnij morskij ta aviainzheneriyi Jogo rozvitok mozhna vidslidkuvati she v robotah Oleksandra Hrenikova 1941 ta Richarda Kuranta 1942 Pri tomu sho bachennya dvoh naukovciv buli nejmovirno riznimi voni use zh taki shodilis na najvazhlivishomu rozpodilennya velikoyi neperervnoyi oblasti na menshi domeni yaki yak pravilo nazivayutsya elementami U svoyij roboti Hrenikov rozpodilyav domen vikoristovuyuchi princip reshitki V toj samij chas Kurant rozdilyav oblast na skinchennu kilkist trikutnih pidoblastej yaki vidpovidayut rozv yazkam eliptichnih DRChP drugogo poryadku yaki postayut vid problemi skruchennya cilindra Vnesok Kuranta buv evolyucijnim tobto spiravsya na velikij bagazh znan pro taki DRChP yakij nakopichili Rejlig Ritc ta Galorkin Rozvitok metodu skinchennih elementiv pochavsya v seredini 1950 h rokiv dlya potreb strukturnogo analizu u aerokosmichnij i budivelnij galuzyah i distav svogo najbilshogo rozvitku v Shtutgartskomu universiteti v roboti Dzhona Argerisa ta v universiteti Berkli a tochnishe v roboti Reya V Klafa v 1960 h dlya vikoristannya u civilnij inzheneriyi Do kincya 1950 h klyuchovi koncepciyi matrici zhorstkosti ta zbir elementiv vzhe isnuvali praktichno v takih samo formah v yakih voni zastosovuyutsya i zaraz V 1965 roci na zamovlennya NASA bula napisana programa NASTRAN yak programne zabezpechennya pobudovane dlya realizaciyi MSE Sam metod buv strogo dovedenij v 1973 roci v publikaciyi Strenga ta Fiksa Analiz metodu skinchennih elementiv i z togo chasu buv uzagalnenij v okremu galuz prikladnoyi matematiki ta matematichnogo modelyuvannya fizichnih sistem v velikij kilkosti inzhenernih disciplin takih yak elektromagnetizm chi ridinna dinamika ZastosuvannyaVizualizaciya deformaciyi mashini pri asimetrichnomu udari vikoristovuyuchi metod skinchennih elementiv Metod skinchennih elementiv zazvichaj na stadiyi dizajnu ta rozrobki produktiv vikoristovuye bagato disciplin zdebilshogo z sim yi mehanichnoyi inzheneriyi takih yak aero morska biometrichna ta avtomobilna industriyi Dekilka suchasnih MSE paketiv vklyuchayut specialni elementi taki yak termalni elektromagnitni ridinni ta strukturni robochi seredovisha V strukturnomu modelyuvanni MSE duzhe dopomagaye u generaciyi zhorstkisnih i silovih vizualizacij u miscyah zsuviv ta zginiv ta vidobrazhannya rozpovsyudzhennya sil ta zmishen MSE programi zabezpechuyut shirokij spektr modelyuvalnih mozhlivostej kontrolyu skladnosti i modelovalnoyi i analitichnoyi sistem Za potrebi v bilshosti inzhenernih program mozhna zminyuvati bazhanij riven tochnosti chas potribnij dlya neobhidnih ta asocijovanih obchislen MSE dozvolyaye proektuvati vidlagodzhuvati ta optimizovuvati produkciyu pered yiyi vipuskom Cej mogutnij zasib proektuvannya vidchutno pokrashiv standarti inzhenernih proektiv ta metodologiyu cogo procesu u bagatoh sferah Vikoristannya MSE zmenshilo chas za yakij produkt prohodiv vid koncepciyi do konveyera Jogo golovnoyu ideyeyu bulo pokrashennya pochatkovih prototipiv vikoristovuyuchi MSE sho spriyalo priskorennyu yihnogo testuvannya ta rozrobki V cilomu perevagami MSE ye zbilshennya tochnosti pokrashennya dizajnu i krashe bachennya jogo kritichnih parametriv stvorennya virtualnih prototipiv zmenshennya kilkosti realnih prototipiv prishvidshennya ta zdeshevlennya proektuvannya zbilshennya produktivnosti ta pributkovosti Tehnichna storonaRozglyanemo diyu metodu na dvoh prikladah na yaki mozhna ekstrapolyuvati osnovnij metod P1 ye odnovimirnoyu problemoyu P1 u f in 0 1 u 0 u 1 0 displaystyle mbox P1 begin cases u f mbox in 0 1 u 0 u 1 0 end cases de f displaystyle f ye zadanoyu funkciyeyu a u displaystyle u nevidoma funkciya vid x displaystyle x i u displaystyle u ye drugoyu pohidnoyu funkciyi u displaystyle u po zminnij x Dvovimirna problema ye vidomoyu pid nazvoyu problema Dirihle P2 uxx uyy f in W u 0 on W displaystyle mbox P2 begin cases u xx u yy f amp mbox in Omega u 0 amp mbox on partial Omega end cases de W displaystyle Omega ye vidkritoyu zv yaznoyu oblastyu na ploshini x y displaystyle x y z garnoyu napriklad bagatokutnikom graniceyu a uxx displaystyle u xx i uyy displaystyle u yy drugi pohidni funkciyi u displaystyle u po x displaystyle x ta po y displaystyle y vidpovidno Problemu P1 mozhna rozv yazati pryamo obrahovuvannyam pervisnih Hocha cej metod rozv yazuvannya zadach na granichnih znachennyami pracyuye koli ye tilki odin prostorovij vimir i ne uzagalnyuyetsya na bagatovimirni zadachi chi na zadachi vidu u u f displaystyle u u f Z ciyeyi prichini mi zastosuyemo metod skinchennih elementiv na P1 i opishemo jogo uzagalnennya na P2 Nashe poyasnennya vidbuvatimetsya u dva kroki yaki viddzerkalyuyut dva osnovnih kroki dlya rozv yazannya zadach na granichni znachennya vikoristovuyuchi MSE Na pershomu kroci mi mayemo peretvoriti ChDR u jogo slabku chi variacijnu formu Dlya cogo kroku yak pravilo niyakih obchislen vzagali ne potribno vsi peretvorennya roblyatsya vruchnu na paperi Drugij krok polyagaye u diskretizaciyi de cya slabka forma ye diskretizovanoyu na skinchennovimirnomu prostori Pislya cogo drugogo kroku mi mayemo konkretnu formulu dlya velikoyi zate skinchennovimirnoyi linijnoyi zadachi rozv yazok yakoyi bude priblizno rozv yazuvati pochatkove ChDR Opislya skinchennovimirnu zadachu rozv yazuyut na komp yuteri Perevagi i nedoliki MSENajvazhlivishimi perevagami metodu skinchennih elementiv ye Vlastivosti materialiv sumizhnih elementiv mozhut buti riznimi Ce dozvolyaye zastosovuvati metod do til skladenih z dekilkoh materialiv Skinchennimi elementami ye prosti oblasti pryami liniyi trikutniki pryamokutniki piramidi prizmi Takim chinom danim metodom mozhna aproksimuvati tila iz skladnoyu formoyu krayiv Rozmiri elementiv mozhut buti zminnimi Ce dozvolyaye zbilshuvati chi zmenshuvati elementi sitki Za dopomogoyu MSE legko rozglyanuti granichni umovi z rozrivnim poverhnevim navantazhennyam a takozh zmishani granichni umovi Algoritm metodu skinchennih elementiv dozvolyaye stvoriti zagalni programi dlya rozv yazku zavdan riznogo klasu Zavdannya zvoditsya do rozv yazku sistemi algebraichnih rivnyan velikoyi rozmirnosti Prote horosha obumovlenist sistemi rozv yaznih rivnyan dozvolyaye otrimuvati dosit tochni rozv yazki dlya sistem rivnyan rozmirnistyu 5 10 miljoniv i bilshe Osnovni proceduri MSE dobre pridatni dlya paralelizuvannya na klasternih i bagatoprocesornih arhitekturah Golovnij nedolik cogo metodu polyagaye u potrebah velikogo obsyagu pam yati komp yuteriv i visokoyi shvidkosti rozrahunku Stanom na 10 20 i roki XXI st rozvitok IT tehniki praktichno usunuv cej nedolik ZastosuvannyaTrivimirna model poshirennya zabrudnennya pole koncentraciyi na rivni zemliTrivimirna model poshirennya zabrudnennya pole koncentraciyi na vertikalnij poverhni Riznomanitni galuzi mashinobuduvannya taki yak aviacijna biomehanichna ta avtomobilna promislovist zazvichaj vikoristovuyut metod skinchennih elementiv u proyektuvanni ta rozrobci svoyih produktiv Kilka suchasnih paketiv komp yuternih program na osnovi metodu skinchennih elementiv vklyuchayut specialni instrumenti dlya modelyuvannya teploperenosu elektromagnitnih poliv gidrodinamiki ta mehanichnih deformaciyi U strukturnomu modelyuvanni metod skinchennih elementiv dopomagaye z vizualizaciyeyu zhorstkosti ta micnosti dozvolyayuchi modelyuvati ta optimizuvati cili konstrukciyi pered yihnim vigotovlennyam v metali Komp yuterni programi na osnovi metodu skinchennih elementiv nadayut shirokij spektr variantiv modelyuvannya dlya kontrolyu skladnosti modelyuvannya ta analizu sistem Voni dozvolyayut odnochasno keruvati bazhanim rivnem tochnosti ta vimogami do chasu obchislennya sho zazvichaj kontrolyuyetsya vikoristanoyu dlya rozrahunkiv sitkoyu Yak pravilo chim bilsha kilkist elementiv u sitci tim bilshij chas rozrahunkiv i tim tochnishij rozv yazok Odnak dlya dostatno detalnih sitok rozv yazok vzhe staye dostatno tochnim i podalshe zbilshennya kilkosti elementiv vzhe ne prizvodit do praktichno znachushogo pidvishennya tochnosti Skinchennoelementna model kolinnogo sugloba lyudini Cej potuzhnij instrument proyektuvannya znachno pokrashiv yak standart inzhenernih proyektiv tak i metodologiyu procesu proyektuvannya v bagatoh promislovih zastosuvannyah Vprovadzhennya metodu skinchennih elementiv istotno skorotilo chas neobhidnij dlya rozrobki proyektiv Testuvannya ta rozrobka buli priskoreni v pershu chergu zavdyaki vdoskonalenim pochatkovim prototipam proyektiv z vikoristannyam metodu skinchennih elementiv Pidsumovuyuchi perevagi metod skinchennih elementiv vklyuchayut pidvishenu tochnist vdoskonalenij dizajn i krashe rozuminnya kritichnih parametriv dizajnu stvorennya virtualnih prototipiv menshu kilkist aparatnih prototipiv shvidshij i deshevshij cikl proyektuvannya ta v rezultati pidvishennya produktivnosti i zbilshennya pributku U 1990 h rokah metod skinchennih elementiv buv zaproponovanij dlya vikoristannya v stohastichnomu modelyuvanni dlya chiselnogo rozv yazannya jmovirnisnih modelej a piznishe dlya ocinki nadijnosti Div takozhMetod skinchennih riznic Metod ruhlivih klitinnih avtomativ FETI metod Metod spektralnih elementivPrimitkiKiritsis D Eemmanouilidis Ch Koronios A Mathew J 2009 Engineering Asset Management Proceedings of the 4th World Congress on Engineering Asset Management WCEAM 591 592 Finite Element Analysis How to create a great model Coventive Composites brit 18 bereznya 2019 Procitovano 5 kvitnya 2019 nedostupne posilannya Naghibi Beidokhti Hamid Janssen Dennis Khoshgoftar Mehdi Sprengers Andre Perdahcioglu Emin Semih Boogaard Ton Van den Verdonschot Nico 2016 A comparison between dynamic implicit and explicit finite element simulations of the native knee joint PDF Medical Engineering amp Physics 38 10 1123 1130 doi 10 1016 j medengphy 2016 06 001 PMID 27349493 PDF originalu za 19 lipnya 2018 Procitovano 19 veresnya 2019 Hastings J K Juds M A Brauer J R Accuracy and Economy of Finite Element Magnetic Analysis 33rd Annual National Relay Conference April 1985 McLaren Mercedes 2006 Arhiv originalu za 30 zhovtnya 2006 Procitovano 3 zhovtnya 2006 Peng Long Wang Jinliang Zhu Qiding 19 May 1995 Methods with high accuracy for finite element probability computing Journal of Computational and Applied Mathematics 59 2 181 189 doi 10 1016 0377 0427 94 00027 X Haldar Achintya Mahadevan Sankaran 2000 Reliability Assessment Using Stochastic Finite Element Analysis John Wiley amp Sons ISBN 978 0471369615 LiteraturaZenkevich O K Metod konechnyh elementov v tehnike Per s angl M Mir 1975 541 s Metod konechnyh elementov v mehanike tverdyh tel Pod red A S Saharova i I Altenbaha K Visha shkola Golovnoe izd vo 1982 480 s Nosko P L Optimalnoe proektirovanie mashinostroitelnyh konstrukcij Lugansk Izd vo VUGU 1999 392 s ISBN 966 590 091 9 Kirichevskij V V Metod konechnyh elementov v mehanike elastomerov K Nauk dumka 2002 653 c Metod konechnyh elementov teoriya algoritmy realizaciya V A Tolok i dr K Nauk dumka 2003 316 c Karpilovskij V S Metod skinchennih elementiv i zadachi teoriyi pruzhnosti Kiyiv Sofiya A 2022 275 s ISBN 978 617 7031 87 0 Cyu stattyu treba vikifikuvati dlya vidpovidnosti standartam yakosti Vikipediyi Bud laska dopomozhit dodavannyam dorechnih vnutrishnih posilan abo vdoskonalennyam rozmitki statti zhovten 2009 Cya stattya mistit perelik posilan ale pohodzhennya tverdzhen u nij zalishayetsya nezrozumilim cherez praktichno povnu vidsutnist vnutrishnotekstovih dzherel vinosok Bud laska dopomozhit polipshiti cyu stattyu peretvorivshi dzherela z pereliku posilan na dzherela vinoski u samomu teksti statti gruden 2018 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi