B-сплайн— сплайн-функція, що має мінімальний носій для заданого степеня, гладкості та області визначення.
B-сплайн | |
Підтримується Вікіпроєктом | |
---|---|
B-сплайн у Вікісховищі |
Фундаментальна теорема стверджує, що довільна сплайн-функція заданого степеня, гладкості і області визначення може бути представлена як лінійна комбінація B-сплайнів того ж степеня і гладкості на тій же області визначення.
Термін B-сплайн запровадив у 1978 році і є скороченням від словосполучення «базисний сплайн». B-сплайни є узагальненням кривих Без'є, вони допомагають уникнути феномену Рунге при високих степенях полінома.
Визначення
B-сплайн степеня n з заданими вузлами:
та (m−n) контрольними точками
це , що складена з базисних B-сплайнів степеня n
Базисні B-сплайни визначаються рекурсивними формулами:
- при
При однаковій відстані між сусідніми вузлами B-сплайни називаються однорідними, в протилежному випадку — неоднорідними.
Однорідні B-сплайни
Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції. Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є
де
Кардинальні B-сплайни
Визначимо B0 як індикаторну функцію відрізку і Bk рекурсивно через згортку
Bk має носій
Приклади
Константні B-сплайни
Це найпростіші сплайни. Вони не є навіть неперервними.
Лінійні B-сплайни
Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційовними.
Однорідні квадратичні B-сплайни
Є найбільш вживаною формою B-сплайнів.
В матричній формі:
Однорідні кубічні B-сплайни
В матричній формі:
Див. також
Джерела
- Hovey, Chad (2022). Formulation and Python Implementation of Bézier and B-Spline Geometry. SAND2022-7702C. (153 pages)
- Carl de Boor (1978). A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag. ISBN .
- Piegl, Les; Tiller, Wayne (1997). The NURBS Book (вид. 2nd.). Springer. ISBN .
- Hartmut Prautzsch; Wolfgang Boehm; Marco Paluszny (2002). Bézier and B-Spline Techniques. Springer Science & Business Media. ISBN .
Посилання
- Weisstein, Eric W. B-Spline(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Ruf, Johannes. (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 6 листопада 2013. Процитовано 2 травня 2012.
Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (червень 2023) |
В іншому мовному розділі є повніша стаття B-spline(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської. (грудень 2020)
|
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
B splajn splajn funkciya sho maye minimalnij nosij dlya zadanogo stepenya gladkosti ta oblasti viznachennya B splajn Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika B splajn u Vikishovishi Fundamentalna teorema stverdzhuye sho dovilna splajn funkciya zadanogo stepenya gladkosti i oblasti viznachennya mozhe buti predstavlena yak linijna kombinaciya B splajniv togo zh stepenya i gladkosti na tij zhe oblasti viznachennya Termin B splajn zaprovadiv u 1978 roci i ye skorochennyam vid slovospoluchennya bazisnij splajn B splajni ye uzagalnennyam krivih Bez ye voni dopomagayut uniknuti fenomenu Runge pri visokih stepenyah polinoma ViznachennyaB splajn stepenya n z zadanimi vuzlami t 0 t 1 t m displaystyle t 0 leq t 1 leq cdots leq t m ta m n kontrolnimi tochkami P 0 P m n 1 displaystyle mathbf P 0 ldots mathbf P m n 1 ce sho skladena z bazisnih B splajniv stepenya n S t i 0 m n 1 P i b i n t t t n t m n displaystyle mathbf S t sum i 0 m n 1 mathbf P i b i n t qquad t in t n t m n Bazisni B splajni viznachayutsya rekursivnimi formulami b j 0 t 1 t j t j 1 1 t t j t j 1 0 t t j t j 1 displaystyle b j 0 t 1 t j t j 1 begin cases 1 amp quad t in t j t j 1 0 amp quad t notin t j t j 1 end cases b j n t t t j t j n t j b j n 1 t t j n 1 t t j n 1 t j 1 b j 1 n 1 t gt 0 displaystyle b j n t frac t t j t j n t j b j n 1 t frac t j n 1 t t j n 1 t j 1 b j 1 n 1 t quad gt 0 pri t t j t j n 1 displaystyle t in t j t j n 1 Pri odnakovij vidstani mizh susidnimi vuzlami B splajni nazivayutsya odnoridnimi v protilezhnomu vipadku neodnoridnimi Odnoridni B splajni Dlya odnoridnih B splajniv bazisni B splajni odnakovogo stepenya ye zmishenimi ekzemplyarami odniyeyi funkciyi Nerekursivnim viznachennyam bazisnih B splajniv ye b j n t b n t t j j 0 m n 1 displaystyle b j n t b n t t j qquad j overline 0 m n 1 de b n t n 1 n i 0 n 1 w i n t t i n w i n j 0 j i n 1 1 t j t i displaystyle b n t frac n 1 n sum i 0 n 1 omega i n t t i n qquad omega i n prod j 0 j neq i n 1 frac 1 t j t i Kardinalni B splajni Viznachimo B0 yak indikatornu funkciyu vidrizku 1 2 1 2 displaystyle tfrac 1 2 tfrac 1 2 i Bk rekursivno cherez zgortku B k t B 0 t B k 1 t R B 0 t t B k 1 t d t t 1 2 t 1 2 B k 1 t d t k N displaystyle B k t B 0 t B k 1 t int mathbb R B 0 t tau B k 1 tau d tau int t tfrac 1 2 t tfrac 1 2 B k 1 tau d tau quad k in mathbb N Bk maye nosij k 1 2 k 1 2 displaystyle tfrac k 1 2 tfrac k 1 2 PrikladiKonstantni B splajni Ce najprostishi splajni Voni ne ye navit neperervnimi b j 0 t 1 t j t j 1 B 0 t 1 1 2 1 2 displaystyle b j 0 t 1 t j t j 1 qquad B 0 t 1 tfrac 1 2 tfrac 1 2 Linijni B splajni Linijni B splajni ye neperervnimi ale ne diferencijovnimi b j 1 t t t j t j 1 t j t t j t j 1 t j 2 t t j 2 t j 1 t t j 1 t j 2 B 1 t t 1 t 1 0 1 t t 0 1 displaystyle b j 1 t begin cases frac t t j t j 1 t j amp quad t in t j t j 1 frac t j 2 t t j 2 t j 1 amp quad t in t j 1 t j 2 end cases qquad B 1 t begin cases t 1 amp t in 1 0 1 t amp t in 0 1 end cases Odnoridni kvadratichni B splajni Ye najbilsh vzhivanoyu formoyu B splajniv b 2 t b j 2 t 1 2 t t j 2 t t j t j 1 t t j 1 2 t t j 1 1 2 t t j 1 t j 2 1 2 1 t t j 2 2 t t j 2 t j 3 B 2 t 1 2 t 3 2 2 t 3 2 1 2 3 4 t 2 t 1 2 1 2 1 2 t 3 2 2 t 1 2 3 2 displaystyle b 2 t b j 2 t begin cases frac 1 2 t t j 2 amp t in t j t j 1 t t j 1 2 t t j 1 frac 1 2 amp t in t j 1 t j 2 frac 1 2 1 t t j 2 2 amp t in t j 2 t j 3 end cases qquad B 2 t begin cases frac 1 2 t frac 3 2 2 amp t in frac 3 2 frac 1 2 frac 3 4 t 2 amp t in frac 1 2 frac 1 2 frac 1 2 t frac 3 2 2 amp t in frac 1 2 frac 3 2 end cases V matrichnij formi S i t t 2 t 1 1 2 1 2 1 2 2 0 1 1 0 p i 1 p i p i 1 t 0 1 i 1 m 1 displaystyle mathbf S i t begin bmatrix t 2 amp t amp 1 end bmatrix frac 1 2 begin bmatrix 1 amp 2 amp 1 2 amp 2 amp 0 1 amp 1 amp 0 end bmatrix begin bmatrix mathbf p i 1 mathbf p i mathbf p i 1 end bmatrix qquad t in 0 1 quad i overline 1 m 1 Odnoridni kubichni B splajni b 3 t b j 3 t 1 6 t t j 3 t t j t j 1 1 6 3 t t j 1 3 3 t t j 1 2 3 t t j 1 1 t t j 1 t j 2 t t j 2 t j 3 1 6 1 t t j 3 3 t t j 3 t j 4 displaystyle b 3 t b j 3 t begin cases frac 1 6 t t j 3 amp t in t j t j 1 frac 1 6 left 3 t t j 1 3 3 t t j 1 2 3 t t j 1 1 right amp t in t j 1 t j 2 amp t in t j 2 t j 3 frac 1 6 1 t t j 3 3 amp t in t j 3 t j 4 end cases B 3 t 1 6 t 2 3 t 2 1 1 6 3 t 3 6 t 2 4 t 1 0 1 6 3 t 3 6 t 2 4 t 0 1 1 6 t 2 3 t 1 2 displaystyle B 3 t begin cases frac 1 6 t 2 3 amp t in 2 1 frac 1 6 3t 3 6t 2 4 amp t in 1 0 frac 1 6 3t 3 6t 2 4 amp t in 0 1 frac 1 6 t 2 3 amp t in 1 2 end cases V matrichnij formi S i t t 3 t 2 t 1 1 6 1 3 3 1 3 6 3 0 3 0 3 0 1 4 1 0 p i 1 p i p i 1 p i 2 t 0 1 displaystyle mathbf S i t begin bmatrix t 3 amp t 2 amp t amp 1 end bmatrix frac 1 6 begin bmatrix 1 amp 3 amp 3 amp 1 3 amp 6 amp 3 amp 0 3 amp 0 amp 3 amp 0 1 amp 4 amp 1 amp 0 end bmatrix begin bmatrix mathbf p i 1 mathbf p i mathbf p i 1 mathbf p i 2 end bmatrix quad t in 0 1 Div takozhPortal Matematika InterpolyaciyaDzherelaHovey Chad 2022 Formulation and Python Implementation of Bezier and B Spline Geometry SAND2022 7702C 153 pages Carl de Boor 1978 A Practical Guide to Splines Springer Verlag ISBN 978 3 540 90356 7 Piegl Les Tiller Wayne 1997 The NURBS Book vid 2nd Springer ISBN 978 3 540 61545 3 Hartmut Prautzsch Wolfgang Boehm Marco Paluszny 2002 Bezier and B Spline Techniques Springer Science amp Business Media ISBN 978 3 540 43761 1 PosilannyaWeisstein Eric W B Spline angl na sajti Wolfram MathWorld Ruf Johannes PDF Arhiv originalu PDF za 6 listopada 2013 Procitovano 2 travnya 2012 Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno cherven 2023 V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya B spline angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi gruden 2020 Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi