Дискретна топологія

Дискре́тний простір в загальній топології і суміжних галузях математики — топологічний простір, в якому всі точки ізольовані одна від одної.

Визначення

• Нехай ${\displaystyle X}$ — деяка множина, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ - сім'я всіх його підмножин. Тоді ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ є топологією, що називається дискретною топологією, а пара ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ називається дискретним топологічним простором.
• Нехай ${\displaystyle (X,\varrho )}$ - метричний простір, де метрика ${\displaystyle \varrho }$ визначена так:

${\displaystyle \varrho (x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\not =y\\0,&x=y\end{matrix}}\right.,\quad x,y\in X.}$

Тоді ${\displaystyle \varrho }$ називається дискре́тною ме́трикою, а весь простір називається дискретним метричним простором.

Зауваження

Топологія, що індукується дискретною метрикою, є дискретною. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Метрика, що не є дискретною, може породжувати дискретну топологію.

Приклади

• Нехай ${\displaystyle X=\ 1,\ldots n\,}$ де ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, і ${\displaystyle \varrho }$ - дискретна метрика на ${\displaystyle X}$. Тоді ${\displaystyle (X,\varrho )}$ - дискретний метричний, а отже і топологічний простір.
• Нехай ${\displaystyle X=\{1/n\}_{n\in \mathbb {N} },}$ и ${\displaystyle \varrho (x,y)=|x-y|.}$ Очевидно, задана метрика не дискретна. Проте, вона породжує дискретну топологію.

Властивості

• Ця топологія є найсильнішою топологією на множині ${\displaystyle X}$.
• Довільна підмножина ${\displaystyle X}$ є одночасно відкритою і замкненою.
• Кожна точка простору ${\displaystyle X}$ ізольована в ${\displaystyle X}$.
• Кожне відображення з дискретного простору .
• Дискретна топологія породжується дискретною метрикою. Тому дискретний простір .
• Одноточкові множини дискретного топологічного простору утворюють його базу.
• Дискретний простір , задовольняє першу аксіому зліченності та паракомпактний.
• Дискретний топологічний простір компактний тоді і тільки тоді, коли він скінченний.
• Дискретний простір , ліндельофів, задовольняє другу аксіому зліченності і сепарабельний в тому й лише в тому разі, коли він . Скінчений дискретний простір має всі .
• Дискретний простір є повним метричним простором другої категорії.
• ${\displaystyle X}$ і . Якщо ${\displaystyle X}$ містить більше однієї точки, то він не зв’язний, а отже не лінійно зв’язний і не .
• Дискретна топологія породжується дискретною , яка складається з усіх підмножин декартового квадрату ${\displaystyle X\times X}$, що містять його діагональ. Ця діагональ є базою цієї рівномірності.
• Будь-які два дискретні топологічні простори, що мають однакову потужність гомеоморфні.
• Будь-яка дискретна підмножина евклідового простору є не більше ніж зліченною.

Див. також

• Антидискретна топологія
• Топологічний простір

Література

1. Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры — М.: Наука, 1968
2. Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
3. ; (1995) [1978], (вид. reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 0507446