Адитивна комбінаторика (від англ. addition — додавання) — міждисциплінарна галузь математики, що вивчає взаємозалежність різних кількісних інтерпретацій поняття структурованості групи (як правило, скінченної), а також аналогічні властивості похідних від багатьох структур, що використовуються в цих інтерпретаціях. Крім того, адитивна комбінаторика вивчає структурованість у різних сенсах деяких специфічних множин або класів множин (наприклад, підмножин простих чисел або мультиплікативних підгруп).
Таким чином, основним об'єктом вивчення є скінченні множини, якомога абстрактніші, обмежені іноді лише у своїх розмірах, що уподібнює цю науку з комбінаторикою. Однак, на відміну від комбінаторики, де елементи множин ідентифікуються тільки відмінністю один від одного і належністю до тих чи інших розглянутих множин, в адитивній комбінаториці кожен елемент множини має чітке значення, і між ними з'являються додаткові взаємозв'язки, що випливають із їхніх значень і властивостей операції групи (і, можливо, специфічних законів, притаманних даній групі).
Адитивна комбінаторика тісно пов'язана з арифметичною комбінаторикою, предметом вивчення якої є співвідношення підмножини поля (а не просто групи, як тут) одразу з двома операціями — додаванням та множенням.
Передумови виникнення
Адитивна теорія чисел
Наочним прикладом є теорема ван дер Вардена — вона каже, що за будь-якого розбиття натуральних чисел на скінченне число класів, хоча б у одному з класів буде наявна арифметична прогресія (будь-якої заданої довжини). При цьому очевидно, що в будь-якому розбитті є клас, щільність чисел у якому більша, ніж в інших, і інтуїтивно здається, що прогресія має міститися в цій множині — адже тут найбільше елементів, тобто найбільше можливостей. Очевидно також, що найбільша множина матиме додатну (ненульову) щільність. Однак довести, що абсолютно будь-яка множина натуральних чисел додатної щільності містить у собі арифметичну прогресію, не виходить просто через теорему ван дер Вардена — за нею прогресія може опинитися в будь-якому класі, навіть найменшому. Для доведення наявності прогресії в будь-якій щільній множині доводиться залучати значно складніші засоби — розв'язання цієї задачі отримало назву теореми Семереді, яку вважають класичним адитивно-комбінаторним результатом.
і виводив оцінку для квадрата її модуля: Оцінка цієї суми виходила суто комбінаторно зі властивостей виразу при заміні змінної . Таким чином, мультимножина різниць давала інформацію про структуру множини самих квадратичних лишків. У адитивній комбінаториці діє схожий підхід, коли вже множина, а не мультимножина різниць (або сум, добутків тощо) елементів із заданої множини дає інформацію про структуру цієї множини. Такий перехід — від мультимножини до множини — пов'язаний із переходом від кількості розв'язків того чи іншого рівняння (наприклад, ) до подання чисел у тому чи іншому вигляді (наприклад, у вигляді ), який у принципі характерний для методу тригонометричних сум.
Окремим фундаментом для розвитку нової науки про поелементні суми множин (множини сум ) стала доведена [ru] теорема про будову множин з малим подвоєнням (тобто множин, множина сум двох елементів яких має малий розмір, або простіше кажучи, суми елементів із яких часто збігаються).
Теорія Ремзі
Теорія Ремзі, що виникла в першій половині XX століття, також аналізувала різні уявлення про структурованість. Твердження теорії Ремзі стосуються наявності хоча б малого «острівця» структурності в досить складних (за кількістю елементарних частин) об'єктах.
Гнучким засобом для оцінення впорядкованості множини, що зіграв значну роль і в адитивній теорії чисел, є тригонометричні суми (суми коренів з одиниці, відповідних числам множини). Вони стали в адитивній комбінаториці також і об'єктом вивчення, оскільки допускають досить загальне застосування.
Питання подання чисел у вигляді суми елементів із небагатьох даних множин математики розглядали ще з давніх часів. Класичними прикладами є задачі подаваності будь-якого числа сумою чотирьох квадратів (теорема Лагранжа про чотири квадрати) або будь-якого парного числа, більшого від трьох, сумою двох простих (проблема Гольдбаха). Якщо позначити через множину всіх квадратів невід'ємних чисел, то в термінах адитивної комбінаторики (див. розділ з позначеннями нижче) теорему Лагранжа можна записати як
Тригонометричні суми
Однак теорія Ремзі розглядає не підмножини, а розбиття даної множини (наприклад, множини (ребер графа), натуральних чисел або частини булеана скінченної множини), і результат про структуру має на увазі наявність структурованості в одного з елементів розбиття, і, як правило, незрозуміло в якого. Отже, про якусь окрему підмножину нічого сказати не можна.
У ході розв'язування подібних задач виникали й інші аналогічні, з іншими множинами, але схожими формулюваннями. Усе це сформувало галузь математики, звану адитивною теорією чисел.
Важливим поняттям адитивної комбінаторики є множина сум
Разом з тим, перші результати, які можна за духом віднести до адитивно-комбінаторних, зароджувалися на початку XX століття саме як частина теорії чисел (називаної також комбінаторною теорією чисел). Таким, наприклад, є метод Шнірельмана для вирішення проблеми Гольдбаха (який Линник також застосував до проблеми Воринга) — він заснований на (теоремі Шнірельмана) про множину сум чисел із двох довільних множин, про які відома тільки їх щільність (слід зауважити, що при цьому саме специфічне визначення щільності за Шнірельманом, використане в цій теоремі, в адитивній комбінаториці як об'єкт для вивчення не прижилося).
Теорема Фреймана
Проте адитивну комбінаторику не варто сприймати як узагальнення чи розвиток адитивної теорії чисел — хоча задачі останньої можна зручно записати в термінах адитивної комбінаторики, та її загальні методи до них, зазвичай, не застосовні. Теорія чисел завжди розглядає множину спеціального вигляду — прості числа, квадрати, інші степені, числа з малою кількістю дільників тощо. Адитивна комбінаторика намагається зрозуміти структуру додавання як таку, вивести якомога загальніші результати.
Питання про суми елементів з тієї чи іншої множини розглядали також Ердеш і Семереді без уведення спеціальної символіки для позначення підсумовування множин.
Предмет вивчення
Множина сум
Ще Гаус, перший дослідник тригонометричних сум, виявив через них зв'язок розподілу всіх можливих різниць чисел із даної множини і самої множини. Досліджуючи квадратичні лишки, Гаус розглядав суму
для скінченних множин , де — група. Розмір такої множини визначається структурою і відносно операції . Якщо і — арифметичні прогресії, то мала. А якщо, наприклад, вибрано випадково за схемою Бернуллі, то дуже велика. Проміжні випадки між зазначеними двома якраз і становлять адитивно-комбінаторний інтерес.
Крім того, цікава сама по собі структура множин . Зокрема, станом на 2018 рік немає загальних критеріїв (крім прямого перебору), які дозволяють визначити, чи подається дана множина у вигляді .
Пов'язувані характеристики множин
У таблиці нижче наведено теореми та нерівності адитивної комбінаторики, що пов'язують різні характеристики підмножин груп. Твердження, вказане в комірці, пов'язує характеристики, зазначені в її рядку та стовпці. Наведено лише деякі, найвідоміші, з таких теорем.
Для стислості в заголовках використано такі скорочення:
- Щільність множини для скінченної групи — величина або закон її асимптотичного зростання зі зростанням розміру , а для нескінченних — асимптотична щільність (або закон розподілу) в ;
- УАП (від «узагальнена арифметична прогресія») — наявність у множині великих арифметичних прогресій, нетривіальних узагальнених арифметичних прогресій чи їх великих частин, а також, навпаки, можливість покрити множину (чи її більшу частину) невеликою арифметичною прогресією;
- — розмір та будова множини сум (а також різниць та комбінацій сум та різниць) — зокрема, можливість подати будь-який елемент групи як суму заданої кількості елементів даної множини;
- — подаваність множини або великої її частини як множини сум (а також різниць і комбінацій сум і різниць) чисел з невеликої кількості множин, тобто розв'язність рівняння множин для заданої , можливо, навіть за певних умов на (наприклад, ), де означає суму Мінковського;
- коефіцієнти Фур'є маються на увазі для характеристичної функції множини і функцій, що визначаються через неї, а також їх статистика — різного роду норми, кількість елементів із великим значенням і структура їх множини;
- ЧРР (від «число розв'язків рівняння») — число розв'язків різних лінійних рівнянь (зокрема, адитивна енергія) або систем рівнянь, у яких змінні набувають значень із заданих множин, а також співвідношення кількості їх розв'язків.
Також у комірках використано кілька специфічних позначень:
- — коефіцієнт Фур'є характеристичної функції множини ,
- — адитивна енергія,
- — таку функцію називають балансовою функцією множини , оскільки .
Щільність | УАП | Коефіцієнти Фур'є | ЧРР | ||||
Щільність | |||||||
УАП | Теорема Семереді | ||||||
(Нерівність Шнірельмана), [en] | [en] | ||||||
при великих і містять довгу а. п. | Нерівність Плюннеке ― Ружі | ||||||
Коефіцієнти Фур'є | Якщо , мала, то містить а. п. довжини 3 | Якщо і малі, то велика | |||||
ЧРР | Теорема Рота | Якщо — а. п., то | Зі співвідношень адитивних енергій можна зробити висновки про структуру множини | Якщо , то |
Деякі використовувані поняття
[en] — узагальнення поняття коефіцієнтів Фур'є, придумане Вільямом Гауерсом під час доведення теореми Семереді.
— відображення з підмножини однієї групи до підмножини іншої, що зберігає відношення рівності сум заданої кількості елементів множини.
Скінченну множину дійсних чисел називають (або опуклою множиною), якщо для , тобто якщо є образом відрізка для деякої строго опуклої функції. Властивості таких множин широко вивчає адитивна комбінаторика. Це поняття не слід плутати з опуклою множиною у звичному значенні.
— структура з малим подвоєнням, яку іноді використовують у доведеннях як ослаблений аналог поняття підпростору. Визначається як множина елементів поля, на яких усі адитивні характери із заданого сімейства мають мале значення. Множини Бора містять у собі великі узагальнені арифметичні прогресії, отже, наявність у множині прогресій іноді доводиться через наявність у ній потрібної множини Бора.
Майже періодична функція — функція така, що норма досить мала для деякого і для всіх , де — деяка множина (наприклад, множина Бора). На таких множинах побудовано одне з доведень теореми Рота.
Множина великих тригонометричних сум (іноді називана спектром) множини — множина лишків , для яких сума (коефіцієнт Фур'є) має великий модуль.
— множина, для якої лінійні комбінації рівні нулю, де , тільки коли всі рівні нулю. Зокрема, це означає, що суми елементів із двох різних підмножин завжди різні. Дисоціативність можна розглядати як аналог лінійної незалежності над .
Методи вивчення
Елементарні методи
Звичайно, попри існування потужних та складних методів вивчення теорем адитивної комбінаторики, деякі прийоми та задачі допускають елементарний опис. Із нерівності Коші виводяться властивості адитивної енергії, що застосовуються майже повсюдно. Загалом за елементарного підходу часто аналізують число розв'язків тих чи інших рівнянь. Також часто застосовують [en] — наприклад, при розкладанні числа розв'язків рівняння на суму числа розв'язків за того чи іншого значення окремої змінної.
Елементарними методами можна довести теорему Рота та теорему Коші — Девенпорта.
Однак багато доведень, отриманих іншими методами, не мають елементарних аналогів.
Комбінаторні методи
Одним із знакових комбінаторних доведень адитивної комбінаторики є перше з доведень теореми Семереді — у ньому Семереді сформулював і використав так звану лему про регулярність, що стосується чистої теорії графів. Аналогії з цією теорією застосовуються і при доведенні особливих версій нерівності Плюннеке — Ружі або оцінок типу Балога — Семереді — Гауерса.
Алгебричні методи
Алгебраїчні методи в адитивній комбінаториці використовують властивості многочленів, які будуються на основі тих чи інших множин. Степені таких багаточленів, як правило, залежать від розмірів множин, що вивчаються, а множина коренів многочленів може дати ту чи іншу інформацію про суми, перетини тощо початкових множин.
Прикладом засобу для застосування такого методу є комбінаторна теорема про нулі. За допомогою неї можна доводити теорему Коші — Девенпорта та .
Інші застосування алгебричного методу можна знайти в доведеннях теореми Рота для деяких груп спеціального виду або в оцінці розміру перетинів зсувів мультиплікативних підгруп полів і доведенні проблеми Воринга для простого поля (для цього використовується, зокрема, ).
Аналітичні методи
Основним аналітичним засобом у адитивній комбінаториці є коефіцієнти Фур'є. Це зумовлено тісним зв'язком операції взяття коефіцієнта Фур'є з операцією згортки функцій. Коефіцієнти Фур'є застосовано ще при першому доведенні теореми Рота. Їх узагальненням є норми Гауерса, науку про які також називають аналізом Фур'є вищих порядків.
На прикладі коефіцієнтів Фур'є (зокрема їх застосування до доведення теореми Рота) найкраще ілюструється так званий ітеративний аргумент, коли розгляд довільної множини розбивається на два випадки — коли множина не має великих (відносно розміру множини) коефіцієнтів Фур'є і коли має. У першому випадку можна безпосередньо скористатися властивостями коефіцієнтів Фур'є, а в другому — знайти підструктуру множини з більшою щільністю в нескінченній арифметичній прогресії, причому настільки більшою, що кількість таких можливих кроків до досягнення граничної щільності буде обмежена величиною, що залежить від загальної щільності початкової множини. Це виявляє ідею поділу на випадок псевдовипадкової множини та множини з якоюсь глобальною структурою. Така ідея знайшла свій відбиток і в інших методах.
Інший аналітичний підхід полягає в дослідженні майже періодичності функцій, пов'язаних із характеристичними функціями досліджуваних множин.
Ергодичні методи
Ергодичний підхід передбачає застосування до задач адитивної комбінаторики результатів із теорії динамічних систем. Вперше цей підхід застосував Гілель Фюрстенберг до теореми Семереді, але незабаром виявилося, що він допускає узагальнення на значно ширше коло задач.
Теорія динамічних систем часто дозволяє доводити результати, недоступні для переформулювання іншими методами, але при цьому не здатна дати жодних кількісних оцінок (наприклад, оцінок щільності множини в теоремі Семереді).
Інші методи
Адитивна комбінаторика використовує й деякі інші галузі:
- теорему Семереді — Троттера з комбінаторної геометрії (особливо в питаннях, що стосуються опуклих множин);
- геометрія чисел;
- [en];
- теорія власних чисел (може використовуватися для виведення нерівності між кількістю розв'язків деяких систем лінійних рівнянь).
Деякі дослідники
- Пал Ердеш
- [ru]
- [en]
- Ендре Семереді
- Вільям Гауерс
- [en]
- Теренс Тао
- [en]
- Жан Бурген
- [en]
- [en]
- [ru]
- [ru]
Див. також
Примітки
- Постнаука, И. Д. Шкредов, «Аддитивная комбинаторика». оригіналу за 18 серпня 2021. Процитовано 11 червня 2018.
- Виноградов, 1971.
- Фрейман, 1966.
- Грэхем, 1984.
- Гельфанд, 1962, с. 9—43.
- Erdős, Paul; Szemerédi, Endre (1983), On sums and products of integers (PDF), Studies in Pure Mathematics. To the memory of Paul Turán, Basel: Birkhäuser Verlag, с. 213—218, doi:10.1007/978-3-0348-5438-2_19, ISBN , MR 0820223 (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 24 травня 2013. Процитовано 11 червня 2018.
{{}}
: Недійсний|deadurl=unfit
(). - Ernie Croot, Izabella Laba, Olof Sisask, "Arithmetic Progressions in Sumsets and L^p-Almost-Periodicity". оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- Tom Sanders, "Additive structures in sumsets". оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- Terence Tao, "An uncertainty principle for cyclic groups of prime order". оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=3055 Заседания Московского математического общества, 1 марта 2011 г., И. Д. Шкредов, Методы аддитивной комбинаторики
- Гараев, 2010, с. 25.
- Общеинститутский семинар «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН, 18.09.14, И. Д. Шкредов, «Структурные теоремы в аддитивной комбинаторике»
- A. Iosevich, S. Konyagin, M. Rudnev, and V. Ten, «On combinatorial complexity of convex sequences», July 19, 2004. оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- M. Z. Garaev, «On Lower Bounds for the L1-Norm of Exponential Sums», Mathematical Notes, November 2000, Volume 68, Issue 5-6, pp 713—720. оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- Imre Z. Ruzsa, Dmitrii Zhelezov, «Convex sequences may have thin additive bases», preprint. оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- Tomasz Schoen, Ilya Shkredov, «On Sumsets of Convex Sets». оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- Ben Green, «Finite field models in additive combinatorics». оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- Tom Sanders, «On Roth’s theorem on progressions», preprint. оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- Шкредов, 2010.
- Гараев, 2010.
- Грэхем, 1984, с. 20.
- Математическая лаборатория имени П. Л. Чебышёва, Курс лекций «Аддитивная комбинаторика», Лекция 1
- Szemerédi, Endre (1975), On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression (PDF), Acta Arithmetica, 27: 199—245, Zbl 0303.10056, MR0369312 (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 10 грудня 2020. Процитовано 11 червня 2018.
{{}}
: Недійсний|deadurl=unfit
(). - Гараев, 2010, с. 18—25.
- E. Croot, V. Lev, and P. P. Pach, Progression-free sets in are exponentially small (2016). arXiv preprint 1605.01506. оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- Доказательство теоремы Рота для групп с малым кручением на arxiv.org. оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- Изложение доказательства теоремы Рота для на русском языке
- И. В. Вьюгин, И. Д. Шкредов, «Об аддитивных сдвигах мультипликативных подгрупп», Матем. сб., 2012, том 203, номер 6, страницы 81-100. оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 11 червня 2018.
- Шкредов, 2006, с. 119—124.
- И. Д. Шкредова, обзорная лекция «Аналитические методы в аддитивной комбинаторике», лекториум математической лаборатории им. Чебышёва
- Yufei Zhao, «Szemer´edi’s Theorem via Ergodic Theory» (PDF). (PDF) оригіналу за 27 лютого 2021. Процитовано 11 червня 2018.
- Постнаука, И. Д. Шкредов, «Комбинаторная эргодическая теория»
- Imre Ruzsa, «Additive combinatorics and geometry of numbers» (PDF). (PDF) оригіналу за 11 серпня 2017. Процитовано 11 червня 2018.
- J.A. Dias da Silva, Y.O. Hamidoune, Cyclic spaces for Grassmann derivatives and additive theory, Bull. London Math. Soc. 26 (1994) 140—146
- И. Д. Шкредов, "Несколько новых результатов о старших энергиях". оригіналу за 3 січня 2019. Процитовано 3 січня 2019.
Література
- Грэхем, Рональд. Начала теории Рамсея. — М. : Мир, 1984. — .
- М. З. Гараев. Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка // Успехи математических наук. — 2010. — Вып. 4. — С. 5—66.
- И. Д. Шкредов. Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях // Успехи математических наук. — 2006. — Вып. 6. — С. 111—179.
- И. Д. Шкредов. Анализ Фурье в комбинаторной теории чисел // Успехи математических наук. — 2010. — Вып. 3. — С. 127—184.
- Terence Tao, [en]. Additive combinatorics. — Cambridge University Press. — 2006. — .
- Imre Ruzsa. Sumsets and structure.
- . Начала структурной теории множеств. — Типография "Татполиграф". — 1966.
- И. М. Гельфанд, Ю. В. Линник. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М. — Физматгиз, 1962.
- И. М. Виноградов. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — Издательство "Наука", 1971.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Aditivna kombinatorika vid angl addition dodavannya mizhdisciplinarna galuz matematiki sho vivchaye vzayemozalezhnist riznih kilkisnih interpretacij ponyattya strukturovanosti grupi yak pravilo skinchennoyi a takozh analogichni vlastivosti pohidnih vid bagatoh struktur sho vikoristovuyutsya v cih interpretaciyah Krim togo aditivna kombinatorika vivchaye strukturovanist u riznih sensah deyakih specifichnih mnozhin abo klasiv mnozhin napriklad pidmnozhin prostih chisel abo multiplikativnih pidgrup Takim chinom osnovnim ob yektom vivchennya ye skinchenni mnozhini yakomoga abstraktnishi obmezheni inodi lishe u svoyih rozmirah sho upodibnyuye cyu nauku z kombinatorikoyu Odnak na vidminu vid kombinatoriki de elementi mnozhin identifikuyutsya tilki vidminnistyu odin vid odnogo i nalezhnistyu do tih chi inshih rozglyanutih mnozhin v aditivnij kombinatorici kozhen element mnozhini maye chitke znachennya i mizh nimi z yavlyayutsya dodatkovi vzayemozv yazki sho viplivayut iz yihnih znachen i vlastivostej operaciyi grupi i mozhlivo specifichnih zakoniv pritamannih danij grupi Aditivna kombinatorika tisno pov yazana z arifmetichnoyu kombinatorikoyu predmetom vivchennya yakoyi ye spivvidnoshennya pidmnozhini polya a ne prosto grupi yak tut odrazu z dvoma operaciyami dodavannyam ta mnozhennyam Peredumovi viniknennyaAditivna teoriya chisel Dokladnishe Aditivna teoriya chisel Naochnim prikladom ye teorema van der Vardena vona kazhe sho za bud yakogo rozbittya naturalnih chisel na skinchenne chislo klasiv hocha b u odnomu z klasiv bude nayavna arifmetichna progresiya bud yakoyi zadanoyi dovzhini Pri comu ochevidno sho v bud yakomu rozbitti ye klas shilnist chisel u yakomu bilsha nizh v inshih i intuyitivno zdayetsya sho progresiya maye mistitisya v cij mnozhini adzhe tut najbilshe elementiv tobto najbilshe mozhlivostej Ochevidno takozh sho najbilsha mnozhina matime dodatnu nenulovu shilnist Odnak dovesti sho absolyutno bud yaka mnozhina naturalnih chisel dodatnoyi shilnosti mistit u sobi arifmetichnu progresiyu ne vihodit prosto cherez teoremu van der Vardena za neyu progresiya mozhe opinitisya v bud yakomu klasi navit najmenshomu Dlya dovedennya nayavnosti progresiyi v bud yakij shilnij mnozhini dovoditsya zaluchati znachno skladnishi zasobi rozv yazannya ciyeyi zadachi otrimalo nazvu teoremi Semeredi yaku vvazhayut klasichnim aditivno kombinatornim rezultatom Q Q Q Q N displaystyle Q Q Q Q mathbb N i vivodiv ocinku dlya kvadrata yiyi modulya Ocinka ciyeyi sumi vihodila suto kombinatorno zi vlastivostej virazu x 2 y 2 displaystyle x 2 y 2 pri zamini zminnoyi x y h displaystyle x y h Takim chinom multimnozhina riznic davala informaciyu pro strukturu mnozhini samih kvadratichnih lishkiv U aditivnij kombinatorici diye shozhij pidhid koli vzhe mnozhina a ne multimnozhina riznic abo sum dobutkiv tosho elementiv iz zadanoyi mnozhini daye informaciyu pro strukturu ciyeyi mnozhini Takij perehid vid multimnozhini do mnozhini pov yazanij iz perehodom vid kilkosti rozv yazkiv togo chi inshogo rivnyannya napriklad a 1 b 1 a 2 b 2 a i A b i B displaystyle a 1 b 1 a 2 b 2 a i in A b i in B do podannya chisel u tomu chi inshomu viglyadi napriklad u viglyadi a b a A b B displaystyle a b a in A b in B yakij u principi harakternij dlya metodu trigonometrichnih sum Okremim fundamentom dlya rozvitku novoyi nauki pro poelementni sumi mnozhin mnozhini sum A B a b a A b B displaystyle A B left lbrace a b a in A b in B right rbrace stala dovedena ru teorema pro budovu mnozhin z malim podvoyennyam tobto mnozhin mnozhina sum dvoh elementiv yakih maye malij rozmir abo prostishe kazhuchi sumi elementiv iz yakih chasto zbigayutsya Teoriya Remzi Dokladnishe Teoriya Remzi Teoriya Remzi sho vinikla v pershij polovini XX stolittya takozh analizuvala rizni uyavlennya pro strukturovanist Tverdzhennya teoriyi Remzi stosuyutsya nayavnosti hocha b malogo ostrivcya strukturnosti v dosit skladnih za kilkistyu elementarnih chastin ob yektah Gnuchkim zasobom dlya ocinennya vporyadkovanosti mnozhini sho zigrav znachnu rol i v aditivnij teoriyi chisel ye trigonometrichni sumi sumi koreniv z odinici vidpovidnih chislam mnozhini Voni stali v aditivnij kombinatorici takozh i ob yektom vivchennya oskilki dopuskayut dosit zagalne zastosuvannya Pitannya podannya chisel u viglyadi sumi elementiv iz nebagatoh danih mnozhin matematiki rozglyadali she z davnih chasiv Klasichnimi prikladami ye zadachi podavanosti bud yakogo chisla sumoyu chotiroh kvadrativ teorema Lagranzha pro chotiri kvadrati abo bud yakogo parnogo chisla bilshogo vid troh sumoyu dvoh prostih problema Goldbaha Yaksho poznachiti cherez Q 0 n 2 n N displaystyle Q left lbrace 0 right rbrace cup left lbrace n 2 n in mathbb N right rbrace mnozhinu vsih kvadrativ nevid yemnih chisel to v terminah aditivnoyi kombinatoriki div rozdil z poznachennyami nizhche teoremu Lagranzha mozhna zapisati yak Trigonometrichni sumi Odnak teoriya Remzi rozglyadaye ne pidmnozhini a rozbittya danoyi mnozhini napriklad mnozhini reber grafa naturalnih chisel abo chastini buleana skinchennoyi mnozhini i rezultat pro strukturu maye na uvazi nayavnist strukturovanosti v odnogo z elementiv rozbittya i yak pravilo nezrozumilo v yakogo Otzhe pro yakus okremu pidmnozhinu nichogo skazati ne mozhna U hodi rozv yazuvannya podibnih zadach vinikali j inshi analogichni z inshimi mnozhinami ale shozhimi formulyuvannyami Use ce sformuvalo galuz matematiki zvanu aditivnoyu teoriyeyu chisel S a x 0 p 1 e 2 p a x 2 p i displaystyle S a sum limits x 0 p 1 e 2 pi frac ax 2 p i Vazhlivim ponyattyam aditivnoyi kombinatoriki ye mnozhina sum S a 2 x y e 2 p a x 2 y 2 p i displaystyle S a 2 sum limits x y e 2 pi frac a x 2 y 2 p i Razom z tim pershi rezultati yaki mozhna za duhom vidnesti do aditivno kombinatornih zarodzhuvalisya na pochatku XX stolittya same yak chastina teoriyi chisel nazivanoyi takozh kombinatornoyu teoriyeyu chisel Takim napriklad ye metod Shnirelmana dlya virishennya problemi Goldbaha yakij Linnik takozh zastosuvav do problemi Voringa vin zasnovanij na teoremi Shnirelmana pro mnozhinu sum chisel iz dvoh dovilnih mnozhin pro yaki vidoma tilki yih shilnist slid zauvazhiti sho pri comu same specifichne viznachennya shilnosti za Shnirelmanom vikoristane v cij teoremi v aditivnij kombinatorici yak ob yekt dlya vivchennya ne prizhilosya Teorema Frejmana Prote aditivnu kombinatoriku ne varto sprijmati yak uzagalnennya chi rozvitok aditivnoyi teoriyi chisel hocha zadachi ostannoyi mozhna zruchno zapisati v terminah aditivnoyi kombinatoriki ta yiyi zagalni metodi do nih zazvichaj ne zastosovni Teoriya chisel zavzhdi rozglyadaye mnozhinu specialnogo viglyadu prosti chisla kvadrati inshi stepeni chisla z maloyu kilkistyu dilnikiv tosho Aditivna kombinatorika namagayetsya zrozumiti strukturu dodavannya yak taku vivesti yakomoga zagalnishi rezultati Pitannya pro sumi elementiv z tiyeyi chi inshoyi mnozhini rozglyadali takozh Erdesh i Semeredi bez uvedennya specialnoyi simvoliki dlya poznachennya pidsumovuvannya mnozhin Predmet vivchennyaMnozhina sum She Gaus pershij doslidnik trigonometrichnih sum viyaviv cherez nih zv yazok rozpodilu vsih mozhlivih riznic chisel iz danoyi mnozhini i samoyi mnozhini Doslidzhuyuchi kvadratichni lishki Gaus rozglyadav sumu A B a b a A b B displaystyle A B left lbrace a b a in A b in B right rbrace dlya skinchennih mnozhin A B G displaystyle A B in mathrm G de G displaystyle mathrm G grupa Rozmir takoyi mnozhini viznachayetsya strukturoyu A displaystyle A i B displaystyle B vidnosno operaciyi displaystyle Yaksho A displaystyle A i B displaystyle B arifmetichni progresiyi to A B displaystyle A B mala A yaksho napriklad A B Z n displaystyle A B in mathbb Z n vibrano vipadkovo za shemoyu Bernulli to A B displaystyle A B duzhe velika Promizhni vipadki mizh zaznachenimi dvoma yakraz i stanovlyat aditivno kombinatornij interes Krim togo cikava sama po sobi struktura mnozhin A B displaystyle A B Zokrema stanom na 2018 rik nemaye zagalnih kriteriyiv krim pryamogo pereboru yaki dozvolyayut viznachiti chi podayetsya dana mnozhina u viglyadi A A displaystyle A A Pov yazuvani harakteristiki mnozhin U tablici nizhche navedeno teoremi ta nerivnosti aditivnoyi kombinatoriki sho pov yazuyut rizni harakteristiki pidmnozhin grup Tverdzhennya vkazane v komirci pov yazuye harakteristiki zaznacheni v yiyi ryadku ta stovpci Navedeno lishe deyaki najvidomishi z takih teorem Dlya stislosti v zagolovkah vikoristano taki skorochennya Shilnist mnozhini A G displaystyle A subset mathbb G dlya skinchennoyi grupi G displaystyle mathbb G velichina A G displaystyle frac A mathbb G abo zakon yiyi asimptotichnogo zrostannya zi zrostannyam rozmiru G displaystyle mathbb G a dlya neskinchennih G displaystyle mathbb G asimptotichna shilnist abo zakon rozpodilu A displaystyle A v G displaystyle mathbb G UAP vid uzagalnena arifmetichna progresiya nayavnist u mnozhini velikih arifmetichnih progresij netrivialnih uzagalnenih arifmetichnih progresij chi yih velikih chastin a takozh navpaki mozhlivist pokriti mnozhinu chi yiyi bilshu chastinu nevelikoyu arifmetichnoyu progresiyeyu A 1 A k displaystyle A 1 dots A k rozmir ta budova mnozhini sum a takozh riznic ta kombinacij sum ta riznic zokrema mozhlivist podati bud yakij element grupi yak sumu zadanoyi kilkosti elementiv danoyi mnozhini X A 1 A k displaystyle X A 1 dots A k podavanist mnozhini abo velikoyi yiyi chastini yak mnozhini sum a takozh riznic i kombinacij sum i riznic chisel z nevelikoyi kilkosti mnozhin tobto rozv yaznist rivnyannya mnozhin X A 1 A k displaystyle X A 1 dots A k dlya zadanoyi X displaystyle X mozhlivo navit za pevnih umov na A 1 A k displaystyle A 1 dots A k napriklad A 1 A k displaystyle A 1 dots A k de displaystyle oznachaye sumu Minkovskogo koeficiyenti Fur ye mayutsya na uvazi dlya harakteristichnoyi funkciyi mnozhini i funkcij sho viznachayutsya cherez neyi a takozh yih statistika riznogo rodu normi kilkist elementiv iz velikim znachennyam i struktura yih mnozhini ChRR vid chislo rozv yazkiv rivnyannya chislo rozv yazkiv riznih linijnih rivnyan zokrema aditivna energiya abo sistem rivnyan u yakih zminni nabuvayut znachen iz zadanih mnozhin a takozh spivvidnoshennya kilkosti yih rozv yazkiv Takozh u komirkah vikoristano kilka specifichnih poznachen A displaystyle widehat A koeficiyent Fur ye harakteristichnoyi funkciyi mnozhini A displaystyle A E A B displaystyle E A B aditivna energiya r A x 1 A x A G displaystyle rho A x mathbf 1 A x frac A mathbb G taku funkciyu nazivayut balansovoyu funkciyeyu mnozhini A G displaystyle A in mathbb G oskilki x G r A x 0 displaystyle sum limits x in mathbb G rho A x 0 Shilnist UAP A 1 A k displaystyle A 1 dots A k X A 1 A k displaystyle X A 1 dots A k Koeficiyenti Fur ye ChRR Shilnist UAP Teorema Semeredi A 1 A k displaystyle A 1 dots A k Nerivnist Shnirelmana en en X A 1 A k displaystyle X A 1 dots A k A B displaystyle A B pri velikih A displaystyle A i B displaystyle B mistyat dovgu a p Nerivnist Plyunneke Ruzhi Koeficiyenti Fur ye Yaksho A Z N displaystyle A subset mathbb Z N r A displaystyle widehat rho A infty mala to A displaystyle A mistit a p dovzhini 3 Yaksho A displaystyle widehat A infty i B displaystyle widehat B infty mali to A B displaystyle A B velika ChRR Teorema Rota Yaksho A displaystyle A a p to E A A W A 3 displaystyle E A A geq Omega A 3 A 2 B 2 A B E A B displaystyle A 2 B 2 geq A B E A B Zi spivvidnoshen aditivnih energij mozhna zrobiti visnovki pro strukturu mnozhini Yaksho A B Z N displaystyle A B in mathbb Z N to E A B r 0 N 1 A r 2 B r 2 displaystyle E A B sum limits r 0 N 1 widehat A r 2 widehat B r 2 Deyaki vikoristovuvani ponyattya en uzagalnennya ponyattya koeficiyentiv Fur ye pridumane Vilyamom Gauersom pid chas dovedennya teoremi Semeredi vidobrazhennya z pidmnozhini odniyeyi grupi do pidmnozhini inshoyi sho zberigaye vidnoshennya rivnosti sum zadanoyi kilkosti elementiv mnozhini Skinchennu mnozhinu A a 1 a n displaystyle A left lbrace a 1 leq dots leq a n right rbrace dijsnih chisel nazivayut abo opukloyu mnozhinoyu yaksho a i 1 a i lt a i 2 a i 1 displaystyle a i 1 a i lt a i 2 a i 1 dlya i 1 n 2 displaystyle i 1 dots n 2 tobto yaksho A displaystyle A ye obrazom vidrizka 1 n displaystyle left lbrace 1 dots n right rbrace dlya deyakoyi strogo opukloyi funkciyi Vlastivosti takih mnozhin shiroko vivchaye aditivna kombinatorika Ce ponyattya ne slid plutati z opukloyu mnozhinoyu u zvichnomu znachenni struktura z malim podvoyennyam yaku inodi vikoristovuyut u dovedennyah yak oslablenij analog ponyattya pidprostoru Viznachayetsya yak mnozhina elementiv polya na yakih usi aditivni harakteri iz zadanogo simejstva mayut male znachennya Mnozhini Bora mistyat u sobi veliki uzagalneni arifmetichni progresiyi otzhe nayavnist u mnozhini progresij inodi dovoditsya cherez nayavnist u nij potribnoyi mnozhini Bora Majzhe periodichna funkciya funkciya f displaystyle f taka sho norma f x t f x p displaystyle f x t f x p dosit mala dlya deyakogo p displaystyle p i dlya vsih t T displaystyle t in T de T displaystyle T deyaka mnozhina napriklad mnozhina Bora Na takih mnozhinah pobudovano odne z doveden teoremi Rota Mnozhina velikih trigonometrichnih sum inodi nazivana spektrom mnozhini A Z p displaystyle A subset mathbb Z p mnozhina lishkiv r displaystyle r dlya yakih suma a A e p a r displaystyle sum limits a in A e p ar koeficiyent Fur ye maye velikij modul A displaystyle A mnozhina dlya yakoyi linijni kombinaciyi a A e a a 0 displaystyle sum limits a in A varepsilon a a 0 rivni nulyu de a A e a 1 0 1 displaystyle forall a in A varepsilon a in left lbrace 1 0 1 right rbrace tilki koli vsi e a displaystyle varepsilon a rivni nulyu Zokrema ce oznachaye sho sumi elementiv iz dvoh riznih pidmnozhin zavzhdi rizni Disociativnist mozhna rozglyadati yak analog linijnoyi nezalezhnosti nad 1 0 1 displaystyle left lbrace 1 0 1 right rbrace Metodi vivchennyaElementarni metodi Zvichajno popri isnuvannya potuzhnih ta skladnih metodiv vivchennya teorem aditivnoyi kombinatoriki deyaki prijomi ta zadachi dopuskayut elementarnij opis Iz nerivnosti Koshi i 1 n a i 2 n i 1 n a i 2 displaystyle left sum limits i 1 n a i right 2 leq n sum limits i 1 n a i 2 vivodyatsya vlastivosti aditivnoyi energiyi sho zastosovuyutsya majzhe povsyudno Zagalom za elementarnogo pidhodu chasto analizuyut chislo rozv yazkiv tih chi inshih rivnyan Takozh chasto zastosovuyut en napriklad pri rozkladanni chisla rozv yazkiv rivnyannya na sumu chisla rozv yazkiv za togo chi inshogo znachennya okremoyi zminnoyi Elementarnimi metodami mozhna dovesti teoremu Rota ta teoremu Koshi Devenporta Odnak bagato doveden otrimanih inshimi metodami ne mayut elementarnih analogiv Kombinatorni metodi Odnim iz znakovih kombinatornih doveden aditivnoyi kombinatoriki ye pershe z doveden teoremi Semeredi u nomu Semeredi sformulyuvav i vikoristav tak zvanu lemu pro regulyarnist sho stosuyetsya chistoyi teoriyi grafiv Analogiyi z ciyeyu teoriyeyu zastosovuyutsya i pri dovedenni osoblivih versij nerivnosti Plyunneke Ruzhi abo ocinok tipu Baloga Semeredi Gauersa Algebrichni metodi Algebrayichni metodi v aditivnij kombinatorici vikoristovuyut vlastivosti mnogochleniv yaki buduyutsya na osnovi tih chi inshih mnozhin Stepeni takih bagatochleniv yak pravilo zalezhat vid rozmiriv mnozhin sho vivchayutsya a mnozhina koreniv mnogochleniv mozhe dati tu chi inshu informaciyu pro sumi peretini tosho pochatkovih mnozhin Prikladom zasobu dlya zastosuvannya takogo metodu ye kombinatorna teorema pro nuli Za dopomogoyu neyi mozhna dovoditi teoremu Koshi Devenporta ta Inshi zastosuvannya algebrichnogo metodu mozhna znajti v dovedennyah teoremi Rota dlya deyakih grup specialnogo vidu abo v ocinci rozmiru peretiniv zsuviv multiplikativnih pidgrup poliv F p displaystyle mathbb F p i dovedenni problemi Voringa dlya prostogo polya dlya cogo vikoristovuyetsya zokrema Analitichni metodi Osnovnim analitichnim zasobom u aditivnij kombinatorici ye koeficiyenti Fur ye Ce zumovleno tisnim zv yazkom operaciyi vzyattya koeficiyenta Fur ye z operaciyeyu zgortki funkcij Koeficiyenti Fur ye zastosovano she pri pershomu dovedenni teoremi Rota Yih uzagalnennyam ye normi Gauersa nauku pro yaki takozh nazivayut analizom Fur ye vishih poryadkiv Na prikladi koeficiyentiv Fur ye zokrema yih zastosuvannya do dovedennya teoremi Rota najkrashe ilyustruyetsya tak zvanij iterativnij argument koli rozglyad dovilnoyi mnozhini rozbivayetsya na dva vipadki koli mnozhina ne maye velikih vidnosno rozmiru mnozhini koeficiyentiv Fur ye i koli maye U pershomu vipadku mozhna bezposeredno skoristatisya vlastivostyami koeficiyentiv Fur ye a v drugomu znajti pidstrukturu mnozhini z bilshoyu shilnistyu v neskinchennij arifmetichnij progresiyi prichomu nastilki bilshoyu sho kilkist takih mozhlivih krokiv do dosyagnennya granichnoyi shilnosti bude obmezhena velichinoyu sho zalezhit vid zagalnoyi shilnosti pochatkovoyi mnozhini Ce viyavlyaye ideyu podilu na vipadok psevdovipadkovoyi mnozhini ta mnozhini z yakoyus globalnoyu strukturoyu Taka ideya znajshla svij vidbitok i v inshih metodah Inshij analitichnij pidhid polyagaye v doslidzhenni majzhe periodichnosti funkcij pov yazanih iz harakteristichnimi funkciyami doslidzhuvanih mnozhin Ergodichni metodi Ergodichnij pidhid peredbachaye zastosuvannya do zadach aditivnoyi kombinatoriki rezultativ iz teoriyi dinamichnih sistem Vpershe cej pidhid zastosuvav Gilel Fyurstenberg do teoremi Semeredi ale nezabarom viyavilosya sho vin dopuskaye uzagalnennya na znachno shirshe kolo zadach Teoriya dinamichnih sistem chasto dozvolyaye dovoditi rezultati nedostupni dlya pereformulyuvannya inshimi metodami ale pri comu ne zdatna dati zhodnih kilkisnih ocinok napriklad ocinok shilnosti mnozhini v teoremi Semeredi Inshi metodi Aditivna kombinatorika vikoristovuye j deyaki inshi galuzi teoremu Semeredi Trottera z kombinatornoyi geometriyi osoblivo v pitannyah sho stosuyutsya opuklih mnozhin geometriya chisel en teoriya vlasnih chisel mozhe vikoristovuvatisya dlya vivedennya nerivnosti mizh kilkistyu rozv yazkiv deyakih sistem linijnih rivnyan Deyaki doslidnikiPal Erdesh ru en Endre Semeredi Vilyam Gauers en Terens Tao en Zhan Burgen en en ru ru Div takozhSuma Minkovskogo Arifmetichna kombinatorikaPrimitkiPostnauka I D Shkredov Additivnaya kombinatorika originalu za 18 serpnya 2021 Procitovano 11 chervnya 2018 Vinogradov 1971 Frejman 1966 Grehem 1984 Gelfand 1962 s 9 43 Erdos Paul Szemeredi Endre 1983 On sums and products of integers PDF Studies in Pure Mathematics To the memory of Paul Turan Basel Birkhauser Verlag s 213 218 doi 10 1007 978 3 0348 5438 2 19 ISBN 978 3 7643 1288 6 MR 0820223 PDF Arhiv originalu PDF za 24 travnya 2013 Procitovano 11 chervnya 2018 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite web title Shablon Cite web cite web a Nedijsnij deadurl unfit dovidka Ernie Croot Izabella Laba Olof Sisask Arithmetic Progressions in Sumsets and L p Almost Periodicity originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 Tom Sanders Additive structures in sumsets originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 Terence Tao An uncertainty principle for cyclic groups of prime order originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 http www mathnet ru php seminars phtml presentid 3055 Zasedaniya Moskovskogo matematicheskogo obshestva 1 marta 2011 g I D Shkredov Metody additivnoj kombinatoriki Garaev 2010 s 25 Obsheinstitutskij seminar Matematika i eyo prilozheniya Matematicheskogo instituta im V A Steklova RAN 18 09 14 I D Shkredov Strukturnye teoremy v additivnoj kombinatorike A Iosevich S Konyagin M Rudnev and V Ten On combinatorial complexity of convex sequences July 19 2004 originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 M Z Garaev On Lower Bounds for the L1 Norm of Exponential Sums Mathematical Notes November 2000 Volume 68 Issue 5 6 pp 713 720 originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 Imre Z Ruzsa Dmitrii Zhelezov Convex sequences may have thin additive bases preprint originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 Tomasz Schoen Ilya Shkredov On Sumsets of Convex Sets originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 PDF Arhiv originalu PDF za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 Ben Green Finite field models in additive combinatorics originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 Tom Sanders On Roth s theorem on progressions preprint originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 Shkredov 2010 Garaev 2010 Grehem 1984 s 20 Matematicheskaya laboratoriya imeni P L Chebyshyova Kurs lekcij Additivnaya kombinatorika Lekciya 1 Szemeredi Endre 1975 On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression PDF Acta Arithmetica 27 199 245 Zbl 0303 10056 MR0369312 PDF Arhiv originalu PDF za 10 grudnya 2020 Procitovano 11 chervnya 2018 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite web title Shablon Cite web cite web a Nedijsnij deadurl unfit dovidka Garaev 2010 s 18 25 E Croot V Lev and P P Pach Progression free sets in Z n 4 displaystyle mathbb Z n 4 are exponentially small 2016 arXiv preprint 1605 01506 originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 Dokazatelstvo teoremy Rota dlya grupp s malym krucheniem na arxiv org originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 Izlozhenie dokazatelstva teoremy Rota dlya F 4 n displaystyle mathbb F 4 n na russkom yazyke I V Vyugin I D Shkredov Ob additivnyh sdvigah multiplikativnyh podgrupp Matem sb 2012 tom 203 nomer 6 stranicy 81 100 originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 11 chervnya 2018 Shkredov 2006 s 119 124 I D Shkredova obzornaya lekciya Analiticheskie metody v additivnoj kombinatorike lektorium matematicheskoj laboratorii im Chebyshyova Yufei Zhao Szemer edi s Theorem via Ergodic Theory PDF PDF originalu za 27 lyutogo 2021 Procitovano 11 chervnya 2018 Postnauka I D Shkredov Kombinatornaya ergodicheskaya teoriya Imre Ruzsa Additive combinatorics and geometry of numbers PDF PDF originalu za 11 serpnya 2017 Procitovano 11 chervnya 2018 J A Dias da Silva Y O Hamidoune Cyclic spaces for Grassmann derivatives and additive theory Bull London Math Soc 26 1994 140 146 I D Shkredov Neskolko novyh rezultatov o starshih energiyah originalu za 3 sichnya 2019 Procitovano 3 sichnya 2019 LiteraturaGrehem Ronald Nachala teorii Ramseya M Mir 1984 ISBN 5 09 002630 0 M Z Garaev Summy i proizvedeniya mnozhestv i ocenki racionalnyh trigonometricheskih summ v polyah prostogo poryadka Uspehi matematicheskih nauk 2010 Vyp 4 S 5 66 I D Shkredov Teorema Semeredi i zadachi ob arifmeticheskih progressiyah Uspehi matematicheskih nauk 2006 Vyp 6 S 111 179 I D Shkredov Analiz Fure v kombinatornoj teorii chisel Uspehi matematicheskih nauk 2010 Vyp 3 S 127 184 Terence Tao en Additive combinatorics Cambridge University Press 2006 ISBN 0 511 24530 0 Imre Ruzsa Sumsets and structure Nachala strukturnoj teorii mnozhestv Tipografiya Tatpoligraf 1966 I M Gelfand Yu V Linnik Elementarnye metody v analiticheskoj teorii chisel M Fizmatgiz 1962 I M Vinogradov Metod trigonometricheskih summ v teorii chisel Izdatelstvo Nauka 1971