Адитивна енергія

Адити́вна ене́ргія — чисельна характеристика підмножини групи, що ілюструє структурованість множини відносно групової операції. Термін увели Теренс Тао та ^[ru].

Визначення

Нехай ${\displaystyle (G,+)}$ — група.

Адитивна енергія множин ${\displaystyle A\subset G}$ і ${\displaystyle B\subset G}$ позначається як ${\displaystyle E_{+}(A,B)}$ і дорівнює кількості розв'язків такого рівняння:

${\displaystyle a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)}$

Аналогічно можна визначити мультиплікати́вну ене́ргію (наприклад, у кільці) як кількість ${\displaystyle E_{\times }(A,B)}$ розв'язків рівняння:

${\displaystyle a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}(a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B)}$

Екстремальні значення

Найменшого значення ${\displaystyle E_{+}(A,B)}$ досягає, коли всі суми ${\displaystyle a+b\ (a\in A,b\in B)}$ різні (оскільки тоді рівність виконується тільки за ${\displaystyle \{a_{1},b_{1}\}=\{a_{2},b_{2}\}}$) — наприклад, коли ${\displaystyle A=B}$ і ${\displaystyle A}$ — множина різних твірних групи ${\displaystyle G}$ з якоїсь мінімальної породжувальної множини. Тоді ${\displaystyle E(A,A)={\frac {|A|^{2}+|A|}{2}}}$.

Найбільшого значення ${\displaystyle E_{+}(A,B)}$ досягає, коли ${\displaystyle A=B}$ і ${\displaystyle A}$ є підгрупою ${\displaystyle G}$. У цьому випадку для будь-якого ${\displaystyle x\in A}$ число розв'язків рівняння ${\displaystyle a+b=x\ (a,b\in A)}$ дорівнює ${\displaystyle |A|}$, так що ${\displaystyle E_{+}(A,A)=|A|^{3}}$.

Відповідно, проміжні величини порядку зростання ${\displaystyle E_{+}(A,A)}$ між ${\displaystyle |A|^{2}}$ і ${\displaystyle |A|^{3}}$ можна розглядати як більший чи менший показник близькості структури ${\displaystyle A}$ до структури підгрупи. Для деяких груп ${\displaystyle G}$ визначені обмеження на адитиву енергію дозволяють доводити про існування досить великих підгруп ${\displaystyle G}$ всередині ${\displaystyle A}$ (або якоїсь похідної від неї множини) і про вкладаність ${\displaystyle A}$ (або якоїсь похідної від неї множини) в досить маленькі підгрупи ${\displaystyle G}$. Обмеження на ${\displaystyle G}$ для цих теорем пов'язані з показником скруту групи ${\displaystyle G}$ та окремих її твірних. Однак для циклічних груп та груп без скруту існують аналогічні теореми, які розглядають замість підгруп узагальнені арифметичні прогресії .

${\displaystyle E_{+}(A,B)=E_{+}(A,-B)=E_{-}(A,B)}$

${\displaystyle E_{+}(A,B)|A+B|\geq |A|^{2}|B|^{2}}$, де ${\displaystyle A+B=\left\lbrace {a+b:a\in A,b\in B}\right\rbrace }$

Доведення

Позначимо ${\displaystyle \lambda (x)=\#\left\lbrace {(a,b)\in A\times B:a+b=x}\right\rbrace }$.

Тоді ${\displaystyle E_{+}(A,B)=\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)^{2}}}$ і, за нерівністю Коші-Буняковського,

${\displaystyle E_{+}(A,B)\geq {\frac {1}{|A+B|}}\sum \left({\sum \limits _{x\in A+B}{\lambda (x)}}\right)^{2}={\frac {1}{|A+B|}}(|A||B|)^{2}}$

Для кільця лишків за простим модулем ${\displaystyle G={\mathbb {F} }_{p}}$ адитивну енергію можна виразити через тригонометричні суми. Позначимо ${\displaystyle e_{p}(k)=e^{2\pi {\frac {k}{p}}i}}$. Тоді

${\displaystyle E_{+}(A,B)={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}}$

Доведення

Скористаємось нотацією Айверсона та (індикаторною тотожністю).

${\displaystyle E_{+}(A,B)=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{[a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}]}=\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{{\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2}))}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{\sum \limits _{a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}{e_{p}(t(a_{1}+b_{1}-a_{2}-b_{2}))}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}\right)}}\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right){\overline {\left({\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}\right)}}={\frac {1}{p}}\sum \limits _{t=0}^{p-1}{{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{a\in A}{e_{p}(ta)}}{\Bigg \vert }}^{2}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{b\in B}{e_{p}(tb)}}{\Bigg \vert }}^{2}}}$

Зауважимо, що вираз через тригонометричні суми справедливий тільки для адитивної енергії, але не для мультиплікативної, оскільки явно використовує властивості додавання в ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}}$.

Застосування

Адитивну та мультиплікативну енергії використовують у адитивній та арифметичній комбінаториці для аналізу комбінаторних сум та добутків множин ${\displaystyle A+B=\left\lbrace {a+b:A+B}\right\rbrace }$, зокрема, для доведення теореми сум-добутків.

Старші енергії

Існують два основних узагальнення рівняння, яке визначає адитивну енергію, — за кількістю доданків та за кількістю рівностей:

${\displaystyle E_{k}(A)=\#\left\lbrace {a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=\dots =a_{k}-b_{k}\ :\ a_{i},b_{i}\in A}\right\rbrace =\sum \limits _{s}{|A\cap (A+s)|^{k}}}$

${\displaystyle T_{k}(A)=\#\left\lbrace {\sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}=\sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}\ :\ x_{i},y_{i}\in A}\right\rbrace }$

Їх називають старшими енергіями й іноді можна отримати їх оцінки, не отримуючи оцінок звичайної адитивної енергії. Разом з тим, нерівність Гельдера дозволяє (із значним погіршенням) оцінювати звичайну енергію через старші.

Для параметра ${\displaystyle k}$ в ${\displaystyle E_{k}}$ іноді розглядаються і дійсні, а не лише цілі числа (просто підстановкою в останній вираз).

Див. також

• Теорема сум-добутків

Примітки

1. co.combinatorics - Where did the term "additive energy" originate? - MathOverflow. оригіналу за 23 серпня 2019. Процитовано 23 серпня 2019.
2. М. З. Гараев, Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, УМН, 2010, том 65, выпуск 4 (394), стор. 25 (за нумерацією на сторінках)
3. Лекции лаборатории Чебышёва, курс «Аддитивная комбинаторика» (Фёдор Петров), лекция 6, з моменту 1:11:30
4. Шкредов, 2013.
5. Штейников, 2015.
6. arXiv:1808.08465v4 Misha Rudnev, George Shakan, Ilya Shkredov, «Stronger sum-product inequalities for small sets», с. 5, наслідок 7
7. Шкредов, 2013, с. 59, теорема 6.3.

Література

• Ю. Н. Штейников. Оценки тригонометрических сумм по подгруппам и некоторые их приложения // Математические заметки. — 2015. — Т. 98, вып. 4. — С. 606-625.
• И. Д. Шкредов. Несколько новых результатов о старших энергиях // Труды Московского математического общества. — 2013. — Vol. 74, iss. 1. — P. 35-73.