Множина великих тригонометричних сум — поняття теорії чисел — множина індексів, у яких перетворення Фур'є характеристичної функції заданої підмножини групи набуває досить великих значень.
Для зручності викладу далі у статті використовується скорочення МВТС, хоча воно не є загальноприйнятим.
Визначення
У класичному методі тригонометричних сум часто буває потрібно оцінити зверху значення модуля суми для деякої підмножини циклічної групи. Якщо ця сума має малий модуль за всіх , то з цього можна зробити висновки про рівномірність розподілу серед неперервних відрізків лишків за модулем . Це виконується, наприклад, для множини квадратичних лишків (і взагалі степеневих лишків), дискретних логарифмів послідовних чисел або (для простих ) виразів вигляду , де — обернений елемент відносно множення (суми Клоостермана) .
Природно постає питання: якщо не для всіх розглянуті суми мають малий модуль, то для скількох цей модуль може бути дуже великим, і для яких саме наборів значень це може виконуватись? Наприклад, очевидно, що якщо це виконується для , то й для теж, але виникає питання існування інших таких загальних закономірностей, які залежать від природи множини .
Це питання широко розглянуто в адитивній комбінаториці, ідеєю якої і є виявлення закономірностей у структурі множин за мінімальних обмежень на них, а коефіцієнти Фур'є знаходять у ній широке застосування.
Визначення
Закономірності, що стосуються МВТС, розглядають, як правило, виходячи з двох параметрів — розміру основної множини та межі, за якою відокремлюють значення тригонометричних сум. Іноді для зручності межу на тригонометричні суми записують не в явному вигляді, а параметризують через її відношення до розміру множини (оскільки модуль суми, очевидно, ніколи не перевищує розміру множини). Через це, а також через відмінності нормування коефіцієнтів Фур'є, вирази у формулюваннях визначень і теорем у різних авторів можуть відрізнятися, але суть досліджуваних співвідношень залишається тією ж.
Нехай — натуральне число, , Нехай також означає -й коефіцієнт Фур'є (не нормований) характеристичної функції . Тоді множини великих тригонометричних сум з параметром визначаються (з точністю до параметра ) як |
Деякі прийоми вивчення
Наближення функції множиною
Для побудови прикладів множин, які мають МВТС з тими чи іншими властивостями, часто будують функції, які мають відповідні коефіцієнти Фур'є, а потім на цій підставі констатують існування множин, коефіцієнти Фур'є яких не сильно відрізняються від коефіцієнтів цих функцій. Підстави для цього дає така лема, доведення якої перегукується з загальною лінійно-алгебричною ідеєю і виходить за рамки науки про МВТС:
Якщо , то існує множина розміру така, що |
Фільтрування коефіцієнтів Фур'є
Для виведення загальних тверджень про МВТС деяких множин зручно використовувати функції, утворені з індикаторної функції множини фільтруванням коефіцієнтів Фур'є за цією МВТС, тобто таку функцію , що
Виявляється, що в таких функцій більша частина суми значень також концентрується в .
Властивості
Розмір
З рівності легко виходить. що .
Для деяких значень ця оцінка досить точна за порядком зростання.
Приклад — квадратичні лишки
Якщо — множина квадратичних лишків за простим модулем , , то для оцінка перетворюється на нерівність близьку до .
За допомогою конструкції вигляду цю ідею можна узагальнити на МВТС із меншою відносно модуля межею на значення суми. При цьому між оцінкою та реальним розміром МВТС утворюється та сама різниця.
Приклад — послідовні числа
У прикладі з квадратичними лишками величина близька до фіксованої. Щоб знайти приклади із довільною величиною , достатньо розглянути множину , де .
Тоді (тобто напрямки векторів, відповідних , обмежені досить вузьким кутом) і тому , так що правильна оцінка знизу . Більш того, оскільки , то правильно навіть, що .
Однак при оцінка зверху перетворюється на нерівність .
Виходить що та оцінка зверху також точна до множення на сталу.
Структура
Ступінь структурованості МВТС у різних сенсах можна оцінити досить точно, коли вони досить великі. У разі коли вони мають малий розмір, МВТС можуть бути цілком довільними.
Адитивна енергія
З одного боку, МВТС допускають нижню оцінку на адитивну енергію будь-якої своєї підмножини.
Якщо , то |
Достатньо в подібний спосіб оцінити енергію множини вигляду і підсумувати результати за значеннями
Для оцінки енергії використовують функцію, коефіцієнти Фур'є якої є коефіцієнтами , відфільтрованими за . Оскільки, із загальних міркувань, значення такої функції дуже насичені в , то достатньо за допомогою серії нерівностей Гельдера та операцій зі згортками оцінити цю насиченість через побудову і деякий множник, що залежить від (тобто, від ). Побудова ж , завдяки відніманню з (тобто, завдяки умові на оцінку зверху), оцінюється зверху через величину адитивної енергії (з деяким додатковим множником).
З іншого боку, за деяких додаткових (не надто сильних) умов на параметри існує множина , для якої правильна і верхня оцінка , причому . Це говорить про те, що іноді МВТС можуть бути все-таки досить великими та безструктурними одночасно.
Для побудови використовують множину , яка має особливим способом посилену властивість дисоціативності.
Саму множину визначають як об'єднання зсувів різних арифметичних прогресій із різницями , причому зсуви вибирають так, щоб кожна нова прогресія, що додається до множини, мала з уже побудованою множиною якнайменший перетин.
МВТС такої множини містить об'єднання такої ж кількості інших арифметичних прогресій (що дозволяє говорити про її великий розмір) і водночас сама міститься в об'єднанні тих самих арифметичних прогресій, лише подовжених в обидва боки (а це дозволяє із загальних комбінаторних міркувань вивести, що її адитивна енергія не велика).У випадку, коли має найбільший можливий розмір, ці оцінки (якщо першу розглядати для ) збігаються з точністю до сталої, яка залежить від . Тобто, для досить широкого класу значень параметрів існують множини, міра структурованості МВТС яких визначена майже однозначно, причому їхні МВТС виявляються тим більш безструктурними, чим більше в них елементів (чим більша різниця між і ).
Адитивна розмірність
Інша досліджувана характеристика — адитивна розмірність МВТС, тобто розмір найбільшої , що міститься в ньому. Далі цю величину позначено як .
Чанг 2002 року довела, що . Основу доведення становило застосування до функції, утвореної з індикаторної функції множини фільтруванням коефіцієнтів Фур'є .
Разом з тим, Грін 2003 року показав, що за умов
існує множина , для якої .
Тобто, розглядаючи досить великі значення сум, адитивну розмірність МВТС можна оцінити досить точно.
Довільність
Якщо МВТС досить мала, порівняно зі своїм найбільшим можливим розміром, то загальна оцінка на адитивну енергію виявляється тривіальною, тобто не дозволяє нічого сказати про внутрішню структуру множини.
Виявляється, що в цьому випадку про неї нічого сказати і не можна — тобто довільна множина може бути малою МВТС.
Теорема (Шкредов) Якщо то і |
Достатньо розглянути функцію таку, що
і застосувати лему про наближення її коефіцієнтів Фур'є через коефіцієнти Фур'є індикаторної функції множини.
Основним обмеженням тут є — інші зумовлені загальною природою тригонометричних сум.
Обмеження на розмір можна ослабити до , якщо додати умову на те, що має деяку властивість, яка є варіацією дисоціативності.
Зв'язок між МВТС різних множин
МВТС множин розміру (половина розміру групи) у певному сенсі покривають структуру решти МВТС.
Теорема (Грін) Якщо , то для будь-якого існує таке, що і |
Узагальнення
МВТС можуть вивчатися не тільки для циклічних, але й для будь-яких груп, якщо правильно узагальнити поняття коефіцієнта Фур'є.
Наприклад, для будь-кого та множини її -МВТС містить у собі підгрупу розміру (останній вираз означає тетрацію).
Застосування
Чанг застосувала оцінки на адитивну розмірність МВТС для поліпшення оцінок у .
Примітки
- Сегал, 1946.
- Королёв, 2016.
- Шкредов, 2008, с. 161.
- Шкредов, 2007, с. 109, речення 2.1.
- Грин, 2003, с. 131—133, леми 3.2, 3.3.
- Грин, 2003, с. 129, лема 2.3.
- Грин, 2003, с. 129, лема 2.2.
- Шкредов, 2008, с. 163, теорема 5.
- Шкредов, 2007, с. 118, теорема 2.11.
- Шкредов, 2008, с. 162, теорема 1 (без доведення).
- Чанг, 2002.
- Шкредов, 2008, с. 162, теорема 4 (без доведення).
- Шкредов, 2007, с. 112, пропозиція 2.9.
- Шкредов, 2007, с. 108.
- Грин, 2005, с. 345, теорема 2.1.
Література
- Б. И. Сегал. Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел // Успехи математических наук. — 1946. — Вып. 3—4 (13-14) (16 июня). — С. 147—193.
- М. А. Королёв. Методы оценок коротких сумм Клоостермана // Чебышевский сборник. — 2016. — Т. 17, вып. 4 (16 июня). — С. 79—109.
- И. Д. Шкредов. Некоторые примеры множеств больших тригонометрических сумм // Математический сборник. — 2007. — Т. 198, вып. 12 (16 июня). — С. 105—140.
- И. Д. Шкредов. О множествах больших тригонометрических сумм // Известия РАН, серия математика. — 2008. — Т. 72, вып. 1 (16 июня). — С. 161—182.
- Mei-Chu Chang. A polynomial bound in Freiman's theorem // Duke Mathematical Journal. — 2002. — Vol. 113, iss. 3 (16 June). — P. 399—419.
- Ben Green. Some Constructions in the Inverse Spectral Theory of Cyclic Groups // Combinatorics, Probability and Computing. — 2003. — Vol. 12, iss. 2 (16 June). — P. 127-138.
- Ben Green. A Szemerédi-type regularity lemma in abelian groups, with applications // Geometric & Functional Analysis GAFA. — 2005. — Vol. 15, iss. 2 (16 June). — P. 340-376.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Mnozhina velikih trigonometrichnih sum ponyattya teoriyi chisel mnozhina indeksiv u yakih peretvorennya Fur ye harakteristichnoyi funkciyi zadanoyi pidmnozhini grupi nabuvaye dosit velikih znachen Dlya zruchnosti vikladu dali u statti vikoristovuyetsya skorochennya MVTS hocha vono ne ye zagalnoprijnyatim ViznachennyaU klasichnomu metodi trigonometrichnih sum chasto buvaye potribno ociniti zverhu znachennya modulya sumi x X e a x n displaystyle sum limits x in X e frac ax n dlya deyakoyi pidmnozhini X Z n displaystyle X subset mathbb Z n ciklichnoyi grupi Yaksho cya suma maye malij modul za vsih a 0 mod n displaystyle a not equiv 0 pmod n to z cogo mozhna zrobiti visnovki pro rivnomirnist rozpodilu X displaystyle X sered neperervnih vidrizkiv lishkiv za modulem n displaystyle n Ce vikonuyetsya napriklad dlya mnozhini kvadratichnih lishkiv i vzagali stepenevih lishkiv diskretnih logarifmiv poslidovnih chisel abo dlya prostih n displaystyle n viraziv viglyadu a a 1 displaystyle a a 1 de a 1 displaystyle a 1 obernenij element F n displaystyle mathbb F n vidnosno mnozhennya sumi Kloostermana Prirodno postaye pitannya yaksho ne dlya vsih a 0 mod n displaystyle a not equiv 0 pmod n rozglyanuti sumi mayut malij modul to dlya skilkoh a displaystyle a cej modul mozhe buti duzhe velikim i dlya yakih same naboriv znachen a displaystyle a ce mozhe vikonuvatis Napriklad ochevidno sho yaksho ce vikonuyetsya dlya a displaystyle a to j dlya a displaystyle a tezh ale vinikaye pitannya isnuvannya inshih takih zagalnih zakonomirnostej yaki zalezhat vid prirodi mnozhini X displaystyle X Ce pitannya shiroko rozglyanuto v aditivnij kombinatorici ideyeyu yakoyi i ye viyavlennya zakonomirnostej u strukturi mnozhin za minimalnih obmezhen na nih a koeficiyenti Fur ye znahodyat u nij shiroke zastosuvannya ViznachennyaZakonomirnosti sho stosuyutsya MVTS rozglyadayut yak pravilo vihodyachi z dvoh parametriv rozmiru osnovnoyi mnozhini ta mezhi za yakoyu vidokremlyuyut znachennya trigonometrichnih sum Inodi dlya zruchnosti mezhu na trigonometrichni sumi zapisuyut ne v yavnomu viglyadi a parametrizuyut cherez yiyi vidnoshennya do rozmiru mnozhini oskilki modul sumi ochevidno nikoli ne perevishuye rozmiru mnozhini Cherez ce a takozh cherez vidminnosti normuvannya koeficiyentiv Fur ye virazi u formulyuvannyah viznachen i teorem u riznih avtoriv mozhut vidriznyatisya ale sut doslidzhuvanih spivvidnoshen zalishayetsya tiyeyu zh Nehaj N displaystyle N naturalne chislo A Z N displaystyle A subset mathbb Z N A d N displaystyle A delta N Nehaj takozh A 3 x A e 2 p 3 x N i displaystyle widehat A xi sum limits x in A e 2 pi frac xi x N i oznachaye 3 displaystyle xi j koeficiyent Fur ye ne normovanij harakteristichnoyi funkciyi A displaystyle A Todi mnozhini velikih trigonometrichnih sum z parametrom viznachayutsya z tochnistyu do parametra a displaystyle alpha yak R a R a A 3 A 3 a N displaystyle mathcal R alpha mathcal R alpha A left lbrace xi widehat A xi geq alpha N right rbrace Deyaki prijomi vivchennyaNablizhennya funkciyi mnozhinoyu Dlya pobudovi prikladiv mnozhin yaki mayut MVTS z timi chi inshimi vlastivostyami chasto buduyut funkciyi yaki mayut vidpovidni koeficiyenti Fur ye a potim na cij pidstavi konstatuyut isnuvannya mnozhin koeficiyenti Fur ye yakih ne silno vidriznyayutsya vid koeficiyentiv cih funkcij Pidstavi dlya cogo daye taka lema dovedennya yakoyi peregukuyetsya z zagalnoyu linijno algebrichnoyu ideyeyu i vihodit za ramki nauki pro MVTS Yaksho f Z N 0 1 displaystyle f mathbb Z N to 0 1 to isnuye mnozhina S Z N displaystyle S subset mathbb Z N rozmiru x f x displaystyle left lfloor sum limits x f x right rfloor taka sho r Z N S r f r 20 N displaystyle forall r in mathbb Z N widehat S r widehat f r leq 20 sqrt N Zmina indikatornoyi funkciyi pri filtruvanni koeficiyentiv Fur ye za riznimi znachennyami a displaystyle alpha Filtruvannya koeficiyentiv Fur ye Dlya vivedennya zagalnih tverdzhen pro MVTS deyakih mnozhin zruchno vikoristovuvati funkciyi utvoreni z indikatornoyi funkciyi mnozhini filtruvannyam koeficiyentiv Fur ye za ciyeyu MVTS tobto taku funkciyu f displaystyle f sho f 3 1 A 3 3 R a A 0 3 R a A displaystyle widehat f xi begin cases widehat 1 A xi amp xi in mathcal R alpha A 0 amp xi not in mathcal R alpha A end cases Viyavlyayetsya sho v takih funkcij bilsha chastina sumi znachen takozh koncentruyetsya v A displaystyle A VlastivostiRozmir Z rivnosti 3 A 3 2 A 2 displaystyle sum limits xi widehat A xi 2 A 2 legko vihodit sho R a lt d a 2 displaystyle mathcal R alpha lt frac delta alpha 2 Dlya deyakih znachen d a displaystyle delta alpha cya ocinka dosit tochna za poryadkom zrostannya Priklad kvadratichni lishki Yaksho Q p Z p displaystyle Q p subset mathbb Z p mnozhina kvadratichnih lishkiv za prostim modulem p displaystyle p d p 1 2 p a 1 2 p displaystyle delta frac p 1 2p alpha approx frac 1 2 sqrt p to dlya R a Q p p displaystyle mathcal R alpha Q p p ocinka peretvoryuyetsya na nerivnist blizku do R a Q p lt 2 p 1 displaystyle mathcal R alpha Q p lt 2 p 1 Za dopomogoyu konstrukciyi viglyadu s 0 k 1 s p Q p Z k p displaystyle bigcup limits s 0 k 1 sp Q p subset mathbb Z kp cyu ideyu mozhna uzagalniti na MVTS iz menshoyu vidnosno modulya mezheyu na znachennya sumi Pri comu mizh ocinkoyu ta realnim rozmirom MVTS utvoryuyetsya ta sama riznicya Priklad poslidovni chisla U prikladi z kvadratichnimi lishkami velichina d p 1 2 p 1 2 displaystyle delta frac p 1 2p approx frac 1 2 blizka do fiksovanoyi Shob znajti prikladi iz dovilnoyu velichinoyu d displaystyle delta dostatno rozglyanuti mnozhinu A 1 2 m Z N displaystyle A 1 2 dots m subset mathbb Z N de m N displaystyle m ll N Todi 3 lt N 4 m a A arg e 2 p 3 a N i lt p 2 displaystyle forall xi lt frac N 4m forall a in A arg left e 2 pi frac xi a N i right lt frac pi 2 tobto napryamki vektoriv vidpovidnih e 2 p 3 a N i displaystyle e 2 pi frac xi a N i obmezheni dosit vuzkim kutom i tomu 3 lt N 4 m A 3 m 2 displaystyle forall xi lt frac N 4m widehat A xi gg frac m 2 tak sho pravilna ocinka znizu R m 2 N A N 4 m displaystyle mathcal R frac m 2N A geq left lfloor frac N 4m right rfloor Bilsh togo oskilki A 3 A 3 displaystyle widehat A xi widehat A xi to pravilno navit sho R m 2 N A N 2 m displaystyle mathcal R frac m 2N A geq left lfloor frac N 2m right rfloor Odnak pri d m N a m 2 N displaystyle delta frac m N alpha frac m 2N ocinka zverhu peretvoryuyetsya na nerivnist R a A 4 N m displaystyle mathcal R alpha A leq 4 frac N m Vihodit sho N 2 m R a A 4 N m displaystyle left lfloor frac N 2m right rfloor leq mathcal R alpha A leq 4 frac N m ta ocinka zverhu takozh tochna do mnozhennya na stalu Struktura Stupin strukturovanosti MVTS u riznih sensah mozhna ociniti dosit tochno koli voni dosit veliki U razi koli voni mayut malij rozmir MVTS mozhut buti cilkom dovilnimi Aditivna energiya Z odnogo boku MVTS dopuskayut nizhnyu ocinku na aditivnu energiyu bud yakoyi svoyeyi pidmnozhini Yaksho B R a displaystyle B subset mathcal R alpha to T k B k a 2 k d 2 k 1 B 2 k displaystyle T k B gg k frac alpha 2k delta 2k 1 B 2k Korotkij opis ideyi dovedennya Dostatno v podibnij sposib ociniti energiyu mnozhini viglyadu B R a R 2 a displaystyle B subset mathcal R alpha setminus mathcal R 2 alpha i pidsumuvati rezultati za znachennyami a 2 a 4 a displaystyle alpha 2 alpha 4 alpha dots Dlya ocinki energiyi B displaystyle B vikoristovuyut funkciyu koeficiyenti Fur ye yakoyi ye koeficiyentami 1 A displaystyle 1 A vidfiltrovanimi za B displaystyle B Oskilki iz zagalnih mirkuvan znachennya takoyi funkciyi duzhe nasicheni v A displaystyle A to dostatno za dopomogoyu seriyi nerivnostej Geldera ta operacij zi zgortkami ociniti cyu nasichenist cherez pobudovu u r f r f r u 2 displaystyle sum limits u Bigg vert sum limits r widehat f r overline widehat f r u Bigg vert 2 i deyakij mnozhnik sho zalezhit vid A displaystyle A tobto vid d displaystyle delta Pobudova zh u r f r f r u 2 displaystyle sum limits u Bigg vert sum limits r widehat f r overline widehat f r u Bigg vert 2 zavdyaki vidnimannyu R 2 a displaystyle mathcal R 2 alpha z B displaystyle B tobto zavdyaki umovi na ocinku f 3 displaystyle widehat f xi zverhu ocinyuyetsya zverhu cherez velichinu aditivnoyi energiyi z deyakim dodatkovim mnozhnikom Z inshogo boku za deyakih dodatkovih ne nadto silnih umov na parametri k a d displaystyle k alpha delta isnuye mnozhina A displaystyle A dlya yakoyi pravilna i verhnya ocinka T k R a k d a 2 k displaystyle T k mathcal R alpha ll k frac delta alpha 2k prichomu R a d a 2 displaystyle mathcal R alpha gg frac delta alpha 2 Ce govorit pro te sho inodi MVTS mozhut buti vse taki dosit velikimi ta bezstrukturnimi odnochasno PobudovaDlya pobudovi vikoristovuyut mnozhinu L displaystyle Lambda yaka maye osoblivim sposobom posilenu vlastivist disociativnosti Samu mnozhinu A displaystyle A viznachayut yak ob yednannya zsuviv L displaystyle Lambda riznih arifmetichnih progresij iz riznicyami l L displaystyle lambda in Lambda prichomu zsuvi vibirayut tak shob kozhna nova progresiya sho dodayetsya do mnozhini mala z uzhe pobudovanoyu mnozhinoyu yaknajmenshij peretin MVTS takoyi mnozhini mistit ob yednannya takoyi zh kilkosti inshih arifmetichnih progresij sho dozvolyaye govoriti pro yiyi velikij rozmir i vodnochas sama mistitsya v ob yednanni tih samih arifmetichnih progresij lishe podovzhenih v obidva boki a ce dozvolyaye iz zagalnih kombinatornih mirkuvan vivesti sho yiyi aditivna energiya ne velika U vipadku koli R a displaystyle mathcal R alpha maye najbilshij mozhlivij rozmir ci ocinki yaksho pershu rozglyadati dlya B R a displaystyle B mathcal R alpha zbigayutsya z tochnistyu do staloyi yaka zalezhit vid k displaystyle k Tobto dlya dosit shirokogo klasu znachen parametriv d a displaystyle delta alpha isnuyut mnozhini mira strukturovanosti MVTS yakih viznachena majzhe odnoznachno prichomu yihni MVTS viyavlyayutsya tim bilsh bezstrukturnimi chim bilshe v nih elementiv chim bilsha riznicya mizh d displaystyle delta i a displaystyle alpha Aditivna rozmirnist Insha doslidzhuvana harakteristika aditivna rozmirnist MVTS tobto rozmir najbilshoyi sho mistitsya v nomu Dali cyu velichinu poznacheno yak dim R a displaystyle dim mathcal R alpha Chang 2002 roku dovela sho dim R a d a 2 log 1 d displaystyle dim mathcal R alpha ll left frac delta alpha right 2 log left frac 1 delta right Osnovu dovedennya stanovilo zastosuvannya do funkciyi utvorenoyi z indikatornoyi funkciyi mnozhini filtruvannyam koeficiyentiv Fur ye R a displaystyle mathcal R alpha Razom z tim Grin 2003 roku pokazav sho za umov d 1 8 displaystyle delta leq frac 1 8 a d 32 displaystyle alpha leq frac delta 32 d a 2 log 1 d log N log log N displaystyle left frac delta alpha right 2 log left frac 1 delta right leq frac log N log log N isnuye mnozhina A displaystyle A dlya yakoyi dim R a d a 2 log 1 d displaystyle dim mathcal R alpha gg left frac delta alpha right 2 log left frac 1 delta right Tobto rozglyadayuchi dosit veliki znachennya sum aditivnu rozmirnist MVTS mozhna ociniti dosit tochno Dovilnist Yaksho MVTS dosit mala porivnyano zi svoyim najbilshim mozhlivim rozmirom to zagalna ocinka na aditivnu energiyu viyavlyayetsya trivialnoyu tobto ne dozvolyaye nichogo skazati pro vnutrishnyu strukturu mnozhini Viyavlyayetsya sho v comu vipadku pro neyi nichogo skazati i ne mozhna tobto dovilna mnozhina mozhe buti maloyu MVTS Teorema Shkredov Yaksho d lt 1 2 displaystyle delta lt frac 1 2 20 1 N lt a d 2 displaystyle 20 frac 1 sqrt N lt alpha leq frac delta 2 S d 2 a displaystyle S leq frac delta 2 alpha S S displaystyle S S to A A d N displaystyle exists A A left lfloor delta N right rfloor i R a A S displaystyle mathcal R alpha A S Korotkij opis ideyi dovedennya Dostatno rozglyanuti funkciyu f displaystyle f taku sho f 3 d 3 0 2 a 3 S 0 0 3 S displaystyle widehat f xi begin cases delta amp xi 0 2 alpha amp xi in S setminus 0 0 amp xi not in S end cases i zastosuvati lemu pro nablizhennya yiyi koeficiyentiv Fur ye cherez koeficiyenti Fur ye indikatornoyi funkciyi mnozhini Osnovnim obmezhennyam tut ye S d 2 a displaystyle S leq frac delta 2 alpha inshi zumovleni zagalnoyu prirodoyu trigonometrichnih sum Obmezhennya na rozmir mozhna oslabiti do S d a log 1 d displaystyle S leq frac delta alpha log frac 1 delta yaksho dodati umovu na te sho S displaystyle S maye deyaku vlastivist yaka ye variaciyeyu disociativnosti Zv yazok mizh MVTS riznih mnozhin MVTS mnozhin rozmiru N 2 displaystyle left lfloor frac N 2 right rfloor polovina rozmiru grupi u pevnomu sensi pokrivayut strukturu reshti MVTS Teorema Grin Yaksho a 80 1 N displaystyle alpha geq 80 frac 1 sqrt N to dlya bud yakogo A Z N displaystyle A subset mathbb Z N isnuye B Z N displaystyle B subset mathbb Z N take sho B N 2 displaystyle B left lfloor frac N 2 right rfloor i R a A R a 4 B displaystyle mathcal R alpha A subset mathcal R frac alpha 4 B UzagalnennyaMVTS mozhut vivchatisya ne tilki dlya ciklichnih ale j dlya bud yakih grup yaksho pravilno uzagalniti ponyattya koeficiyenta Fur ye Napriklad dlya bud kogo a lt 1 2 displaystyle alpha lt frac 1 2 ta mnozhini A Z 2 n displaystyle A subset mathbb Z 2 n yiyi a displaystyle alpha MVTS mistit u sobi pidgrupu rozmiru 1 a 3 2 displaystyle left frac 1 alpha 3 right 2 ostannij viraz oznachaye tetraciyu ZastosuvannyaChang zastosuvala ocinki na aditivnu rozmirnist MVTS dlya polipshennya ocinok u PrimitkiSegal 1946 Korolyov 2016 Shkredov 2008 s 161 Shkredov 2007 s 109 rechennya 2 1 Grin 2003 s 131 133 lemi 3 2 3 3 Grin 2003 s 129 lema 2 3 Grin 2003 s 129 lema 2 2 Shkredov 2008 s 163 teorema 5 Shkredov 2007 s 118 teorema 2 11 Shkredov 2008 s 162 teorema 1 bez dovedennya Chang 2002 Shkredov 2008 s 162 teorema 4 bez dovedennya Shkredov 2007 s 112 propoziciya 2 9 Shkredov 2007 s 108 Grin 2005 s 345 teorema 2 1 LiteraturaB I Segal Trigonometricheskie summy i nekotorye ih primeneniya k teorii chisel Uspehi matematicheskih nauk 1946 Vyp 3 4 13 14 16 iyunya S 147 193 M A Korolyov Metody ocenok korotkih summ Kloostermana Chebyshevskij sbornik 2016 T 17 vyp 4 16 iyunya S 79 109 I D Shkredov Nekotorye primery mnozhestv bolshih trigonometricheskih summ Matematicheskij sbornik 2007 T 198 vyp 12 16 iyunya S 105 140 I D Shkredov O mnozhestvah bolshih trigonometricheskih summ Izvestiya RAN seriya matematika 2008 T 72 vyp 1 16 iyunya S 161 182 Mei Chu Chang A polynomial bound in Freiman s theorem Duke Mathematical Journal 2002 Vol 113 iss 3 16 June P 399 419 Ben Green Some Constructions in the Inverse Spectral Theory of Cyclic Groups Combinatorics Probability and Computing 2003 Vol 12 iss 2 16 June P 127 138 Ben Green A Szemeredi type regularity lemma in abelian groups with applications Geometric amp Functional Analysis GAFA 2005 Vol 15 iss 2 16 June P 340 376