Теорема Рота — результат адитивної комбінаторики, окремий випадок теореми Семереді для прогресій довжини 3; стверджує наявність арифметичних прогресій у будь-якій достатньо щільній множині.
Точне формулювання: для будь-якого будь-яка множина , що має асимптотичну щільність містить арифметичну прогресію довжини 3.
Аналогічні формулювання, що використовують верхню та нижню асимптотичну щільність, еквівалентні.
Також еквівалентне початковому і формулювання для скінченних множин: для будь-якої існує таке, що якщо , і , то містить арифметичну прогресію довжини 3. У переважній більшості доведень доводиться саме формулювання для скінченних множин.
Історія покращення кількісних оцінок
Розмір максимальної підмножини без прогресій довжини 3 | ||
---|---|---|
Рік публікації | Розмір (з точністю до константи) | Автор(и) |
1953 | Рот | |
1987 | [en] | |
1999 | Бурген | |
2008 | Бурген | |
2012 | [en] | |
2011 | Сандерс | |
2014 | Блум | |
2020 (препринт) | [pl] | |
2020 (препринт) | Блум, Сісаск |
Різні доведення
Елементарне (через узагальнені арифметичні прогресії)
Теорему вперше довів року Клаус Рот, адаптувавши круговий методу Гарді — Літтлвуда. У доведенні використано ідею, згодом узагальнену і для загального доведення теореми Семереді: всі множини заданої щільності розбиваються на дві групи — «рівномірні» та «нерівномірні», причому під «рівномірністю» розуміється верхня оцінка на [en]. Якщо множина рівномірна, то наявність прогресій у ній можна довести безпосередньо, а інакше можна довести наявність підпрогресії, в якій щільність множини більша, ніж серед відрізка натурального ряду, якому вона належить.
Метод дозволяє вивести оцінку . Технічні подробиці доведення, межа коефіцієнтів Фур'є, що визначає «рівномірність», і отримувані сталі можуть відрізнятися в різних джерелах.
Комбінаторне (через лему Семереді)
Доведення теореми Рота можна вивести як окремий випадок теореми Семереді з доведення Семереді. Такий спосіб доведення вимагає використання леми регулярності Семереді та теореми про кутики, звідки теорема Рота випливає безпосередньо. Можна навіть обійтися без використання теореми про кутики, а виводити теорему Рота безпосередньо з леми про видалення трикутників але тільки у формулюванні для скінченних циклічних груп (див. розділ «Варіації та узагальнення на різні групи»).
Оскільки лема регулярності Семереді дає надзвичайно великі верхні оцінки на отримувану через неї величину (як мінімум, вежі з експонент), то й сам метод не дозволяє отримати оцінки кращі від цих.
Гармонічний аналіз
Рональд Грем у своїй книзі про теорію Ремзі наводить спрощений варіант доведення, також заснований на методі Семереді, проте не використовує леми регулярності. У доведенні використовуються узагальнені арифметичні прогресії вигляду , довести наявність яких у множині значно простіше, а з цього вже виводиться сама теорема Рота.
Доведення Грема не дає оцінок на , лише показує існування, оскільки використовує існування точки в послідовності, починаючи з якої всі точки досить близькі до границі, але для границі також доведено лише існування, а характер збіжності в принципі не аналізується.
Контрприклади для нещільних множин
Поряд із знаходженням верхніх оцінок розміру множини без арифметичних прогресій, існує також обернена задача — побудова якомога більшої множини , що не містить арифметичних прогресій, тобто контрприкладу для позначення меж покращення оцінок на . Усі відомі побудови таких множин ґрунтуються на ідеї розгляду окремих розрядів чисел у деякій системі числення та задання умов на значення цих розрядів.
Ердеш, Туран (1936)
Перший приклад множини без прогресій навели 1936 року Ердеш і Туран, запропонувавши розглянути числа, які в трійковій системі містять тільки цифри 0 і 2. Така множина містить лише чисел, що дуже мало, порівняно з верхніми оцінками.
Нехай — множина Ердеша — Турана.
Якщо і , то в трійковій системі в найстаршому , де ці числа відрізняються, виконуються рівності . Тому в арифметичній прогресії виконувалося б , а отже, .Салем, Спенсер (1942)
Салем і Спенсер 1942 року узагальнили ідею Ердеша та Турана на системи числення зі зростанням (залежно від розміру множини) основи та отримали множину без прогресій розміру .
У побудові Ердеша — Турана цілком можна дозволити цифри 0 і 1 замість 0 і 2 (тоді в доведенні коректності місце середнього числа в прогресії буде займати більше). За аналогією з цим Салем і Спенсер у -ковій системі розглядали числа, які містять тільки цифри від 0 до , причому однакову кількість входжень кожної цифри (з поправкою на асимптотику можна вважати непарним, а загальне число цифр — дільником ).
Наявність прогресій блокується умовою входження окремих цифр. Справді, якщо і при додаванні не використовується , то всі нулі в (а отже, і в ) можуть утворитися лише додаванням нулів із відповідних розрядів і . Далі за індукцією можна довести збіг у позицій усіх одиниць, двійок і т. д. і прийти до висновку, що .
Заявлена оцінка виходить при розгляді .Беренд (1946)
1946 року [en] додав геометричну інтерпретацію, зіставивши розрядам числа координати точок у багатовимірному просторі і розглядаючи числа, відповідні в цьому сенсі точкам сфери. Це дозволило побудувати множину розміру , що не містить прогресій.
Всі числа з цифрами не більше і -ковим поданням розбивають на групи з однаковими значеннями . Як множину вибирають найбільшу з цих груп і її розмір оцінюється за принципом Діріхле.
Завдяки обмеженості цифр, при додаванні таких чисел не відбувається , так що прогресії довжини 3 також мають геометричну інтерпретацію (як точки на одній прямій). Але, оскільки куля --- строго опукле тіло, то сфера, як його межа, не може містити трьох точок на одній прямій. Із цього випливає відсутність прогресій у вибраній множині.
Розмір множини оцінюється найкраще приЗгодом невеликим уточненням методу оцінку Беренда збільшено на логарифмічний множник, але суттєво кращих результатів станом на 2019 рік немає.
Оскільки для деяких узагальнень теореми Рота відомі верхні оцінки схожого типу, є підстави вважати, що оцінка Беренда точна.
Варіації та узагальнення для різних груп
Для скінченних циклічних груп
І доведення через гармонічний аналіз, і певний спосіб застосування леми Семереді доводять не саму теорему, а її «циклічний» варіант.
Для будь-якого існує таке, що якщо , і , то містить трійку , де під додаванням розуміють саме додавання за модулем. |
Обіцяні цим формулюванням прогресії можуть бути прогресіями в , але не бути такими в (наприклад, ). Однак теорема Рота очевидно випливає з нього якщо розглянути множину як множину лишків у . Це лише на сталу змінює щільність, але робить усі прогресії придатними для . Отже, ця теорема еквівалентна основній теоремі Рота.
Для груп з малим фіксованим скрутом
Наступна теорема, подібна до теореми Рота, не випливає з неї і не тягне її, але цікава для окремого вивчення.
Нехай зафіксовано деяке . Тоді для будь-якого існує таке , що якщо , то |
Верхні оцінки
Вперше теорему для груп довели 1982 року Браун і Бахлер, проте вони тільки довели, що для множин без арифметичних прогресій виконується , але точніші обмеження на залишалися відкритим питанням.
1993 року (опубліковано 1995 року) Рой Мешулам (Roy Meshulam) довів, що . У його доведенні розглянуто довільні групи та їхні характери. Існують також спрощені варіанти цього доведення виключно для , які, використовуючи коефіцієнти Фур'є в , прямо узагальнюють ідеї з аналітичного доведення теореми Рота. Доведення виходить технічно навіть простішим, ніж доведення самої теореми Рота, так що часто наводиться як перший приклад застосування методу.
2012 року Бейтман і Кац, розглядаючи випадок , довели існування та абсолютної сталої , такий, що для без арифметичних прогресій виконується .
2016 року Крут, Лев та Пах довели для випадку , що для множин без прогресії. Елленберг (Ellenberg) і Гейсвейт (Gijswijt), узагальнюючи метод Крута, Льова і Паха, використовуючи алгебру многочленів, довели існування для кожного простого сталої такої, що якщо не містить прогресії довжини 3. У їхній роботі . Зокрема, для випадку виконується . За припущення з оптимізації функції випливає, що , де — абсолютна стала, що є розв'язком рівняння , тобто , де
Нижні оцінки
Найкраща станом на 2016 побудова-контрприклад дозволяє будувати для груп виду множини розміру , які не містять арифметичних прогресій довжини 3.
Для довільних груп
У роботі Мешулама розглянуто теорему Рота для довільної групи та виведено оцінку для множини без арифметичних прогресій довжини 3.
З цього випливає існування абсолютної сталої такої, що для множини без прогресій виконується .
Двовимірне узагальнення
Класичним узагальненням теореми Рота для двовимірних множин вважають теорему про кутики. Хоча там і не згадано про арифметичні прогресії (у двовимірному сенсі), але теорема Рота з неї випливає.
Див. також
Примітки
- И. Д. Шкредов, «Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях», УМН, 61:6(372) (2006), 111—178; Russian Math. Surveys, 61:6 (2006), 1101—1166. оригіналу за 24 грудня 2017. Процитовано 23 грудня 2017.
- Roth, 1953.
- Heath-Brown, 1987.
- Szemerédi, 1990.
- Bourgain, 1999.
- Bourgain, 2008.
- Sanders, 2012.
- Sanders, 2011.
- Bloom, 2014.
- Schoen, 2020.
- Bloom, Sisask, 2020.
- (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 24 грудня 2017. Процитовано 23 грудня 2017.
- Постнаука, Илья Шкредов — Теорема Семереди
- Лаборатория Чебышёва, курс лекций «Аддитивная комбинаторика», лекция 3
- P. Erdős, P. Turán, "On some sequences of integers", Journal of the London Mathematical Society (June 1936). оригіналу за 23 грудня 2019. Процитовано 23 грудня 2019.
- R. Salem, D. C. Spencer, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 28 (1942), 561—563. оригіналу за 3 червня 2018. Процитовано 23 грудня 2017.
- F. A. Behrend, «On sets of integers which contain no three terms in arithmetic progression», Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 32 (1946), 331—332. оригіналу за 4 червня 2018. Процитовано 23 грудня 2017.
- Michael Elkin, "An improved construction of progression-free sets", Israel Journal of Mathematics, 184:93 (August 2011). оригіналу за 27 листопада 2018. Процитовано 23 грудня 2019.
- T. Schoen, I. D. Shkredov, «Roth's theorem in many variables», Israel Journal of Mathematics, volume 199, pages 287—308 (2014) [ 2023-08-30 у Wayback Machine.] (arXiv:1106.1601 Архівна копія на сайті Wayback Machine.)
- T. Schoen, O. Sisask, «Roth's theorem for four variables and additive structures in sums of sparse sets», Forum of Mathematics Forum of Mathematics, Sigma, 4, E5. doi:10.1017/fms.2016.2 [ 2023-08-29 у Wayback Machine.] (arXiv:1408.2568 Архівна копія на сайті Wayback Machine.)
- T. C. Brown and J. P. Buhler, A density version of a geometric Ramsey theorem, Journal of Combinatorial Theory, Series A 32 (1982), no. 1, 20—34 (PDF). (PDF) оригіналу за 9 серпня 2017. Процитовано 23 грудня 2017.
- R. Meshulam, On subsets of finite abelian groups with no 3-term arithmetic progressions, Journal of Combinatorial Theory, Series A 71 (1995), no. 1, 168—172.[недоступне посилання з Февраль 2020]
- A mini course on additive combinatorics [ 2017-08-29 у Wayback Machine.], p. 39-42
- Лаборатория Чебышёва, Илья Шкредов, Аналитические методы в аддитивной комбинаторике, обзорная лекция
- M. Bateman and N. Katz, New bounds on cap sets, Journal of the American Mathematical Society 25 (2012), no. 2, 585—613 (PDF). (PDF) оригіналу за 9 січня 2018. Процитовано 23 грудня 2017.
- E. Croot, V. Lev, and P. P. Pach, Progression-free sets in Z_n^4 are exponentially small (2016). arXiv preprint 1605.01506. оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 23 грудня 2017.
- Доказательство теоремы Рота для групп с малым кручением на arxiv.org. оригіналу за 12 червня 2018. Процитовано 23 грудня 2017.
- Изложение доказательства Ellenberg и Gijswijt на русском языке
- Y. Edel, Extensions of generalized product caps, Designs, Codes and Cryptography 31 (2004), no. 1, 5—14. оригіналу за 10 січня 2018. Процитовано 23 грудня 2017.
Література
- K. F. Roth. On Certain Sets of Integers // Journal of the London Mathematical Society. — 1953. — P. 104—109. — DOI: .
- D. R. Heath-Brown. Integer Sets Containing No Arithmetic Progressions // Journal of the London Mathematical Society. — 1987. — Vol. s2-35, iss. 3. — P. 385—394. — DOI: .
- E. Szemerédi. Integer sets containing no arithmetic progressions // Acta Mathematica Hungarica. — 1990. — Vol. 56. — P. 155—159. — DOI: .
- J. Bourgain. On Triples in Arithmetic Progression // Geometric & Functional Analysis GAFA. — 1999. — Vol. 9. — P. 968—984. — DOI: .
- J. Bourgain. Roth’s theorem on progressions revisited // Journal d'Analyse Mathématique. — 2008. — Vol. 104. — P. 155—192. — DOI: .
- T. Sanders. On certain other sets of integers // Journal d’Analyse Mathématique. — 2012. — Vol. 116. — P. 53—82. — arXiv:1007.5444. — DOI: .
- T. Sanders. On Roth’s theorem on progressions // Annals of Mathematics. — 2011. — Vol. 174. — P. 619—636. — arXiv:1011.0104. — DOI: .
- T. F. Bloom. A quantitative improvement for Roth's theorem on arithmetic progressions // Journal of the London Mathematical Society. — 2014. — Vol. 93, iss. 3. — P. 643—663. — arXiv:1405.5800. — DOI: .
- T. Schoen. Improved bound in Roth’s theorem on arithmetic progressions. — 2020. — arXiv:2005.01145.
- T. F. Bloom, O. Sisask. Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions. — 2020. — arXiv:2007.03528.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ne plutati z teoremoyu Tue Zigelya Rota Teorema Rota rezultat aditivnoyi kombinatoriki okremij vipadok teoremi Semeredi dlya progresij dovzhini 3 stverdzhuye nayavnist arifmetichnih progresij a a d a 2 d d 0 displaystyle a a d a 2d d not 0 u bud yakij dostatno shilnij mnozhini Tochne formulyuvannya dlya bud yakogo d 0 1 displaystyle delta in 0 1 bud yaka mnozhina A N displaystyle A subset mathbb N sho maye asimptotichnu shilnist d A gt d displaystyle d A gt delta mistit arifmetichnu progresiyu dovzhini 3 Analogichni formulyuvannya sho vikoristovuyut verhnyu ta nizhnyu asimptotichnu shilnist ekvivalentni Takozh ekvivalentne pochatkovomu i formulyuvannya dlya skinchennih mnozhin dlya bud yakoyi d 0 1 displaystyle delta in 0 1 isnuye N 0 N 0 d displaystyle N 0 N 0 delta take sho yaksho N gt N 0 displaystyle N gt N 0 A 1 2 N displaystyle A subset left lbrace 1 2 dots N right rbrace i A gt d N displaystyle A gt delta N to A displaystyle A mistit arifmetichnu progresiyu dovzhini 3 U perevazhnij bilshosti doveden dovoditsya same formulyuvannya dlya skinchennih mnozhin Istoriya pokrashennya kilkisnih ocinokRozmir maksimalnoyi pidmnozhini 1 N displaystyle 1 dots N bez progresij dovzhini 3 Rik publikaciyi Rozmir z tochnistyu do konstanti Avtor i 1953 N log log N displaystyle frac N log log N Rot 1987 N log N c c gt 0 displaystyle frac N log N c c gt 0 en 1999 N log log N 1 2 log N 1 2 displaystyle frac N log log N 1 2 log N 1 2 Burgen 2008 N log log N 2 log N 2 3 displaystyle frac N log log N 2 log N 2 3 Burgen 2012 N log N 3 4 o 1 displaystyle frac N log N 3 4 o 1 en 2011 log log N 5 log N N displaystyle frac log log N 5 log N N Sanders 2014 log log N 4 log N N displaystyle frac log log N 4 log N N Blum 2020 preprint log log N 3 log log log N 5 log N N displaystyle frac log log N 3 log log log N 5 log N N pl 2020 preprint N log N 1 c c gt 0 displaystyle frac N log N 1 c c gt 0 Blum SisaskRizni dovedennyaElementarne cherez uzagalneni arifmetichni progresiyi Teoremu vpershe doviv roku Klaus Rot adaptuvavshi krugovij metodu Gardi Littlvuda U dovedenni vikoristano ideyu zgodom uzagalnenu i dlya zagalnogo dovedennya teoremi Semeredi vsi mnozhini zadanoyi shilnosti rozbivayutsya na dvi grupi rivnomirni ta nerivnomirni prichomu pid rivnomirnistyu rozumiyetsya verhnya ocinka na en Yaksho mnozhina rivnomirna to nayavnist progresij u nij mozhna dovesti bezposeredno a inakshe mozhna dovesti nayavnist pidprogresiyi v yakij shilnist mnozhini bilsha nizh sered vidrizka naturalnogo ryadu yakomu vona nalezhit Metod dozvolyaye vivesti ocinku N 0 d e e c d displaystyle N 0 delta leqslant e e frac c delta Tehnichni podrobici dovedennya mezha koeficiyentiv Fur ye sho viznachaye rivnomirnist i otrimuvani stali mozhut vidriznyatisya v riznih dzherelah Kombinatorne cherez lemu Semeredi Dovedennya teoremi Rota mozhna vivesti yak okremij vipadok teoremi Semeredi z dovedennya Semeredi Takij sposib dovedennya vimagaye vikoristannya lemi regulyarnosti Semeredi ta teoremi pro kutiki zvidki teorema Rota viplivaye bezposeredno Mozhna navit obijtisya bez vikoristannya teoremi pro kutiki a vivoditi teoremu Rota bezposeredno z lemi pro vidalennya trikutnikiv ale tilki u formulyuvanni dlya skinchennih ciklichnih grup div rozdil Variaciyi ta uzagalnennya na rizni grupi Oskilki lema regulyarnosti Semeredi daye nadzvichajno veliki verhni ocinki na otrimuvanu cherez neyi velichinu yak minimum vezhi z eksponent to j sam metod ne dozvolyaye otrimati ocinki krashi vid cih Garmonichnij analiz Ronald Grem u svoyij knizi pro teoriyu Remzi navodit sproshenij variant dovedennya takozh zasnovanij na metodi Semeredi prote ne vikoristovuye lemi regulyarnosti U dovedenni vikoristovuyutsya uzagalneni arifmetichni progresiyi viglyadu a k 1 n ϵ k x k ϵ i 0 1 displaystyle a sum limits k 1 n epsilon k x k epsilon i in left lbrace 0 1 right rbrace dovesti nayavnist yakih u mnozhini znachno prostishe a z cogo vzhe vivoditsya sama teorema Rota Dovedennya Grema ne daye ocinok na N displaystyle N lishe pokazuye isnuvannya oskilki vikoristovuye isnuvannya tochki v poslidovnosti pochinayuchi z yakoyi vsi tochki dosit blizki do granici ale dlya granici takozh dovedeno lishe isnuvannya a harakter zbizhnosti v principi ne analizuyetsya Kontrprikladi dlya neshilnih mnozhinPoryad iz znahodzhennyam verhnih ocinok rozmiru mnozhini A 1 N displaystyle A subset left lbrace 1 dots N right rbrace bez arifmetichnih progresij isnuye takozh obernena zadacha pobudova yakomoga bilshoyi mnozhini A displaystyle A sho ne mistit arifmetichnih progresij tobto kontrprikladu dlya poznachennya mezh pokrashennya ocinok na N 0 d displaystyle N 0 delta Usi vidomi pobudovi takih mnozhin gruntuyutsya na ideyi rozglyadu okremih rozryadiv chisel u deyakij sistemi chislennya ta zadannya umov na znachennya cih rozryadiv Erdesh Turan 1936 Pershij priklad mnozhini bez progresij naveli 1936 roku Erdesh i Turan zaproponuvavshi rozglyanuti chisla yaki v trijkovij sistemi mistyat tilki cifri 0 i 2 Taka mnozhina mistit lishe N log 3 2 displaystyle N log 3 2 chisel sho duzhe malo porivnyano z verhnimi ocinkami Dovedennya korektnosti pobudoviNehaj A displaystyle A mnozhina Erdesha Turana Yaksho a b A displaystyle a b in A i a lt b displaystyle a lt b to v trijkovij sistemi v najstarshomu i displaystyle i de ci chisla vidriznyayutsya vikonuyutsya rivnosti a i 0 b i 2 displaystyle a i 0 b i 2 Tomu v arifmetichnij progresiyi a lt c lt b displaystyle a lt c lt b vikonuvalosya b c i 1 displaystyle c i 1 a otzhe c A displaystyle c not in A Salem Spenser 1942 Salem i Spenser 1942 roku uzagalnili ideyu Erdesha ta Turana na sistemi chislennya zi zrostannyam zalezhno vid rozmiru mnozhini osnovi ta otrimali mnozhinu bez progresij rozmiru exp O log N log log N N displaystyle exp left O left frac log N log log N right right N Korotkij opis pobudoviU pobudovi Erdesha Turana cilkom mozhna dozvoliti cifri 0 i 1 zamist 0 i 2 todi v dovedenni korektnosti misce serednogo chisla v progresiyi bude zajmati bilshe Za analogiyeyu z cim Salem i Spenser u d displaystyle d kovij sistemi rozglyadali chisla yaki mistyat tilki cifri vid 0 do d 1 2 displaystyle frac d 1 2 prichomu odnakovu kilkist vhodzhen kozhnoyi cifri z popravkoyu na asimptotiku d displaystyle d mozhna vvazhati neparnim a zagalne chislo cifr dilnikom d 1 2 displaystyle frac d 1 2 Nayavnist progresij blokuyetsya umovoyu vhodzhennya okremih cifr Spravdi yaksho a c 2 b displaystyle a c 2b i pri dodavanni ne vikoristovuyetsya to vsi nuli v 2 b displaystyle 2b a otzhe i v b displaystyle b mozhut utvoritisya lishe dodavannyam nuliv iz vidpovidnih rozryadiv a displaystyle a i c displaystyle c Dali za indukciyeyu mozhna dovesti zbig u a b c displaystyle a b c pozicij usih odinic dvijok i t d i prijti do visnovku sho a b c displaystyle a b c Zayavlena ocinka vihodit pri rozglyadi d log N log log N 2 displaystyle d asymp frac log N log log N 2 Berend 1946 1946 roku en dodav geometrichnu interpretaciyu zistavivshi rozryadam chisla koordinati tochok u bagatovimirnomu prostori i rozglyadayuchi chisla vidpovidni v comu sensi tochkam sferi Ce dozvolilo pobuduvati mnozhinu rozmiru exp O log N N displaystyle exp left O left sqrt log N right right N sho ne mistit progresij Korotkij opis pobudoviVsi chisla x lt 2 m 1 n displaystyle x lt 2m 1 n z ciframi ne bilshe m displaystyle m i 2 m 1 displaystyle 2m 1 kovim podannyam x x 1 x 2 x n displaystyle x x 1 x 2 dots x n rozbivayut na grupi z odnakovimi znachennyami i 1 n x i 2 displaystyle sum limits i 1 n x i 2 Yak mnozhinu vibirayut najbilshu z cih grup i yiyi rozmir ocinyuyetsya za principom Dirihle Zavdyaki obmezhenosti cifr pri dodavanni takih chisel ne vidbuvayetsya tak sho progresiyi dovzhini 3 takozh mayut geometrichnu interpretaciyu yak tochki na odnij pryamij Ale oskilki kulya strogo opukle tilo to sfera yak jogo mezha ne mozhe mistiti troh tochok na odnij pryamij Iz cogo viplivaye vidsutnist progresij u vibranij mnozhini Rozmir mnozhini ocinyuyetsya najkrashe pri n log N displaystyle n asymp sqrt log N Zgodom nevelikim utochnennyam metodu ocinku Berenda zbilsheno na logarifmichnij mnozhnik ale suttyevo krashih rezultativ stanom na 2019 rik nemaye Oskilki dlya deyakih uzagalnen teoremi Rota vidomi verhni ocinki shozhogo tipu ye pidstavi vvazhati sho ocinka Berenda tochna Variaciyi ta uzagalnennya dlya riznih grupDlya skinchennih ciklichnih grup I dovedennya cherez garmonichnij analiz i pevnij sposib zastosuvannya lemi Semeredi dovodyat ne samu teoremu a yiyi ciklichnij variant Dlya bud yakogo d 0 1 displaystyle delta in 0 1 isnuye N 0 N 0 d displaystyle N 0 N 0 delta take sho yaksho N gt N 0 displaystyle N gt N 0 A Z N displaystyle A subset mathbb Z N i A gt d N displaystyle A gt delta N to A displaystyle A mistit trijku a a d a 2 d d 0 displaystyle a a d a 2d d not 0 de pid dodavannyam rozumiyut same dodavannya za modulem Obicyani cim formulyuvannyam progresiyi mozhut buti progresiyami v Z N displaystyle mathbb Z N ale ne buti takimi v N displaystyle mathbb N napriklad N 2 N 1 0 displaystyle N 2 N 1 0 Odnak teorema Rota ochevidno viplivaye z nogo yaksho rozglyanuti mnozhinu N a a A displaystyle left lbrace N a a in A right rbrace yak mnozhinu lishkiv u Z 3 N displaystyle mathbb Z 3N Ce lishe na stalu zminyuye shilnist ale robit usi progresiyi pridatnimi dlya N displaystyle mathbb N Otzhe cya teorema ekvivalentna osnovnij teoremi Rota Dlya grup z malim fiksovanim skrutom Nastupna teorema podibna do teoremi Rota ne viplivaye z neyi i ne tyagne yiyi ale cikava dlya okremogo vivchennya Nehaj zafiksovano deyake q 3 displaystyle q geq 3 Todi dlya bud yakogo d 0 1 displaystyle delta in 0 1 isnuye take n 0 n 0 d q displaystyle n 0 n 0 delta q sho yaksho n gt n 0 A F q n A gt d q n displaystyle n gt n 0 A subset mathbb F q n A gt delta q n to a d d 0 0 a a d a 2 d A displaystyle exists a d d not 0 dots 0 a a d a 2d in A Verhni ocinki Vpershe teoremu dlya grup F p n displaystyle mathbb F p n doveli 1982 roku Braun i Bahler prote voni tilki doveli sho dlya mnozhin bez arifmetichnih progresij vikonuyetsya A o q n displaystyle A o q n ale tochnishi obmezhennya na A displaystyle A zalishalisya vidkritim pitannyam 1993 roku opublikovano 1995 roku Roj Meshulam Roy Meshulam doviv sho A 2 q n n displaystyle A leq 2 frac q n n U jogo dovedenni rozglyanuto dovilni grupi ta yihni harakteri Isnuyut takozh sprosheni varianti cogo dovedennya viklyuchno dlya F p n displaystyle mathbb F p n yaki vikoristovuyuchi koeficiyenti Fur ye v F p n displaystyle mathbb F p n pryamo uzagalnyuyut ideyi z analitichnogo dovedennya teoremi Rota Dovedennya vihodit tehnichno navit prostishim nizh dovedennya samoyi teoremi Rota tak sho chasto navoditsya yak pershij priklad zastosuvannya metodu 2012 roku Bejtman i Kac rozglyadayuchi vipadok q 3 displaystyle q 3 doveli isnuvannya ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 ta absolyutnoyi staloyi C displaystyle C takij sho dlya A F 3 n displaystyle A subset mathbb F 3 n bez arifmetichnih progresij vikonuyetsya A 3 n n 1 ϵ displaystyle A leq frac 3 n n 1 epsilon 2016 roku Krut Lev ta Pah doveli dlya vipadku q 4 displaystyle q 4 sho A 3 62 n displaystyle A leq 3 62 n dlya mnozhin A F 4 n displaystyle A subset mathbb F 4 n bez progresiyi Ellenberg Ellenberg i Gejsvejt Gijswijt uzagalnyuyuchi metod Kruta Lova i Paha vikoristovuyuchi algebru mnogochleniv doveli isnuvannya dlya kozhnogo prostogo q 3 displaystyle q geq 3 staloyi c c q lt q displaystyle c c q lt q takoyi sho A O c n displaystyle A O c n yaksho A F q n displaystyle A subset mathbb F q n ne mistit progresiyi dovzhini 3 U yihnij roboti c q q e x p sup 8 q 1 3 8 ln e q 8 1 q e 8 1 displaystyle c q frac q exp sup limits theta left lbrace frac q 1 3 theta ln frac e q theta 1 q e theta 1 right rbrace Zokrema dlya vipadku q 3 displaystyle q 3 vikonuyetsya A o 2 756 n displaystyle A o 2 756 n Za pripushennya 8 c 0 q displaystyle theta frac c 0 q z optimizaciyi funkciyi c 3 ln e c 1 c displaystyle frac c 3 ln frac e c 1 c viplivaye sho c q e c 0 1 c 0 e c 0 3 q displaystyle c q sim frac e c 0 1 c 0 e c 0 3 q de c 0 displaystyle c 0 absolyutna stala sho ye rozv yazkom rivnyannya 2 c e c 3 e c c 3 0 displaystyle 2ce c 3e c c 3 0 tobto c q c 1 q displaystyle c q sim c 1 q de c 1 0 841434 displaystyle c 1 approx 0 841434 Nizhni ocinki Najkrasha stanom na 2016 pobudova kontrpriklad dozvolyaye buduvati dlya grup vidu F 3 n displaystyle mathbb F 3 n mnozhini rozmiru W 2 2 n displaystyle Omega 2 2 n yaki ne mistyat arifmetichnih progresij dovzhini 3 Dlya dovilnih grup U roboti Meshulama rozglyanuto teoremu Rota dlya dovilnoyi grupi G Z k 1 Z k n displaystyle G mathbb Z k 1 oplus dots oplus mathbb Z k n ta vivedeno ocinku A lt 2 G n displaystyle A lt 2 frac G n dlya mnozhini bez arifmetichnih progresij dovzhini 3 Z cogo viplivaye isnuvannya absolyutnoyi staloyi b gt 0 displaystyle beta gt 0 takoyi sho dlya mnozhini A G displaystyle A subset G bez progresij vikonuyetsya A lt G log G b displaystyle A lt frac G log G beta Dvovimirne uzagalnennya Klasichnim uzagalnennyam teoremi Rota dlya dvovimirnih mnozhin A 1 N 1 N displaystyle A subset left lbrace 1 dots N right rbrace times left lbrace 1 dots N right rbrace vvazhayut teoremu pro kutiki Hocha tam i ne zgadano pro arifmetichni progresiyi u dvovimirnomu sensi ale teorema Rota z neyi viplivaye Div takozhTeorema van der VardenaPrimitkiI D Shkredov Teorema Semeredi i zadachi ob arifmeticheskih progressiyah UMN 61 6 372 2006 111 178 Russian Math Surveys 61 6 2006 1101 1166 originalu za 24 grudnya 2017 Procitovano 23 grudnya 2017 Roth 1953 Heath Brown 1987 Szemeredi 1990 Bourgain 1999 Bourgain 2008 Sanders 2012 Sanders 2011 Bloom 2014 Schoen 2020 Bloom Sisask 2020 PDF Arhiv originalu PDF za 24 grudnya 2017 Procitovano 23 grudnya 2017 Postnauka Ilya Shkredov Teorema Semeredi Laboratoriya Chebyshyova kurs lekcij Additivnaya kombinatorika lekciya 3 P Erdos P Turan On some sequences of integers Journal of the London Mathematical Society June 1936 originalu za 23 grudnya 2019 Procitovano 23 grudnya 2019 R Salem D C Spencer Proc Natl Acad Sci USA 28 1942 561 563 originalu za 3 chervnya 2018 Procitovano 23 grudnya 2017 F A Behrend On sets of integers which contain no three terms in arithmetic progression Proc Natl Acad Sci USA 32 1946 331 332 originalu za 4 chervnya 2018 Procitovano 23 grudnya 2017 Michael Elkin An improved construction of progression free sets Israel Journal of Mathematics 184 93 August 2011 originalu za 27 listopada 2018 Procitovano 23 grudnya 2019 T Schoen I D Shkredov Roth s theorem in many variables Israel Journal of Mathematics volume 199 pages 287 308 2014 2023 08 30 u Wayback Machine arXiv 1106 1601 Arhivna kopiya na sajti Wayback Machine T Schoen O Sisask Roth s theorem for four variables and additive structures in sums of sparse sets Forum of Mathematics Forum of Mathematics Sigma 4 E5 doi 10 1017 fms 2016 2 2023 08 29 u Wayback Machine arXiv 1408 2568 Arhivna kopiya na sajti Wayback Machine T C Brown and J P Buhler A density version of a geometric Ramsey theorem Journal of Combinatorial Theory Series A 32 1982 no 1 20 34 PDF PDF originalu za 9 serpnya 2017 Procitovano 23 grudnya 2017 R Meshulam On subsets of finite abelian groups with no 3 term arithmetic progressions Journal of Combinatorial Theory Series A 71 1995 no 1 168 172 nedostupne posilannya z Fevral 2020 A mini course on additive combinatorics 2017 08 29 u Wayback Machine p 39 42 Laboratoriya Chebyshyova Ilya Shkredov Analiticheskie metody v additivnoj kombinatorike obzornaya lekciya M Bateman and N Katz New bounds on cap sets Journal of the American Mathematical Society 25 2012 no 2 585 613 PDF PDF originalu za 9 sichnya 2018 Procitovano 23 grudnya 2017 E Croot V Lev and P P Pach Progression free sets in Z n 4 are exponentially small 2016 arXiv preprint 1605 01506 originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 23 grudnya 2017 Dokazatelstvo teoremy Rota dlya grupp s malym krucheniem na arxiv org originalu za 12 chervnya 2018 Procitovano 23 grudnya 2017 Izlozhenie dokazatelstva Ellenberg i Gijswijt na russkom yazyke Y Edel Extensions of generalized product caps Designs Codes and Cryptography 31 2004 no 1 5 14 originalu za 10 sichnya 2018 Procitovano 23 grudnya 2017 LiteraturaK F Roth On Certain Sets of Integers Journal of the London Mathematical Society 1953 P 104 109 DOI 10 1112 jlms s1 28 1 104 D R Heath Brown Integer Sets Containing No Arithmetic Progressions Journal of the London Mathematical Society 1987 Vol s2 35 iss 3 P 385 394 DOI 10 1112 jlms s2 35 3 385 E Szemeredi Integer sets containing no arithmetic progressions Acta Mathematica Hungarica 1990 Vol 56 P 155 159 DOI 10 1007 BF01903717 J Bourgain On Triples in Arithmetic Progression Geometric amp Functional Analysis GAFA 1999 Vol 9 P 968 984 DOI 10 1007 s000390050105 J Bourgain Roth s theorem on progressions revisited Journal d Analyse Mathematique 2008 Vol 104 P 155 192 DOI 10 1007 s11854 008 0020 x T Sanders On certain other sets of integers Journal d Analyse Mathematique 2012 Vol 116 P 53 82 arXiv 1007 5444 DOI 10 1007 s11854 012 0003 9 T Sanders On Roth s theorem on progressions Annals of Mathematics 2011 Vol 174 P 619 636 arXiv 1011 0104 DOI 10 4007 annals 2011 174 1 20 T F Bloom A quantitative improvement for Roth s theorem on arithmetic progressions Journal of the London Mathematical Society 2014 Vol 93 iss 3 P 643 663 arXiv 1405 5800 DOI 10 1112 jlms jdw010 T Schoen Improved bound in Roth s theorem on arithmetic progressions 2020 arXiv 2005 01145 T F Bloom O Sisask Breaking the logarithmic barrier in Roth s theorem on arithmetic progressions 2020 arXiv 2007 03528