Нормальний простір — топологічний простір, який задовольняє аксіомам віддільності T1, T4, тобто такий топологічний простір, в якому одноточкові множини замкнені і будь-які дві диз'юнктні (тобто,такі, що не перетинаються) замкнуті множини мають диз'юнктні околи.
Аксіоми відокремлюваності в топологічних просторах | |
---|---|
T0 | (Колмогорова) |
T1 | (Фреше) |
T2 | (Гаусдорфів) |
T2½ | (Урисонів) |
CT2 | (повністю Гаусдорфів) |
T3 | (регулярний Гаусдорфів) |
T3½ | (Тихонівський) |
T4 | (нормальний Гаусдорфів) |
T5 | (повністю нормальний Гаусдорфів) |
T6 | (досконало нормальний Гаусдорфів) |
|
Приклади нормальних просторів
Більшість просторів, що зустрічаються у математичному аналізі нормальні гаусдорфові простори, або принаймні нормальні регулярні простори:
- Усі метричні простори (а, отже, всі метризовні) є абсолютно нормальними гаусдорфовими просторами;
- Усі (псевдометричні простори) (а, отже, всі ) є абсолютно нормальними регулярними, хоча не обов'язково гаусдорфовими;
- Всі гаусдорфовs компактні простори є нормальними;
- Зокрема, (стоун-чехівська компактифікація) (тихоновського простору) є нормальним гаусдорфовим простором;
- Узагальнюючи наведені вище приклади, всі паракомпактні гаусдорфові простори є нормальними, і всі паракомпактні регулярні простори нормальні;
- Усі паракомпактні є абсолютно нормальними гаусдорфими просторами. Тим не менш, існують не паракомпактні многовиди, які не є навіть нормальними просторами.
- Усі на (повністю впорядкованій множині) є спадково нормальними і гаусдорфими.
- Кожний регулярний простір, який задовольняє другу аксіому зліченності є абсолютно нормальним, і кожний регулярний (ліндельофовий простір) є нормальним.
Крім того, всі нормальні (навіть якщо не регулярні). Простір Серпінського є прикладом нормального простору, який не є регулярним.
Властивості
- Нормальні простори є частковим випадком цілком регулярних (інакше, тихоновських) просторів.
- Будь-який замкнений підпростір нормального простору нормальний.
- Простір, усі підпростори якого нормальні, називається спадково нормальним'.
- Для спадкової нормальності достатньо, щоб усі відкриті підпростори були нормальні.
- Для спадкової нормальності необхідно і достатньо, щоб були відокремлені околами будь-які дві множини, з яких жодна не містить точок дотику іншого.
- Нормальний простір називається цілком нормальним, якщо у ньому кожна замкнена множина є перетином зліченної кількості відкритих множин.
- Будь-який цілком нормальний простір є спадково нормальним.
- Добуток двох нормальних просторів не обов'язково нормальний.
Див. також
- Лема Урисона
- (Теорема Тітце про продовження)
Література
- Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — .(рос.)
- Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет