Графіки функцій

Графік функції — діаграма в математиці, яка дає уявлення про геометричний образ функції.

Графік функції
Підтримується Вікіпроєктом
Графік функції у Вікісховищі

Графік кубічного полінома

Графіком функції ${\displaystyle \ f\colon X\to Y}$ називається підмножина декартового добутку ${\displaystyle \ X}$ на ${\displaystyle \ Y}$ (${\displaystyle G\subset X\times Y}$), що містить всі пари ${\displaystyle (x,y)}$, для яких ${\displaystyle f(x)=y}$.

Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y залежно від значення Х. Як правило, значення X позначають на горизонтальній прямій, яку називають віссю абсцис (x), а значення Y на перпендикулярній до неї прямій, яку називають віссю ординат (y). Ці осі разом утворюють систему координат. Кожна вісь має напрямок, у якому значення відповідної координати зростає. У точці найбільшого значення малюють стрілку, яка вказує цей напрям. На кожній осі роблять позначки окремих (ключових) значень і підписують їх цими значеннями. Це допомагає приблизно визначити інші проміжні значення. Точка з координатами ${\displaystyle (0,0)}$ називається початком координат.

Графіки елементарних функцій

1. Пряма пропорційність ${\displaystyle y=kx}$
2. Лінійна функція ${\displaystyle y=kx+b}$
3. Обернена пропорційність ${\displaystyle y={\frac {k}{x}}}$
4. Квадратична функція ${\displaystyle y=x^{2}}$, ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

Побудова графіка функції

Побудова графіка функції, що базується на аналітичному дослідженні функції.

Алгоритм дослідження функції:

1. з'ясування області визначення функції;
2. вирішується питання про парності або непарності функції;
3. досліджується періодичність функції;
4. знаходять точки перетину кривої з осями координат;
5. знаходять точки розриву функції і визначають їх характер (такими точками є краї інтервалів визначення функції);
6. проводять дослідження на екстремум, знаходять екстремальні значення функції;
7. шукаються точки перегину та інтервали опуклості та угнутості кривій;
8. відшукання асимптоти кривої;
9. отримані результати наносять на креслення і отримують графік досліджуваної функції.

Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.

Приклад побудови графіка функції

Провести дослідження функції  ${\displaystyle y={\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}}$ та побудувати її графік.

1) Функція визначена всюди, крім точок ${\displaystyle x={\sqrt {3}}}$ та ${\displaystyle x=-{\sqrt {3}}}$.

2) Функція непарна, тому що виконується умова ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$, а саме, ${\displaystyle y(-x)={\frac {(-x)^{3}}{3-(-x)^{2}}}=-{\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}}$ , і, отже, її графік симетричний відносно початку координат. Тому обмежимося дослідженням тільки для ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant +\infty }$.

3) Функція не періодична.

4) Так як y = 0 лише при x = 0, то перетин з осями координат відбувається тільки на початку координат.

5) Функція має розрив другого роду в точці ${\displaystyle x={\sqrt {3}}}$ , причому ${\displaystyle \lim _{x\to {\sqrt {3}}-0}={\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}=+\infty }$ , ${\displaystyle \lim _{x\to {\sqrt {3}}+0}={\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}=-\infty }$. Пряма ${\displaystyle x={\sqrt {3}}}$ — вертикальна асимптота.

6) Знаходимо ${\displaystyle y'={\frac {9x^{2}-x^{4}}{(3-x^{2})^{2}}}}$ і прирівнюємо її до нуля:${\displaystyle {\frac {3x^{2}(3-x)(3+x)}{(3-x^{2})^{2}}}}$ , звідки ${\displaystyle x_{1}=-3}$, ${\displaystyle x_{2}=0}$_,${\displaystyle x_{3}=3}$. На екстремум треба досліджувати тільки точку ${\displaystyle x_{3}=3}$ (точку ${\displaystyle x_{2}=0}$ не досліджуємо, тому що вона є граничною точкою проміжку ${\displaystyle [0;+\infty )}$.

В околі точки ${\displaystyle x_{3}=3}$ має: ${\displaystyle y'>0}$ при ${\displaystyle x<3}$ та ${\displaystyle y'<0}$ при ${\displaystyle x<3}$ , отже, в точці ${\displaystyle x_{3}}$ функція має максимум, ${\displaystyle y_{max}(3)=-{\frac {9}{2}}}$.

Для перевірки правильності знаходження мінімального та максимального значення.

7) Знаходимо ${\displaystyle y''={\frac {6x(9+x^{2})}{(3-x^{2})^{3}}}}$. Бачимо, що ${\displaystyle y''=0}$ лише при ${\displaystyle x=0}$, при цьому ${\displaystyle y''<0}$ при ${\displaystyle x<0}$ та ${\displaystyle y''>0}$ при ${\displaystyle x>0}$, отже, в точці (0,0) крива має перегин. Іноді напрямок угнутості може змінитися при переході через розрив кривої, тому слід з'ясувати знак ${\displaystyle y''}$ і близько точок розриву функції. У даному випадку ${\displaystyle y''>0}$ на проміжку ${\displaystyle (0;{\sqrt {3}})}$ i ${\displaystyle y''<0}$ на ${\displaystyle ({\sqrt {3}};+\infty )}$, отже, на ${\displaystyle (0;{\sqrt {3}})}$ крива ввігнута і опукла на ${\displaystyle ({\sqrt {3}};+\infty )}$.

8) Знаходимо асимптоти.

Наявність вертикальної асимптоти ${\displaystyle x={\sqrt {3}}}$ встановлено вище. Шукаємо горизонтальні: ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }={\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}=\infty }$, отже, горизонтальних асимптот немає.

Знайдемо похилі асимптоти:

${\displaystyle k=\lim _{x\to \infty }={\frac {x^{3}}{x(3-x^{2})}}=-1}$, ${\displaystyle b=\lim _{x\to \infty }({\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}+x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x}{3-x^{2}}}=0}$, виходячи з цього, ${\displaystyle y=-x}$ — нахилена двобічна асимптота.

9) Тепер, використовуючи отримані дані, будуємо креслення.

Див. також

• Наукова візуалізація
• Парна функція
• Непарна функція
• Перетворення графіків функцій

Посилання

• Побудова графіків функцій // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 190. — 594 с.
• Загальний план дослідження функції та побудова її графіків // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 324. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. «Function Graph [ 7 серпня 2020 у Wayback Machine.].» From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Динамічні математичні моделі^{[недоступне посилання з липня 2019]}