У математиці, квадратична функція — це поліноміальна функція з старшим членом другого порядку, тобто функція форми . Графіком квадратичної функції служить парабола з віссю, паралельною осі . При вершина параболи опиняється в точці .
Нулі функції
Нулі квадратичної функції
це значення x такі, що f(x) = 0.
Коли коефіцієнти a, b і c, — дійсні чи комплексні, тоді корені
де дискримінант визначений як
Властивості
Загальні властивості
- Область визначення квадратичної функції - вся числова пряма.
- При функція не є парною і не є непарною. При квадратична функція - парна.
- Квадратична функція неперервна і диференційована на всій області визначення.
- Функція має єдину критичну точку .
- Область зміни функції: при - безліч значень функції ; при - безліч значень функції .
Вершина
У загальному випадку вершина параболи лежить в точці . Якщо , То гілки параболи спрямовані вгору, якщо , То гілки параболи спрямовані вниз.
Екстремуми і перегини
Якщо , то в точці функція має мінімум. При функція монотонно спадає, при монотонно зростає.
- Якщо , то в точці функція має максимум. При функція монотонно зростає, при монотонно спадає.
- Точка графіка квадратичної функції з абсцисою і ординатою називається вершиною параболи.
Графік
- Графік квадратичної функції перетинається з віссю в точці . У випадку, якщо , графік квадратичної функції перетинає вісь в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо (квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції торкається осі 0x в точці ; якщо , перетину з віссю немає.
- З запису квадратичної функції також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої - образу осі ординат при паралельному перенесенні .
- Графік функції (або ) може бути отриманий з графіка функції наступними перетвореннями :
- паралельним перенесенням ;
- стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів;
- паралельним перенесенням .
Похідна
- .
Первісна
Див. також
Примітки
- Ярмонтовіч Д.А. (2006). . Архів оригіналу за 2 червня 2011. Процитовано 3 червня 2011.
Посилання
- Функція квадратна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Kvadrat znachennya U matematici kvadratichna funkciya ce polinomialna funkciya z starshim chlenom drugogo poryadku tobto funkciya formi f x a x 2 b x c a 0 displaystyle f x ax 2 bx c a neq 0 Grafikom G f displaystyle Gamma f kvadratichnoyi funkciyi sluzhit parabola z vissyu paralelnoyu osi O y displaystyle Oy Pri b c 0 displaystyle b c 0 vershina paraboli opinyayetsya v tochci 0 0 displaystyle 0 0 f x x 2 x 2 displaystyle f x x 2 x 2 Nuli funkciyiDokladnishe Kvadratne rivnyannya Nuli kvadratichnoyi funkciyi f x a x 2 b x c displaystyle f x ax 2 bx c ce znachennya x taki sho f x 0 Koli koeficiyenti a b i c dijsni chi kompleksni todi koreni x b D 2 a displaystyle x frac b pm sqrt Delta 2a de diskriminant viznachenij yak D b 2 4 a c displaystyle Delta b 2 4ac Vlastivostif x a x 2 displaystyle f x ax 2 a 0 1 0 3 1 3 displaystyle a 0 1 0 3 1 3 Zagalni vlastivosti Oblast viznachennya kvadratichnoyi funkciyi vsya chislova pryama Pri b 0 displaystyle b neq 0 funkciya ne ye parnoyu i ne ye neparnoyu Pri b 0 displaystyle b 0 kvadratichna funkciya parna Kvadratichna funkciya neperervna i diferencijovana na vsij oblasti viznachennya Funkciya maye yedinu kritichnu tochku x b 2 a displaystyle x frac b 2a Oblast zmini funkciyi pri a gt 0 displaystyle a gt 0 bezlich znachen funkciyi b 2 4 a c 4 a displaystyle frac b 2 4ac 4a infty pri a lt 0 displaystyle a lt 0 bezlich znachen funkciyi b 2 4 a c 4 a displaystyle infty frac b 2 4ac 4a f x x 2 b x displaystyle f x x 2 bx b 1 2 3 4 displaystyle b 1 2 3 4 f x x 2 b x displaystyle f x x 2 bx b 1 2 3 4 displaystyle b 1 2 3 4 Vershina U zagalnomu vipadku vershina paraboli lezhit v tochci M 0 x 0 y 0 x 0 b 2 a y 0 f x 0 c b 2 4 a displaystyle M 0 x 0 y 0 x 0 frac b 2a y 0 f x 0 c frac b 2 4a Yaksho a gt 0 displaystyle a gt 0 To gilki paraboli spryamovani vgoru yaksho a lt 0 displaystyle a lt 0 To gilki paraboli spryamovani vniz Ekstremumi i peregini Yaksho a gt 0 displaystyle a gt 0 to v tochci x b 2 a displaystyle x frac b 2a funkciya maye minimum Pri x lt b 2 a displaystyle x lt frac b 2a funkciya monotonno spadaye pri x gt b 2 a displaystyle x gt frac b 2a monotonno zrostaye Yaksho a lt 0 displaystyle a lt 0 to v tochci x b 2 a displaystyle x frac b 2a funkciya maye maksimum Pri x lt b 2 a displaystyle displaystyle x lt frac b 2a funkciya monotonno zrostaye pri x gt b 2 a displaystyle x gt frac b 2a monotonno spadaye Tochka grafika kvadratichnoyi funkciyi z abscisoyu x b 2 a displaystyle x frac b 2a i ordinatoyu y b 2 4 a c 4 a displaystyle y frac b 2 4ac 4a nazivayetsya vershinoyu paraboli Grafik Grafik kvadratichnoyi funkciyi peretinayetsya z vissyu O y displaystyle displaystyle Oy v tochci y c displaystyle displaystyle y c U vipadku yaksho b 2 4 a c gt 0 displaystyle displaystyle b 2 4ac gt 0 grafik kvadratichnoyi funkciyi peretinaye vis O x displaystyle Ox v dvoh tochkah rizni dijsni koreni kvadratnogo rivnyannya yaksho b 2 4 a c 0 displaystyle displaystyle b 2 4ac 0 kvadratne rivnyannya maye odin korin kratnosti 2 grafik kvadratichnoyi funkciyi torkayetsya osi 0x v tochci x b 2 a displaystyle displaystyle x frac b 2a yaksho b 2 4 a c lt 0 displaystyle displaystyle b 2 4ac lt 0 peretinu z vissyu O x displaystyle Ox nemaye Z zapisu kvadratichnoyi funkciyi takozh viplivaye sho grafik funkciyi simetrichnij vidnosno pryamoyi x b 2 a displaystyle x frac b 2a obrazu osi ordinat pri paralelnomu perenesenni r b 2 a 0 displaystyle r frac b 2a 0 Grafik funkciyi F x a x 2 b x c displaystyle displaystyle F x ax 2 bx c abo f x a x b 2 a 2 b 2 4 a c 4 a displaystyle f x a left x frac b 2a right 2 frac b 2 4ac 4a mozhe buti otrimanij z grafika funkciyi f x x 2 displaystyle displaystyle f x x 2 nastupnimi peretvorennyami paralelnim perenesennyam r b 2 a 0 displaystyle r frac b 2a 0 stisnennyam abo roztyaguvannyam do osi abscis v a raziv paralelnim perenesennyam r 0 b 2 4 a c 4 a displaystyle r 0 frac b 2 4ac 4a Pohidnay x 2 2 x displaystyle y prime left x 2 right prime 2x Pervisna x 2 d x 1 3 x 3 C displaystyle int x 2 dx frac 1 3 x 3 C Div takozhKvadratichne programuvannyaPrimitkiYarmontovich D A 2006 Arhiv originalu za 2 chervnya 2011 Procitovano 3 chervnya 2011 PosilannyaFunkciya kvadratna Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi