Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.
Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.
Властивості
- Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
- Для довільного кардинального числа
існує вільна абелева група рангу
.
- Нехай
— вільна абелева група і
— абелева група. Якщо існує епіморфізм
, то існує підгрупа
групи
ізоморфна групі
така, що
.
- Будь-яка абелева група
гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група
має множину генераторів потужності
то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу
. Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи.
- Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою.
Скінченнопороджені вільні абелеві групи
У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай — вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа
цієї групи є вільною абелевою групою рангу
і можна вибрати такий базис
групи
і натуральні числа
що
- Множина
є базисом підгрупи
ділиться на
для всіх
Доведення
Якщо є групою рангу 1, тобто нескінченною циклічною групою, то твердження одержується із характеристики підгруп циклічних груп. За індукцією припустимо, що твердження доведено для всіх вільних абелевих груп рангу менше n і
є вільною абелевою групою рангу n. Для кожного базису
і елемента
у єдиний спосіб можна записати
де всі
є цілими числами.
Нехай тепер є підгрупою групи
і
є мінімальним додатним цілим числом серед тих, що є коефіцієнтами у записі будь-якого елемента
через будь-який базис
групи
. Якщо перепозначити елементи і індекси базису можна записати:
Також
для
Якщо позначити то
є базисом групи
і
Згідно вибору числа тоді всі
і
Нехай тепер позначає циклічну групу породжену елементом
і
є підгрупою
елементи якої записуються як комбінації елементів
базису. Тоді
Оскільки є базисом групи
, то довільний елемент
є рівним
Елемент
Якщо для
то елемент
записується через базис
як
і тому і відповідно
а тому
Відповідно кожен елемент
є рівним сумі
, де
і
Група — підгрупа
породжена елементами
базису є вільною групою рангу n - 1 і
є підгрупою у
. Згідно припущення індукції
є вільною групою деякого рангу s - 1 і існує базис
групи
і числа
що
є базисом групи
і
ділиться на
для всіх
Тоді
є базисом групи
, а
є базисом групи
Також
ділить
. Справді, якщо
, для
то у базисі
елемент
записується як
Із мінімальності
випливає, що
і
Відповідно базис групи
і числа
(для яких
є базисом) задовільняють умови твердження.
Приклади
- Група
цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин
.
- Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина
.
Джерела
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
- Phillip A. Griffith (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет