В [en] узага́льнений структу́рний те́нзор (УСТ, англ. generalized structure tensor, GST) — розширення декартового структурного тензора до криволінійних координат. Його переважно використовують для виявляння та подання параметрів «напрямку» кривих, так само як декартів структурний тензор виявляє та подає напрямок у декартових координатах. Найкраще досліджено сімейства кривих, породжених парами локально ортогональних функцій.
Це широко відомий метод у застосуваннях обробки зображень і відео, включно з комп'ютерним баченням, наприклад, у біометричній ідентифікація за відбитками пальців та дослідженнях зрізів тканин людини.
УСТ у двовимірних локально ортогональних базисах
Нехай термін «зображення» (англ. "image") подає функцію , де — дійсні змінні, а та — дійснозначні функції. УСТ подає напрямок, уздовж якого зображення може зазнавати нескінченно малого перенесення з мінімальною похибкою ([en]), уздовж «ліній», що відповідають таким умовам:
1. «Лінії» — це звичайні прямі в криволінійному координатному базисі
що є кривими в декартових координатах, як показано у рівнянні вище. Похибка вимірюється в сенсі , і її мінімальність відтак рахують відносно норми L2.
2. Функції становлять гармонічну пару, тобто задовольняють рівняння Коші — Рімана,
Відповідно, такі криволінійні координати локально ортогональні.
Тоді УСТ полягає в
де — похибки (нескінченно малого) паралельного перенесення у найкращому (позначеному кутом ) і найгіршому (визначаному через ) напрямках. Функція — це віконна функція, що визначає «зовнішній масштаб» (англ. "outer scale"), у якому виконуватиметься виявляння , яку можливо пропустити, якщо її вже включено до або якщо — повне зображення (а не локальне). Матриця — одинична матриця. Використовуючи ланцюгове правило, можливо показати, що наведене вище інтегрування можливо втілити як згортки в декартових координатах, застосовані до звичайного структурного тензора, коли утворюють пару дійсної та уявної частин аналітичної функції ,
де . До прикладів аналітичних функцій належать , а також одночлени , , де — довільне додатне або від'ємне ціле число. Одночлени в комп'ютерному баченні та обробці зображень також називають гармонічними функціями.
Таким чином, декартів структурний тензор — це окремий випадок УСТ, в якому й , тобто, гармонічна функція — це просто . Таким чином, обравши гармонічну функцію , можливо виявляти всі криві, які є лінійними поєднаннями її дійсної та уявної частин, лише за допомогою згорток на (прямокутних) сітках зображень, навіть якщо недекартові. Крім того, обчислення згортки можливо виконувати за допомогою комплексних фільтрів, застосовуваних до комплексної версії структурного тензора. Таким чином, втілення УСТ часто виконують із використанням комплексної версії структурного тензора, а не тензора (1,1).
Комплексний варіант УСТ
Оскільки існує комплексна версія звичайного структурного тензора, існує також і комплексна версія УСТ
що ідентична своєму двоюрідному братові з тією різницею, що — комплексний фільтр. Слід нагадати, що звичайного структурного тензора — це дійсний фільтр, який зазвичай визначають дискретизованим та масштабованим гауссіаном для окреслення околу, відомого також як зовнішній масштаб. Ця простота є причиною того, чому втілення УСТ переважно використовували наведену вище комплексну версію. Для сімейств кривих , визначених аналітичними функціями , можливо показати, що функція визначення околу є комплекснозначною,
- ,
так званою похідною симетрії гауссіана. Таким чином, напрямкову мінливість візерунку, яку потрібно шукати, безпосередньо включено до функції визначення околу, й виявляння відбувається в просторі (звичайного) структурного тензора.
Основна концепція його використання в обробці зображень і комп'ютерному баченні
Ефективне виявляння в зображеннях можливе шляхом обробки зображень для пари , . Основними обчислювальними елементами втілень УСТ є комплексні згортки (або відповідні матричні операції) та поточкові нелінійні відображення. Оцінку [en] відтак отримують разом із двома похибками, та . За аналогією з декартовим структурним тензором, оцінюваний кут має подвійнокутове подання, тобто обчислення надають , і його можливо використовувати як ознаку форми, тоді як окремо або в поєднанні з можливо використовувати як міру якості (впевненості, певності) для цієї оцінки кута.
Логарифмічні спіралі, включно з колами, можливо, наприклад, виявляти (комплексними) згортками та нелінійними відображеннями. Спіралі можуть бути в зображеннях у відтінках сірого (багатозначних), або в бінарному зображенні, тобто розташування елементів контурів відповідних фігур, таких як контури кіл або спіралей, не повинно бути відомим чи якимось чином позначеним.
Узагальнений структурний тензор можливо використовувати як альтернативу перетворенню Гафа в обробці зображень і комп'ютерному баченні для виявляння образів, чиї локальні спрямування можливо моделювати, наприклад точок з'єднання. До основних відмінностей належать:
- Допускається від'ємне, а також комплексне голосування;
- За допомогою одного шаблону можливо виявляти декілька образів, які належать до одного сімейства;
- Бінаризація зображення не потрібна.
Фізична та математична інтерпретація
Криволінійні координати УСТ можуть інтерпретувати фізичні процеси, застосовувані до зображень. Добре відома пара процесів складається з обертання та масштабування. Вони пов'язані з перетворенням координат та .
Якщо зображення складається з ізокривих, які можливо інтерпретувати через лише , тобто його ізокриві складаються з кіл , де — будь-яка дійснозначна диференційовна функція, визначена на одному вимірі, то це зображення інваріантне до поворотів (навколо початку координат).
Операцію масштабування (включно зі зменшенням масштабу) моделюють подібно. Якщо зображення має ізокриві, схожі на «зірку» або велосипедні спиці, тобто, для деякої диференційовної одновимірної функції , то зображення інваріантне до масштабування (відносно початку координат).
У поєднанні,
інваріантна до певної величини обертання в поєднанні з масштабуванням, де цю величину уточнюють параметром .
Аналогічно, декартів структурний тензор — також подання паралельного перенесення. Тут фізичний процес полягає у звичайному паралельному перенесенні певної величини вздовж у поєднанні з паралельним перенесенням вздовж ,
де цю величину вказано параметром . Очевидно, тут позначує напрямок лінії.
Загалом, оцінений подає напрямок (в координатах ), уздовж якого нескінченно малі паралельні перенесення лишають зображення інваріантним, на практиці — найменшим варіантним. З кожною криволінійною координатною базисною парою існує пара нескінченно малих паралельних перенесень, лінійне поєднання яких є диференціальним оператором. Останні пов'язані з алгеброю Лі .
Різне
«Зображення» (англ. "image") у контексті УСТ може означати як звичайне зображення, так і якийсь його окіл (локальне зображення), залежно від контексту. Наприклад, фотографія — це зображення, як і будь-який окіл у ній.
Див. також
Примітки
- Bigun, J.; Bigun, T.; Nilsson, K. (December 2004). Recognition by symmetry derivatives and the generalized structure tensor. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 26 (12): 1590—1605. doi:10.1109/TPAMI.2004.126. PMID 15573820. (англ.)
- Fronthaler, H.; Kollreider, K.; Bigun, J. (2008). Local Features for Enhancement and Minutiae Extraction in Fingerprints. IEEE Transactions on Image Processing. 17 (3): 354—363. Bibcode:2008ITIP...17..354F. CiteSeerX 10.1.1.160.6312. doi:10.1109/TIP.2007.916155. PMID 18270124. (англ.)
- O. Schmitt; H. Birkholz (2010). Improvement in cytoarchitectonic mapping by combining electrodynamic modeling with local orientation in high-resolution images of the cerebral cortex. Microsc. Res. Tech. 74 (3): 225—243. doi:10.1109/TIP.2007.916155. PMID 18270124. (англ.)
- O. Schmitt; M. Pakura; T. Aach; L. Homke; M. Bohme; S. Bock; S. Preusse (2004). Analysis of nerve fibers and their distribution in histologic sections of the human brain. Microsc. Res. Tech. 63 (4): 220—243. doi:10.1002/jemt.20033. PMID 14988920.
{{}}
: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url () (англ.) - Bigun, Josef (December 1997). Pattern Recognition in Images by Symmetries and Coordinate Transformations. Computer Vision and Image Understanding. 68 (3): 290—307. doi:10.1006/cviu.1997.0556. (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V en uzaga lnenij struktu rnij te nzor UST angl generalized structure tensor GST rozshirennya dekartovogo strukturnogo tenzora do krivolinijnih koordinat Jogo perevazhno vikoristovuyut dlya viyavlyannya ta podannya parametriv napryamku krivih tak samo yak dekartiv strukturnij tenzor viyavlyaye ta podaye napryamok u dekartovih koordinatah Najkrashe doslidzheno simejstva krivih porodzhenih parami lokalno ortogonalnih funkcij Ce shiroko vidomij metod u zastosuvannyah obrobki zobrazhen i video vklyuchno z komp yuternim bachennyam napriklad u biometrichnij identifikaciya za vidbitkami palciv ta doslidzhennyah zriziv tkanin lyudini UST u dvovimirnih lokalno ortogonalnih bazisahNehaj termin zobrazhennya angl image podaye funkciyu f 3 x y h x y displaystyle f xi x y eta x y de x y displaystyle x y dijsni zminni a 3 h displaystyle xi eta ta f displaystyle f dijsnoznachni funkciyi UST podaye napryamok uzdovzh yakogo zobrazhennya f displaystyle f mozhe zaznavati neskinchenno malogo perenesennya z minimalnoyu pohibkoyu en uzdovzh linij sho vidpovidayut takim umovam 1 Liniyi ce zvichajni pryami v krivolinijnomu koordinatnomu bazisi 3 h displaystyle xi eta cos 8 3 x y sin 8 h x y constant displaystyle cos theta xi x y sin theta eta x y text constant sho ye krivimi v dekartovih koordinatah yak pokazano u rivnyanni vishe Pohibka vimiryuyetsya v sensi L 2 displaystyle L 2 i yiyi minimalnist vidtak rahuyut vidnosno normi L2 2 Funkciyi 3 x y h x y displaystyle xi x y eta x y stanovlyat garmonichnu paru tobto zadovolnyayut rivnyannya Koshi Rimana 3 x h y 3 y h x displaystyle begin aligned amp frac partial xi partial x frac partial eta partial y 4pt amp frac partial xi partial y frac partial eta partial x end aligned Vidpovidno taki krivolinijni koordinati 3 h displaystyle xi eta lokalno ortogonalni Todi UST polyagaye v G S T l m a x l m i n w 3 h f 3 f h f 3 f h d 3 d h l m i n I displaystyle GST lambda max lambda min int w xi eta left begin array c frac partial f partial xi frac partial f partial eta end array right frac partial f partial xi frac partial f partial eta d xi d eta lambda min I de 0 l m i n l m a x displaystyle 0 leq lambda min leq lambda max pohibki neskinchenno malogo paralelnogo perenesennya u najkrashomu poznachenomu kutom 8 displaystyle theta i najgirshomu viznachanomu cherez 8 p 2 displaystyle theta pi 2 napryamkah Funkciya w 3 h displaystyle w xi eta ce vikonna funkciya sho viznachaye zovnishnij masshtab angl outer scale u yakomu vikonuvatimetsya viyavlyannya 8 displaystyle theta yaku mozhlivo propustiti yaksho yiyi vzhe vklyucheno do f displaystyle f abo yaksho f displaystyle f povne zobrazhennya a ne lokalne Matricya I displaystyle I odinichna matricya Vikoristovuyuchi lancyugove pravilo mozhlivo pokazati sho navedene vishe integruvannya mozhlivo vtiliti yak zgortki v dekartovih koordinatah zastosovani do zvichajnogo strukturnogo tenzora koli 3 h displaystyle xi eta utvoryuyut paru dijsnoyi ta uyavnoyi chastin analitichnoyi funkciyi g z displaystyle g z 3 x y ℜ g z h x y ℑ g z displaystyle begin array c xi x y Re g z eta x y Im g z end array de z x i y displaystyle z x iy Do prikladiv analitichnih funkcij nalezhat g z log z log x i y displaystyle g z log z log x iy a takozh odnochleni g z z n x i y n displaystyle g z z n x iy n g z z n 2 x i y n 2 displaystyle g z z n 2 x iy n 2 de n displaystyle n dovilne dodatne abo vid yemne cile chislo Odnochleni g z z n displaystyle g z z n v komp yuternomu bachenni ta obrobci zobrazhen takozh nazivayut garmonichnimi funkciyami Takim chinom dekartiv strukturnij tenzor ce okremij vipadok UST v yakomu 3 x displaystyle xi x j h y displaystyle eta y tobto garmonichna funkciya ce prosto g z z x i y displaystyle g z z x iy Takim chinom obravshi garmonichnu funkciyu g displaystyle g mozhlivo viyavlyati vsi krivi yaki ye linijnimi poyednannyami yiyi dijsnoyi ta uyavnoyi chastin lishe za dopomogoyu zgortok na pryamokutnih sitkah zobrazhen navit yaksho 3 h displaystyle xi eta nedekartovi Krim togo obchislennya zgortki mozhlivo vikonuvati za dopomogoyu kompleksnih filtriv zastosovuvanih do kompleksnoyi versiyi strukturnogo tenzora Takim chinom vtilennya UST chasto vikonuyut iz vikoristannyam kompleksnoyi versiyi strukturnogo tenzora a ne tenzora 1 1 Kompleksnij variant USTOskilki isnuye kompleksna versiya zvichajnogo strukturnogo tenzora isnuye takozh i kompleksna versiya UST k 20 l 1 l 2 exp i 2 8 w h f 2 k 11 l 1 l 2 w h f 2 displaystyle begin array c kappa 20 lambda 1 lambda 2 exp i2 theta amp amp w h f 2 kappa 11 lambda 1 lambda 2 amp amp w h f 2 end array sho identichna svoyemu dvoyuridnomu bratovi z tiyeyu rizniceyu sho w displaystyle w kompleksnij filtr Slid nagadati sho w displaystyle w zvichajnogo strukturnogo tenzora ce dijsnij filtr yakij zazvichaj viznachayut diskretizovanim ta masshtabovanim gaussianom dlya okreslennya okolu vidomogo takozh yak zovnishnij masshtab Cya prostota ye prichinoyu togo chomu vtilennya UST perevazhno vikoristovuvali navedenu vishe kompleksnu versiyu Dlya simejstv krivih 3 h displaystyle xi eta viznachenih analitichnimi funkciyami g displaystyle g mozhlivo pokazati sho funkciya viznachennya okolu ye kompleksnoznachnoyu w x i y n exp x 2 y 2 2 s 2 D x i D y n exp x 2 y 2 2 s 2 displaystyle w x pm iy n exp x 2 y 2 2 sigma 2 propto D x pm iD y n exp x 2 y 2 2 sigma 2 tak zvanoyu pohidnoyu simetriyi gaussiana Takim chinom napryamkovu minlivist vizerunku yaku potribno shukati bezposeredno vklyucheno do funkciyi viznachennya okolu j viyavlyannya vidbuvayetsya v prostori zvichajnogo strukturnogo tenzora Osnovna koncepciya jogo vikoristannya v obrobci zobrazhen i komp yuternomu bachenniEfektivne viyavlyannya 8 displaystyle theta v zobrazhennyah mozhlive shlyahom obrobki zobrazhen dlya pari 3 displaystyle xi h displaystyle eta Osnovnimi obchislyuvalnimi elementami vtilen UST ye kompleksni zgortki abo vidpovidni matrichni operaciyi ta potochkovi nelinijni vidobrazhennya Ocinku 2 8 displaystyle 2 theta en vidtak otrimuyut razom iz dvoma pohibkami l m a x displaystyle lambda max ta l m i n displaystyle lambda min Za analogiyeyu z dekartovim strukturnim tenzorom ocinyuvanij kut maye podvijnokutove podannya tobto obchislennya nadayut 2 8 displaystyle 2 theta i jogo mozhlivo vikoristovuvati yak oznaku formi todi yak l m a x l m i n displaystyle lambda max lambda min okremo abo v poyednanni z l m a x l m i n displaystyle lambda max lambda min mozhlivo vikoristovuvati yak miru yakosti vpevnenosti pevnosti dlya ciyeyi ocinki kuta Logarifmichni spirali vklyuchno z kolami mozhlivo napriklad viyavlyati kompleksnimi zgortkami ta nelinijnimi vidobrazhennyami Spirali mozhut buti v zobrazhennyah u vidtinkah sirogo bagatoznachnih abo v binarnomu zobrazhenni tobto roztashuvannya elementiv konturiv vidpovidnih figur takih yak konturi kil abo spiralej ne povinno buti vidomim chi yakimos chinom poznachenim Uzagalnenij strukturnij tenzor mozhlivo vikoristovuvati yak alternativu peretvorennyu Gafa v obrobci zobrazhen i komp yuternomu bachenni dlya viyavlyannya obraziv chiyi lokalni spryamuvannya mozhlivo modelyuvati napriklad tochok z yednannya Do osnovnih vidminnostej nalezhat Dopuskayetsya vid yemne a takozh kompleksne golosuvannya Za dopomogoyu odnogo shablonu mozhlivo viyavlyati dekilka obraziv yaki nalezhat do odnogo simejstva Binarizaciya zobrazhennya ne potribna Fizichna ta matematichna interpretaciyaKrivolinijni koordinati UST mozhut interpretuvati fizichni procesi zastosovuvani do zobrazhen Dobre vidoma para procesiv skladayetsya z obertannya ta masshtabuvannya Voni pov yazani z peretvorennyam koordinat 3 log x 2 y 2 displaystyle xi log sqrt x 2 y 2 ta h tan 1 x y displaystyle eta tan 1 x y Yaksho zobrazhennya f displaystyle f skladayetsya z izokrivih yaki mozhlivo interpretuvati cherez lishe 3 displaystyle xi tobto jogo izokrivi skladayutsya z kil f 3 h g 3 displaystyle f xi eta g xi de g displaystyle g bud yaka dijsnoznachna diferencijovna funkciya viznachena na odnomu vimiri to ce zobrazhennya invariantne do povorotiv navkolo pochatku koordinat Operaciyu masshtabuvannya vklyuchno zi zmenshennyam masshtabu modelyuyut podibno Yaksho zobrazhennya maye izokrivi shozhi na zirku abo velosipedni spici tobto f 3 h g h displaystyle f xi eta g eta dlya deyakoyi diferencijovnoyi odnovimirnoyi funkciyi g displaystyle g to zobrazhennya f displaystyle f invariantne do masshtabuvannya vidnosno pochatku koordinat U poyednanni f 3 h g cos 8 log x 2 y 2 sin 8 tan 1 x y displaystyle f xi eta g cos theta log sqrt x 2 y 2 sin theta tan 1 x y invariantna do pevnoyi velichini obertannya v poyednanni z masshtabuvannyam de cyu velichinu utochnyuyut parametrom 8 displaystyle theta Analogichno dekartiv strukturnij tenzor takozh podannya paralelnogo perenesennya Tut fizichnij proces polyagaye u zvichajnomu paralelnomu perenesenni pevnoyi velichini vzdovzh x displaystyle x u poyednanni z paralelnim perenesennyam vzdovzh y displaystyle y cos 8 x sin 8 y constant displaystyle cos theta x sin theta y text constant de cyu velichinu vkazano parametrom 8 displaystyle theta Ochevidno tut 8 displaystyle theta poznachuye napryamok liniyi Zagalom ocinenij 8 displaystyle theta podaye napryamok v koordinatah 3 h displaystyle xi eta uzdovzh yakogo neskinchenno mali paralelni perenesennya lishayut zobrazhennya invariantnim na praktici najmenshim variantnim Z kozhnoyu krivolinijnoyu koordinatnoyu bazisnoyu paroyu isnuye para neskinchenno malih paralelnih perenesen linijne poyednannya yakih ye diferencialnim operatorom Ostanni pov yazani z algebroyu Li Rizne Zobrazhennya angl image u konteksti UST mozhe oznachati yak zvichajne zobrazhennya tak i yakijs jogo okil lokalne zobrazhennya zalezhno vid kontekstu Napriklad fotografiya ce zobrazhennya yak i bud yakij okil u nij Div takozhStrukturnij tenzor Peretvorennya Gafa Tenzor Gaussove Viyavlyannya kutiv Viyavlyannya konturiv Afinne pristosovuvannya formi Pohidna za napryamkom Diferencialnij operator Algebra LiPrimitkiBigun J Bigun T Nilsson K December 2004 Recognition by symmetry derivatives and the generalized structure tensor IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 26 12 1590 1605 doi 10 1109 TPAMI 2004 126 PMID 15573820 angl Fronthaler H Kollreider K Bigun J 2008 Local Features for Enhancement and Minutiae Extraction in Fingerprints IEEE Transactions on Image Processing 17 3 354 363 Bibcode 2008ITIP 17 354F CiteSeerX 10 1 1 160 6312 doi 10 1109 TIP 2007 916155 PMID 18270124 angl O Schmitt H Birkholz 2010 Improvement in cytoarchitectonic mapping by combining electrodynamic modeling with local orientation in high resolution images of the cerebral cortex Microsc Res Tech 74 3 225 243 doi 10 1109 TIP 2007 916155 PMID 18270124 angl O Schmitt M Pakura T Aach L Homke M Bohme S Bock S Preusse 2004 Analysis of nerve fibers and their distribution in histologic sections of the human brain Microsc Res Tech 63 4 220 243 doi 10 1002 jemt 20033 PMID 14988920 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite journal title Shablon Cite journal cite journal a Obslugovuvannya CS1 Storinki z parametrom url status ale bez parametra archive url posilannya angl Bigun Josef December 1997 Pattern Recognition in Images by Symmetries and Coordinate Transformations Computer Vision and Image Understanding 68 3 290 307 doi 10 1006 cviu 1997 0556 angl