Теорема Ласкера — Нетер

В абстрактній алгебрі примарним розкладом ідеала ${\displaystyle I}$ кільця ${\displaystyle R}$ (або, більш загально підмодуля ${\displaystyle N}$ модуля ${\displaystyle M}$) називається подання цього ідеала (чи модуля) у вигляді перетину примарних ідеалів (примарних підмодулів).

Примарний розклад узагальнює розклад цілого числа в добуток степенів різних простих чисел. Особливо важливим є випадок комутативних нетерових кілець. Для них існування примарного розкладу було доведено Еммі Нетер, яка узагальнила отриманий у 1905 році Ласкером результат про існування такого розкладу для кілець многочленів і збіжних степеневих рядів. Тому цей результат традиційно називається теоремою Ласкера — Нетер.

Означення

Нехай ${\displaystyle R}$ — комутативне кільце, ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle N}$ — модулі над ним.

• Дільник нуля модуля ${\displaystyle M}$ — елемент ${\displaystyle r}$ кільця ${\displaystyle R}$, такий що ${\displaystyle rm=0}$ для деякого ненульового ${\displaystyle m}$ з ${\displaystyle M}$.
• Елемент кільця називається нільпотентним в ${\displaystyle M}$, якщо ${\displaystyle r^{n}M}$ = 0 для деякого натурального числа ${\displaystyle n}$.
• Модуль називається копримарним, якщо кожен його дільник нуля є нільпотентним. Іншими словами, якщо відображення ${\displaystyle \lambda _{r}:M\to M\;\;x\to rx}$для кожного ${\displaystyle r\in R}$є або ін'єктивним або нільпотентним. У випадку скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцем еквівалентною є умова, що для модуля існує єдиний асоційований простий ідеал.
• Підмодуль ${\displaystyle M}$ модуля ${\displaystyle N}$ називається примарним, якщо ${\displaystyle N/M}$ є копримарним. Множина дільників нуля у цьому випадку є рівною радикалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\sqrt {\operatorname {Ann} (N/M)}}}$. Цей ідеал є простим оскільки, очевидно добуток двох елементів, що не є дільниками нуля теж не є дільником нуля. Підмодуль тоді називається ${\displaystyle {\mathfrak {p}}-}$примарним. З означень очевидно, що ${\displaystyle rx\in M,\quad r\in R,x\in N,}$ якщо і тільки якщо або ${\displaystyle x\in M}$ або ${\displaystyle r\in {\mathfrak {p}}.}$
• Ідеал ${\displaystyle I}$ є примарним, якщо він є примарним підмодулем ${\displaystyle R}$ як ${\displaystyle R}$-модуля, тобто коли в фактор-кільці ${\displaystyle R/I}$ кожен дільник нуля є нільпотентним. Це означення є еквівалентним стандартному означенню: якщо ab належить I то або a належить I або bⁿ належить I для деякого натурального числа n. Іншою еквівалентною умовою є те, що кожен дільник нуля у кільці R/I є нільпотентним.
• Підмодуль ${\displaystyle M}$ модуля ${\displaystyle N}$ називається незвідним, якщо він не є перетином двох підмодулів строго більших за нього.
• Простий ідеал, асоційований з модулем ${\displaystyle M}$ — простий ідеал, який є анулятором деякого елемента модуля.

Теорема Ласкера — Нетер

Теорема Ласкера — Нетер для модулів стверджує, що кожен підмодуль скінченнопородженого модуля над нетеровим кільцем є скінченним перетином примарних підмодулів. У випадку кілець ця теорема стверджує, що кожен ідеал нетерового кільця є скінченним перетином примарних ідеалів.

Еквівалентне формулювання: кожен скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем є підмодулем скінченного добутку копримарних модулів.

Доведення

Нехай ${\displaystyle M}$ скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle N}$ — підмодуль в ${\displaystyle M}$. Для доведення існування розкладу для ${\displaystyle N}$ замінивши ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle M/N}$ достатньо розглянути випадок ${\displaystyle N=0}$. Для довільних підмодулів ${\displaystyle Q_{i}}$ модуля ${\displaystyle M}$ маємо еквівалентність:

${\displaystyle 0=\cap Q_{i}\Leftrightarrow \emptyset =\operatorname {Ass} (\cap Q_{i})=\cap \operatorname {Ass} (Q_{i})}$

Звідси, для підмодуля 0 існує примарний розклад якщо для кожного простого ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ асоційованого з модулем ${\displaystyle M}$ (цих ідеалів є скінченна кількість, деталі у статті Асоційований простий ідеал), існує примарний підмодуль ${\displaystyle Q}$ такий що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\not \in \operatorname {Ass} (Q)}$.

Розглянемо множину ${\displaystyle \{N\subseteq M|{\mathfrak {p}}\not \in \operatorname {Ass} (N)\}}$ (вона є непустою оскільки нульовий модуль є її елементом). Оскільки ${\displaystyle M}$ є нетеровим модулем то множина має максимальний елемент ${\displaystyle Q}$ . Якщо ${\displaystyle Q}$ не є ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-примарним, наприклад, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'\neq {\mathfrak {p}}}$ є асоційованим простим ідеалом фактор-модуля ${\displaystyle M/Q}$, тоді ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}'\simeq Q'/Q}$ для деякого підмодуля Q'. Але ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\not \in \operatorname {Ass} (Q)}$ і також ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\not \in \operatorname {Ass} (R/{\mathfrak {p}}')\simeq \operatorname {Ass} (Q'/Q)}$ і з властивостей асоційованих простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\not \in \operatorname {Ass} (Q')}$, що суперечить максимальності ${\displaystyle Q}$. Як наслідок ${\displaystyle Q}$ є примарним.

Теореми єдиності

Нехай R — комутативне кільце Нетер. Примарний розклад

${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\bigcap \limits _{1\leq i\leq k}{\mathfrak {q}}_{i}}$

називається незвідним, якщо для будь-якого ${\displaystyle \left(1\leq i\leq k\right)\;\;}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\nsupseteq \bigcap \nolimits _{j\neq i}{\mathfrak {q}}_{j}}$ і радикали ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}={\sqrt {{\mathfrak {q}}_{i}}}}$ компонент розкладу є попарно різними. Із довільного примарного розкладу можна отримати незвідний спершу вилучивши всі немінімальні компоненти, а потім замінивши компоненти з однаковим радикалом їх перетином (оскільки перетин примарних ідеалів з однаковим радикалом є примарним ідеалом з тим же радикалом).

Перша теорема єдиності примарного розкладу. Сукупність простих ідеалів ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{1},...,{\mathfrak {p}}_{n}\}}$ при незвідному розкладі визначена однозначно ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ і не залежить від примарного розкладу. Ця множина рівна множині ${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(R/{\mathfrak {a}})\,}$ асоційованих простих ідеалів фактор-кільця ${\displaystyle R/{\mathfrak {a}}}$.

Мінімальні за включенням елементи цієї сукупності називаються ізольованими простими ідеалами ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, інші — вкладеними простими ідеалами. Множина ізольованих простих ідеалів є рівною множині мінімальних простих ідеалів для ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.

Друга теорема єдиності примарного розкладу. Примарні ідеали, радикалами яких є ізольовані прості ідеали, однозначно визначаються ідеалом і не залежать від примарного розкладу.

Приклади

Для кожного додатного цілого числа n, для кільця ${\displaystyle k[x,y]}$ для ідеала ${\displaystyle I=\langle x^{2},xy\rangle }$ існує примарний розклад

${\displaystyle I=\langle x^{2},xy\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},xy,y^{n}\rangle .}$

Асоційованими простими ідеалами для цього ідеала є

${\displaystyle \langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle .}$

Тобто ${\displaystyle \langle x\rangle }$ є ізольованим ідеалом і ${\displaystyle \langle x\rangle }$ є відповідним компонентом, що зустрічається у кожному примарному розкладі.

Геометрична інтерпретація

В алгебричній геометрії, афінна алгебрична множина V(I) є за означенням рівною множині нулів ідеала I в кільці многочленів ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$

Незвідний примарний розклад

${\displaystyle I={\mathfrak {q}}_{1}\cap \cdots \cap {\mathfrak {q}}_{r}}$

ідеала I задає розклад множини V(I) в об'єднання алгебричних многовидів ${\displaystyle V({\mathfrak {q}}_{i})}$, які є незвідними, тобто не є об'єднаннями двох менших алгебричних множин.

Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ є радикалом ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$, то ${\displaystyle V({\mathfrak {p}}_{i})=V({\mathfrak {q}}_{i}),}$ і теорема Ласкера — Нетер демонструє, що V(I) має єдиний ненадлишковий розклад у об'єднання незвідних алгебричних многовидів:

${\displaystyle V(I)=\bigcup V({\mathfrak {p}}_{i}),}$

де об'єднання береться лише за мінімальними асоційованими простими ідеалами. Ці прості ідеали є елементами примарного розкладу ідеала I.

Для випадку розкладу алгебричних многовидів значення мають лише мінімальні прості ідеали але в теорії перетинів і теорії схем весь примарний розклад має геометричний зміст.

Див. також

• Асоційований простий ідеал
• Мінімальний простий ідеал
• Примарний ідеал

Література

• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, .
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1322960
• Lasker, E. (1905), Zur Theorie der Moduln und Ideale, Math. Ann., 60: 19—116, doi:10.1007/BF01447495
• Noether, Emmy (1921), Idealtheorie in Ringbereichen (PDF), Mathematische Annalen, 83 (1): 24, doi:10.1007/BF01464225^{[недоступне посилання]}
• Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, .