В комплексному аналізі теорема Блоха стверджує, що для кожної функції голоморфної в одиничному крузі, що задовольняє деякі додаткові вимоги в образі функції міститься круг деякого незалежного від функції радіуса, на якому існує обернена голоморфна функція.
Твердження
Нехай — голоморфна функція в деякій області, що містить одиничний круг . Припустимо що . Тоді існує круг , на якому дана функція є ін'єктивною і образ містить круг радіуса більшого, ніж . Зокрема обернена функція на цьому крузі буде біголоморфізмом.
З цього твердження легко одержується узагальнення: якщо — область у , — голоморфна функція і для деякої точки . Тоді містить відкрите кого радіуса , де , на якому існує обернена біголоморфна функція.
Теорема Ландау
Якщо є голоморфною функцією в одиничному крузі з властивістю , тоді образ містить круг радіуса , де є абсолютною константою, що не залежить від конкретної функції.
Ця теорема, яка іноді також називається теоремою Блоха — Ландау, названа на честь Едмунда Ландау.
Теорема Валірона
Історично значний вплив на формулювання теореми Блоха відіграла теорема Валірона:
Якщо є цілою функцією, тоді існують круги довільного радіуса і голоморфні в D функції , такі що для всіх .
Доведення
Лема 1
Розглянемо функцію , голоморфну у крузі , причому . Нехай і . Тоді і .
Доведення
Ввівши функцію , отримаємо, що є голоморфною в крузі , , і в твердженні теореми . Відповідно доведення можна здійснити у цьому випадку.
Для доведення теореми будемо виходити з розкладу в ряд Тейлора: .
Коефіцієнти розкладу задовольняють нерівності Коші для . Звідси, зокрема, .
На колі для модуля отримуємо оцінку
Припустимо . Тоді функція має нуль. Для маємо
Згідно теореми Руше має в крузі стільки ж коренів, скільки їх має в цьому крузі . Оскільки за припущенням то і для деякого . Тому .
Лема 2
Нехай є голоморфною функцією в крузі і також для всіх . Тоді є бієктивною функцією на .
Доведення
Якщо — дві точки у і — відрізок, що їх сполучає то згідно нерівності трикутника:
- .
Зважаючи на гіпотезу , тобто і функція є ін'єктивною.
Доведення теореми Блоха
Для позначимо і . Тоді є неперервною функцією і . Нехай . Тоді і для всіх виконується нерівність .
Нехай число таке, що і . Тоді .
Якщо то . Оскільки то з означення отримуємо:
для .
З попереднього .
Згідно леми Шварца звідси випливає, що для .
Тому якщо то . З леми 2 випливає що є ін'єктивним на .
Визначимо як . Тоді . Якщо тоді відрізок лежить у .
Тому з попереднього .
З леми 1 отримуємо, що де .
Якщо перевести це твердження для то , що завершує доведення.
Константи Блоха і Ландау
Константа 1/72 в теоремі Блоха не є оптимальною.
Число B, що рівне супремуму всіх b, для яких справджується теорема Блоха, називається константою Блоха . Згідно теореми Блоха але точне значення B залишається невідомим.
Подібним чином визначена константа L в теоремі Ландау називається константою Ландау. Її точне значення теж не є відомим.
Найточнішими відомими обмеженнями для B є
де позначає Гамма-функцію. Нижня межа була знайдена у статті Чена і Готьє, верхня межа — у статті Альфорса і Грунського.
Для константи Ландау відомі обмеження
В своїй статті Альфорс і Грунський сформулювали гіпотезу, що вказані верхні обмеження є рівними константам Блоха і Ландау.
Джерела
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
- Ahlfors, Lars Valerian; Grunsky, Helmut (1937). Über die Blochsche Konstante. Mathematische Zeitschrift. 42 (1): 671—673. doi:10.1007/BF01160101.
- Baernstein, Albert II; Vinson, Jade P. (1998). Local minimality results related to the Bloch and Landau constants. Quasiconformal mappings and analysis. Ann Arbor: Springer, New York. с. 55—89.
- Bloch, André (1925). Les théorèmes de M.Valiron sur les fonctions entières et la théorie de l'uniformisation. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 17 (3): 1—22. ISSN 0240-2963.
- Chen, Huaihui; Gauthier, Paul M. (1996). On Bloch's constant. Journal d'Analyse Mathématique. 69 (1): 275—291. doi:10.1007/BF02787110.
- John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V kompleksnomu analizi teorema Bloha stverdzhuye sho dlya kozhnoyi funkciyi golomorfnoyi v odinichnomu kruzi sho zadovolnyaye deyaki dodatkovi vimogi v obrazi funkciyi mistitsya krug deyakogo nezalezhnogo vid funkciyi radiusa na yakomu isnuye obernena golomorfna funkciya TverdzhennyaNehaj f displaystyle f golomorfna funkciya v deyakij oblasti sho mistit odinichnij krug B 0 1 z C z 1 displaystyle overline B 0 1 z in mathbb C z leq 1 Pripustimo sho f 0 1 displaystyle f 0 1 Todi isnuye krug S B 0 1 displaystyle S subset B 0 1 na yakomu dana funkciya ye in yektivnoyu i obraz f S displaystyle f S mistit krug radiusa bilshogo nizh 1 72 displaystyle 1 72 Zokrema obernena funkciya na comu kruzi bude bigolomorfizmom Z cogo tverdzhennya legko oderzhuyetsya uzagalnennya yaksho G C displaystyle G subset mathbb C oblast u C displaystyle mathbb C f G C displaystyle f colon G to mathbb C golomorfna funkciya i f c 0 displaystyle f c not 0 dlya deyakoyi tochki c G displaystyle c in G Todi f G displaystyle f G mistit vidkrite kogo radiusa 1 72 r f c displaystyle frac 1 72 cdot rho cdot f c de r lt d c G displaystyle rho lt d c partial G na yakomu isnuye obernena bigolomorfna funkciya Teorema Landau Yaksho f displaystyle f ye golomorfnoyu funkciyeyu v odinichnomu kruzi z vlastivistyu f 0 1 displaystyle f 0 1 todi obraz f displaystyle f mistit krug radiusa l displaystyle l de l b displaystyle l geqslant b ye absolyutnoyu konstantoyu sho ne zalezhit vid konkretnoyi funkciyi Cya teorema yaka inodi takozh nazivayetsya teoremoyu Bloha Landau nazvana na chest Edmunda Landau Teorema Valirona Istorichno znachnij vpliv na formulyuvannya teoremi Bloha vidigrala teorema Valirona Yaksho f displaystyle f ye ciloyu funkciyeyu todi isnuyut krugi D displaystyle D dovilnogo radiusa i golomorfni v D funkciyi f displaystyle varphi taki shof f z z displaystyle f varphi z z dlya vsih z D displaystyle z in D DovedennyaLema 1 Rozglyanemo funkciyu w f z displaystyle w f z golomorfnu u kruzi B 0 R z C z R displaystyle B 0 R z in mathbb C z leq R prichomu F z M displaystyle F z leqslant M Nehaj f 0 0 displaystyle f 0 0 i f 0 m displaystyle f 0 mu Todi M R m displaystyle M geqslant R mu i f B 0 R B 0 R m 2 6 M displaystyle f B 0 R supset B left 0 frac R mu 2 6M right Dovedennya Vvivshi funkciyu F z f R z R f 0 1 displaystyle F z frac f Rz Rf 0 1 otrimayemo sho F z displaystyle F z ye golomorfnoyu v kruzi B 0 1 displaystyle B 0 1 f 0 0 displaystyle f 0 0 f 0 1 displaystyle f 0 1 i v tverdzhenni teoremi M 1 displaystyle M geqslant 1 Vidpovidno dovedennya mozhna zdijsniti u comu vipadku Dlya dovedennya teoremi budemo vihoditi z rozkladu F z displaystyle F z v ryad Tejlora F z z a 2 z 2 displaystyle F z z a 2 z 2 ldots Koeficiyenti rozkladu zadovolnyayut nerivnosti Koshi a i M r i displaystyle a i leqslant frac M r i dlya 0 lt r lt 1 displaystyle 0 lt r lt 1 Zvidsi zokrema 1 a 1 M displaystyle 1 a 1 leqslant M Na koli z 4 M 1 displaystyle z 4M 1 dlya modulya F z displaystyle F z otrimuyemo ocinku F z z n 2 a n z n 4 M 1 n 2 M 4 M n 4 M 1 16 M 4 1 6 M 1 displaystyle F z geqslant z sum n 2 infty a n z n geqslant 4M 1 sum n 2 infty M 4M n 4M 1 16M 4 1 geqslant 6M 1 Pripustimo w lt 6 M 1 displaystyle w lt 6M 1 Todi funkciya g z F z w displaystyle g z F z w maye nul Dlya z 4 M 1 displaystyle z 4M 1 mayemo F z g z w lt 6 M 1 f z displaystyle F z g z w lt 6M 1 leqslant f z Zgidno teoremi Rushe g displaystyle g maye v kruzi B 0 4 M 1 displaystyle B 0 4M 1 stilki zh koreniv skilki yih maye v comu kruzi f displaystyle f Oskilki za pripushennyam F 0 0 displaystyle F 0 0 to i g z 0 0 displaystyle g z 0 0 dlya deyakogo z 0 B 0 4 M 1 displaystyle z 0 in B 0 4M 1 Tomu f B 0 1 B 0 1 6 M displaystyle f B 0 1 supset B 0 1 6M Lema 2 Nehaj f displaystyle f ye golomorfnoyu funkciyeyu v kruzi B a r displaystyle B a r i takozh f z f a lt f a displaystyle f z f a lt f a dlya vsih z B a r displaystyle z in B a r Todi f displaystyle f ye biyektivnoyu funkciyeyu na B a r displaystyle B a r Dovedennya Yaksho z 1 z 2 displaystyle z 1 neq z 2 dvi tochki u B a r displaystyle B a r i g z 1 z 2 displaystyle gamma z 1 z 2 vidrizok sho yih spoluchaye to zgidno nerivnosti trikutnika f z 1 f z 2 g f z d z g f a d z g f z f a d z f a z 1 z 2 g f z f a d z displaystyle f z 1 f z 2 left int gamma f z dz right geqslant left int gamma f a dz right left int gamma f z f a dz right geqslant f a z 1 z 2 int gamma left left f z f a right right dz Zvazhayuchi na gipotezu f z 1 f z 2 gt 0 displaystyle f z 1 f z 2 gt 0 tobto f z 1 f z 2 displaystyle f z 1 neq f z 2 i funkciya ye in yektivnoyu Dovedennya teoremi Bloha Dlya 0 r 1 displaystyle 0 leqslant r leqslant 1 poznachimo K r max f z z r displaystyle K r max f z z r i h r 1 r K r displaystyle h r 1 r K r Todi h displaystyle h ye neperervnoyu funkciyeyu i h 0 1 h 1 0 displaystyle h 0 1 h 1 0 Nehaj r 0 sup r h r 1 displaystyle r 0 sup r h r 1 Todi h r 0 1 r 0 lt 1 displaystyle h r 0 1 r 0 lt 1 i dlya vsih r gt r 0 displaystyle r gt r 0 vikonuyetsya nerivnist h r lt 1 displaystyle h r lt 1 Nehaj chislo a displaystyle a take sho a r 0 displaystyle a r 0 i f a K r 0 displaystyle f a K r 0 Todi f a 1 r 0 1 displaystyle f a 1 r 0 1 Yaksho z a lt 1 2 1 r 0 r 0 displaystyle z a lt 1 2 1 r 0 rho 0 to z lt 1 2 1 r 0 displaystyle z lt 1 2 1 r 0 Oskilki r 0 lt 1 2 1 r 0 displaystyle r 0 lt 1 2 1 r 0 to z oznachennya r 0 displaystyle r 0 otrimuyemo f z K 1 2 1 r 0 h 1 2 1 r 0 1 1 2 1 r 0 1 lt 1 1 2 1 r 0 1 1 r 0 displaystyle f z leqslant K 1 2 1 r 0 frac h 1 2 1 r 0 1 1 2 1 r 0 1 lt 1 1 2 1 r 0 1 frac 1 rho 0 dlya z a lt r 0 displaystyle z a lt rho 0 Z poperednogo f z f a f z f a lt 3 2 r 0 displaystyle f z f a leqslant f z f a lt 3 2 rho 0 Zgidno lemi Shvarca zvidsi viplivaye sho f z f a lt 3 z a 2 r 0 2 displaystyle f z f a lt frac 3 z a 2 rho 0 2 dlya z B a r 0 displaystyle z in B a rho 0 Tomu yaksho z S B a 1 3 r 0 displaystyle z in S B a 1 3 rho 0 to f z f a lt 1 2 r 0 f a displaystyle f z f a lt frac 1 2 rho 0 f a Z lemi 2 viplivaye sho f displaystyle f ye in yektivnim na S displaystyle S Viznachimo g B 0 1 3 r 0 C displaystyle g B 0 1 3 rho 0 to mathbb C yak g z f z a f a displaystyle g z f z a f a Todi g 0 0 g 0 f a 2 r 0 1 displaystyle g 0 0 g 0 f a 2 rho 0 1 Yaksho z B a 1 3 r 0 displaystyle z in B a 1 3 rho 0 todi vidrizok g a a z displaystyle gamma a a z lezhit u S B a r 0 displaystyle S subset B a rho 0 Tomu z poperednogo g z g f w d w z r 0 lt 1 3 displaystyle g z left int gamma f w dw right leqslant frac z rho 0 lt 1 3 Z lemi 1 otrimuyemo sho g B 0 1 3 r 0 B 0 s displaystyle g B 0 1 3 rho 0 supset B 0 sigma de s 1 3 r 0 2 2 r 0 2 2 1 72 displaystyle sigma frac 1 3 rho 0 2 2 rho 0 2 2 frac 1 72 Yaksho perevesti ce tverdzhennya dlya f displaystyle f to f S B f a 1 72 displaystyle f S supset B f a 1 72 sho zavershuye dovedennya Konstanti Bloha i LandauKonstanta 1 72 v teoremi Bloha ne ye optimalnoyu Chislo B sho rivne supremumu vsih b dlya yakih spravdzhuyetsya teorema Bloha nazivayetsya konstantoyu Bloha Zgidno teoremi Bloha B gt 1 72 displaystyle B gt 1 72 ale tochne znachennya B zalishayetsya nevidomim Podibnim chinom viznachena konstanta L v teoremi Landau nazivayetsya konstantoyu Landau Yiyi tochne znachennya tezh ne ye vidomim Najtochnishimi vidomimi obmezhennyami dlya B ye 0 4332 3 4 2 10 4 B 3 1 2 G 1 3 G 11 12 G 1 4 0 4719 displaystyle 0 4332 approx frac sqrt 3 4 2 times 10 4 leq B leq sqrt frac sqrt 3 1 2 cdot frac Gamma frac 1 3 Gamma frac 11 12 Gamma frac 1 4 approx 0 4719 de G displaystyle Gamma poznachaye Gamma funkciyu Nizhnya mezha bula znajdena u statti Chena i Gotye verhnya mezha u statti Alforsa i Grunskogo Dlya konstanti Landau vidomi obmezhennya 0 5 lt L G 1 3 G 5 6 G 1 6 0 543258965342 displaystyle 0 5 lt L leq Gamma 1 over 3 Gamma 5 over 6 over Gamma 1 over 6 0 543258965342 V svoyij statti Alfors i Grunskij sformulyuvali gipotezu sho vkazani verhni obmezhennya ye rivnimi konstantam Bloha i Landau DzherelaPrivalov I I Vvedenie v teoriyu funkcij kompleksnogo peremennogo 12 e Moskva Nauka 1977 Ahlfors Lars Valerian Grunsky Helmut 1937 Uber die Blochsche Konstante Mathematische Zeitschrift 42 1 671 673 doi 10 1007 BF01160101 Baernstein Albert II Vinson Jade P 1998 Local minimality results related to the Bloch and Landau constants Quasiconformal mappings and analysis Ann Arbor Springer New York s 55 89 Bloch Andre 1925 Les theoremes de M Valiron sur les fonctions entieres et la theorie de l uniformisation Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse 17 3 1 22 ISSN 0240 2963 Chen Huaihui Gauthier Paul M 1996 On Bloch s constant Journal d Analyse Mathematique 69 1 275 291 doi 10 1007 BF02787110 John B Conway Functions of One Complex Variable I second edition Springer Verlag 1995 ISBN 0 387 90328 3