Розв'язна алгебра Лі

В математиці, алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ називається розв'язною похідний ряд стає нульовим починаючи з деякого члена. Похідною алгеброю Лі називається підалгебра в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, що позначається як

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

і елементами якої за означенням є дужки Лі всеможливих пар елементів з ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Похідним рядом називається послідовність підалгебр

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geqslant [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geqslant [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geqslant [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

Елементи цього ряду також позначаються ${\displaystyle D^{k}{\mathfrak {g}}}$ де ${\displaystyle D^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}}$ і ${\displaystyle D^{k+1}{\mathfrak {g}}=[D^{k}{\mathfrak {g}},D^{k}{\mathfrak {g}}].}$

Якщо для деякого k виконується ${\displaystyle D^{k}{\mathfrak {g}}=\{0\}}$, то алгебра Лі називається розв'язною.

Максимальна розв'язна підалгебра називається підалгеброю Бореля. Найбільший розв'язний ідеал алгебри Лі називається радикалом.

Означення

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — скінченновимірна алгебра Лі над полем характеристики 0. Тоді твердження нижче є еквівалентними і можуть бути використані як означення:

• (i) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є розв'язною за означенням вище.
• (ii) ${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$, приєднане представлення алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, є розв'язним.
• (iii) Існує скінченна послідовність ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$} для яких:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad \forall i[{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}.}$

• (iv) ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ є нільпотентною алгеброю Лі.
• (v) Для ${\displaystyle n}$-вимірної алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ , існує послідовність підалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ для яких:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \forall i\operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1,}$

і ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i+1}}$ є ідеалом в ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$. Ця послідовність називається елементарною послідовністю.

• (vi) Існує скінченна послідовність підалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ для яких,

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}}$ є ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ і до того ж ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$ є комутативною алгеброю Лі.

• (vii) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є розв'язною тоді і тільки тоді коли її форма Кіллінга ${\displaystyle B}$ задовольняє умову ${\displaystyle B(X,Y)=0}$ для всіх X в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ і Y в ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$.

Приклади

• Напівпроста алгебра Лі ніколи не є розв'язною.
• Будь-яка абелева алгебра Лі є розв'язною.
• Будь-яка нільпотентна алгебра Лі є розв'язною.
• Якщо ${\displaystyle V}$ є скінченновимірним векторним простором над полем ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle F=\{V_{i}\}}$ — повний прапор векторних підпросторів. Підалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {b}}(F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(V)|xV_{i}\subset V_{i},\;\;\forall V_{i}\}}$ алгебри ${\displaystyle {\rm {gl}}_{k}}$ є розв'язною алгеброю Лі. Якщо на просторі ${\displaystyle V}$ ввести базис, що узгоджується з ${\displaystyle F}$ то елементи алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {b}}(F)}$ визначаються верхніми трикутними матрицями. Алгебра верхніх трикутних матриць над полем ${\displaystyle K}$ розмірності n позначається ${\displaystyle {\mathfrak {t}}(n,K).}$ Якщо ${\displaystyle K}$ — алгебраїчно замкнуте поле характеристики 0 то довільна розв'язна скінченновимірна алгебра Лі над полем ${\displaystyle K}$ ізоморфна підалгебрі алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {t}}(n,K).}$

Властивості

• Згідно з теоремою Лі, якщо ${\displaystyle V}$ є скінченновимірним векторним простором над алгебраїчно замкнутим полем ${\displaystyle K}$ характеристики 0 і ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є розв'язною алгеброю Лі над підполем ${\displaystyle k}$ поля ${\displaystyle K}$, і ${\displaystyle \pi }$ є представленням алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над простором ${\displaystyle V}$,тоді існує повний прапор векторних підпросторів ${\displaystyle F}$ для якого ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {b}}(F).}$ Зокрема існує вектор ${\displaystyle v\in V}$ що є одночасно власним вектором матриць ${\displaystyle \pi (X)}$ для всіх елементів ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$. Більш загально теорема Лі є справедливою якщо поле ${\displaystyle K}$ є досконалим і містить всі власні значення усіх матриць ${\displaystyle \pi (X).}$

• Підалгебра Лі, факторалгебра і розширення розв'язної алгебри Лі є розв'язними алгебрами Лі.
• Розв'язна ненульова алгебра Лі має ненульовий абелевий ідеал, останній ненульовий член в похідному ряді.
• Образ розв'язної алгебри Лі при гомоморфізмі є розв'язною алгеброю Лі.
• Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ є розв'язним ідеалом в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ і алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}}$ є розв'язною, то і алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є розв'язною.
• Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є скінченновимірною, тоді існує єдиний розв'язний ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$, що містить всі розв'язні ідеали алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Цей ідеал називається радикалом алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ і позначається ${\displaystyle {\rm {rad}}{\mathfrak {g}}}$. Радикали мають важливе значення в теорії скінченновимірних алгебр Лінад полями характеристики 0 оскільки в цьому випадку довільна алгебра Лі є напівпрямою сумою свого радикала, що є розв'язною алгеброю Лі і деякої напівпростої алгебри Лі. Тому класифікація алгебр Лі зводиться до класифікації напівпростих алгебр Лі і розв'язних алгебр Лі. Проте завдання класифікації скінченновимірних розв'язних алгебр Лі є набагато складнішим, ніж класифікація напівпростих алгебр.
• Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$ є розв'язними ідеалами, то таким є і ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$.
• Розв'язна алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ має єдиний найбільший нільпотентний ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$, що є множиною елементів ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ для яких ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ є нільпотентним відображенням. Розв'язна алгебра Лі розкладається на напівпряму суму цього ідеалу і деякої абелевої підалгебри. Якщо D є диференціюванням на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, то ${\displaystyle D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}}$.

Цілком розв'язні алгебри Лі

Алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ називається цілком розв'язною якщо для неї існує елементарна послідовність ідеалів у ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ від ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Скінченновимірна нільпотентна алгебра Лі є цілком розв'язною і цілком розв'язна алгебра Лі є розв'язною. Над алгебраїчно замкнутим полем розв'язна алгебра Лі є цілком розв'язною, натомість, наприклад ${\displaystyle 3}$-вимірна дійсна алгебра Лі групи евклідових ізометрій площини є розв'язною але не цілком розв'язною. Ця алгебра є ізоморфною матричній алгебрі

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .}$

Розв'язна алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над полем є цілком розв'язною тоді і тільки тоді коли всі власні значення ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ належать ${\displaystyle k}$ для всіх ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Див. також

• Алгебра Лі
• Форма Кіллінга

Посилання

• EoM article Lie algebra, solvable [ 28 жовтня 2011 у Wayback Machine.]
• EoM article Lie group, solvable [ 28 жовтня 2011 у Wayback Machine.]

Примітки

1. Humphreys, 1972
2. Knapp, 2002 Proposition 1.39.
3. Knapp, 2002 Proposition 1.23.
4. Fulton та Harris, 1991
5. Knapp, 2002 Proposition 1.46.
6. Humphreys, 1972
7. Knapp, 2002 Theorem 1.25.
8. Knapp, 2002
9. Knapp, 2002 Proposition 1.40.

Література

• Fulton, W.; Harris, J. (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics. Т. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN . MR 1153249.
• Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. Т. 9. New York: Springer-Verlag. ISBN .
• Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. Т. 120 (вид. 2nd). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN ..