В математиці, алгебра Лі називається нільпотентною якщо її нижній центральний ряд зрештою стає рівним нулю. Він є Лі алгебраїчним аналогом нільпотентних груп.
Означення
Нехай — алгебра Лі. Тоді називається нільпотентною якщо нижній центральний ряд рівний нулю починаючи з деякого члена, тобто якщо для деякого n ∈ ℕ.
А саме
- тож adX1adX2 ⋅⋅⋅ adXn = 0.
Еквівалентні означення
Наслідком означення (1) є те, що
Тому (adX)n = 0 для всіх . Тобто, adX є нільпотентним ендоморфізмом. Такий елемент x в називається ad-нільпотентним.
Навпаки, якщо є скінченновимірною, умова (2) є еквівалентною умові (1), згідно теореми Енгеля
- Алгебра Лі є нільпотентною тоді і тільки тоді коли є ad-нільпотентною.
Іншою еквівалентною умовою нільпотентності є: є нільпотентною тоді і тільки тоді коли є нільпотентною алгеброю Лі. Це випливає з того що на основі (1) є нільпотентною, оскільки (n − 1) вкладені дужки Лі будуть мати форму, як в (1). Навпаки
- і оскільки ad є гомоморфізмом алгебр Лі,
Якщо є нільпотентною, останній вираз рівний 0 для достатньо великих n, і відповідно це ж справедливо і для першого виразу. Але звідси отримується (1), тож алгебра є нільпотентною.
Приклади
- Нехай є скінченновимірним векторним простором над полем і — прапор векторних підпросторів. Підалгебра алгебри є нільпотентною алгеброю Лі. Якщо на просторі ввести базис, що узгоджується з то елементи алгебри визначаються верхніми трикутними матрицями з нулями на головній діагоналі. Якщо прапор є повним то відповідною алгеброю буде алгебра всіх верхніх трикутних матриць над полем розмірності n, що позначається Довільна скінченновимірна нільпотентна алгебра Лі є ізоморфною підалгебрі для деякого n.
- з точністю до ізоморфізмів є єдиною неабелевою нільпотентною алгеброю Лі розмірності 3.
- Якщо алгебра Лі має автоморфізм простого періоду без нерухомих точок за винятком 0, тоді є нільпотентною.
- є нільпотентною.
Властивості
- Кожна нільпотентна алгебра є розв'язною. Ця властивість є корисною для доведення розв'язності оскільки перевірка нільпотентності зазвичай є простішою. Обернене твердження загалом не є правильним. Наприклад алгебра (k ≥ 2), що складається з верхніх трикутних матриць є розв'язною але не нільпотентною.
- Якщо алгебра Лі є нільпотентною то її підалгебри, гомоморфні образи, факторалгебри, центральні розширення і скінченні прямі суми є нільпотентними.
- Якщо факторалгебра , де є центром , є нільпотентною, то нільпотентною є і алгебра .
- Теорема Енгеля: Алгебра Лі є нільпотентною тоді і тільки тоді коли для всі елементи алгебри є ad-нільпотентними. Більш загально для довільного скінченновимірного представлення нільпотентної алгебри Лі для якого є нільпотентним для всіх існує такий повний прапор, що
- Узагальненням попередньої властивості є теорема Цасенгауза, згідно якої для довільного скінченновимірного представлення у векторному просторі над алгебраїчно замкнутим полем нільпотентної алгебри Лі простір на якому визначене представлення розкладається на пряму суму підпросторів обмеження на кожному з яких є сумою скалярного і нільпотентного лінійних операторів.
- Форма Кіллінга нільпотентної алгебри Лі рівна 0. Більш загально для довільної скінченновимірної алгебри Лі її нільпотентний ідеал є ортогональним до всієї алгебри відносно форми Кіллінга.
- Нільпотентна алгебра Лі має зовнішні автоморфізми, тобто автоморфізми які не є образами відображення Ad.
- Для скінченновимірної розв'язної алгебри Лі над полем характеристики 0 є нільпотентною алгеброю.
- Для довільної нільпотентної алгебри Лі розмірності більшої 1 корозмірність її комутатора Зокрема якщо то є абелевою.
- В довільній скінченновимірній алгебрі Лі існує найбільший нільпотентний ідеал, що називається нільрадикалом. У полі характеристики 0 нільрадикал складається з елементів для яких є нільпотентним лінійним перетворенням.
- Іншим важливим нільпотентним ідеалом є нільпотентний радикал, що за означенням рівний перетину ядер скінченновимірних незвідних представлень алгебри . Якщо — радикал алгебри (тобто максимальний розв'язний ідеал) то нільпотентний радикал рівний Факторалгебра є редуктивною алгеброю Лі і є мінімальним із ідеалів для яких виконується ця умова.
- Якщо — скінченновимірний векторний простір над полем характеристики 0 то довільна нільпотентна підалгебра Лі записується як , де — ідеали, що складаються відповідно з напівпростих і нільпотентних елементів з .
Див. також
Примітки
- Knapp, 2002 Proposition 1.32.
Література
- Fulton, W.; Harris, J. (1991). Representation theory. A first course. . Т. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN . MR 1153249.
- Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. Т. 9. New York: Springer-Verlag. ISBN .
- Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. Т. 120 (вид. 2nd). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici algebra Li nazivayetsya nilpotentnoyu yaksho yiyi nizhnij centralnij ryad zreshtoyu staye rivnim nulyu Vin ye Li algebrayichnim analogom nilpotentnih grup OznachennyaNehaj g displaystyle mathfrak g algebra Li Todi g displaystyle mathfrak g nazivayetsya nilpotentnoyu yaksho nizhnij centralnij ryad rivnij nulyu pochinayuchi z deyakogo chlena tobto yaksho gn 0 displaystyle mathfrak g n 0 dlya deyakogo n ℕ A same X1 X2 Xn Y adX1adX2 adXnY gn 0 displaystyle X 1 X 2 cdots X n Y cdots mathrm ad X 1 mathrm ad X 2 cdots mathrm ad X n Y in mathfrak g n 0 X1 X2 Xn Y g 1 displaystyle forall X 1 X 2 ldots X n Y in mathfrak g qquad 1 tozh adX1adX2 adXn 0 Ekvivalentni oznachennyaNaslidkom oznachennya 1 ye te sho X X X Y adXnY gn 0 X Y g 2 displaystyle X X cdots X Y cdots mathrm ad X n Y in mathfrak g n 0 quad forall X Y in mathfrak g qquad 2 Tomu adX n 0 dlya vsih X g displaystyle X in mathfrak g Tobto adX ye nilpotentnim endomorfizmom Takij element x v g displaystyle mathfrak g nazivayetsya ad nilpotentnim Navpaki yaksho g displaystyle mathfrak g ye skinchennovimirnoyu umova 2 ye ekvivalentnoyu umovi 1 zgidno teoremi Engelya Algebra Li g displaystyle mathfrak g ye nilpotentnoyu todi i tilki todi koli g displaystyle mathfrak g ye ad nilpotentnoyu Inshoyu ekvivalentnoyu umovoyu nilpotentnosti g displaystyle mathfrak g ye g displaystyle mathfrak g ye nilpotentnoyu todi i tilki todi koli adg displaystyle mathrm ad mathfrak g ye nilpotentnoyu algebroyu Li Ce viplivaye z togo sho na osnovi 1 adg displaystyle mathrm ad mathfrak g ye nilpotentnoyu oskilki n 1 vkladeni duzhki Li budut mati formu yak v 1 Navpaki Xn Xn 1 X2 X1 ad Xn Xn 1 X2 X1 displaystyle cdots X n X n 1 cdots X 2 X 1 mathrm ad cdots X n X n 1 cdots X 2 X 1 i oskilki ad ye gomomorfizmom algebr Li ad Xn Xn 1 X2 ad Xn Xn 1 X3 adX2 adXn adXn 1 adX2 displaystyle begin aligned mathrm ad cdots X n X n 1 cdots X 2 amp mathrm ad cdots X n X n 1 cdots X 3 mathrm ad X 2 amp ldots cdots mathrm ad X n mathrm ad X n 1 cdots mathrm ad X 2 end aligned Yaksho adg displaystyle mathrm ad mathfrak g ye nilpotentnoyu ostannij viraz rivnij 0 dlya dostatno velikih n i vidpovidno ce zh spravedlivo i dlya pershogo virazu Ale zvidsi otrimuyetsya 1 tozh algebra g displaystyle mathfrak g ye nilpotentnoyu PrikladiNehaj V displaystyle V ye skinchennovimirnim vektornim prostorom nad polem K displaystyle K i F Vi displaystyle F V i prapor vektornih pidprostoriv Pidalgebra n F x gl V xVi Vi 1 Vi displaystyle mathfrak n F x in mathfrak gl V xV i subset V i 1 forall V i algebri glk displaystyle rm gl k ye nilpotentnoyu algebroyu Li Yaksho na prostori V displaystyle V vvesti bazis sho uzgodzhuyetsya z F displaystyle F to elementi algebri n F displaystyle mathfrak n F viznachayutsya verhnimi trikutnimi matricyami z nulyami na golovnij diagonali Yaksho prapor ye povnim to vidpovidnoyu algebroyu bude algebra vsih verhnih trikutnih matric nad polem K displaystyle K rozmirnosti n sho poznachayetsya n n K displaystyle mathfrak n n K Dovilna skinchennovimirna nilpotentna algebra Li ye izomorfnoyu pidalgebri n n K displaystyle mathfrak n n K dlya deyakogo n n 3 K displaystyle mathfrak n 3 K z tochnistyu do izomorfizmiv ye yedinoyu neabelevoyu nilpotentnoyu algebroyu Li rozmirnosti 3 Yaksho algebra Li g displaystyle mathfrak g maye avtomorfizm prostogo periodu bez neruhomih tochok za vinyatkom 0 todi g displaystyle mathfrak g ye nilpotentnoyu ye nilpotentnoyu VlastivostiKozhna nilpotentna algebra ye rozv yaznoyu Cya vlastivist ye korisnoyu dlya dovedennya rozv yaznosti oskilki perevirka nilpotentnosti zazvichaj ye prostishoyu Obernene tverdzhennya zagalom ne ye pravilnim Napriklad algebra gl k R displaystyle mathfrak gl k mathbb R k 2 sho skladayetsya z verhnih trikutnih matric ye rozv yaznoyu ale ne nilpotentnoyu Yaksho algebra Li g displaystyle mathfrak g ye nilpotentnoyu to yiyi pidalgebri gomomorfni obrazi faktoralgebri centralni rozshirennya i skinchenni pryami sumi ye nilpotentnimi Yaksho faktoralgebra g Z g displaystyle mathfrak g Z mathfrak g de Z g displaystyle Z mathfrak g ye centrom g displaystyle mathfrak g ye nilpotentnoyu to nilpotentnoyu ye i algebra g displaystyle mathfrak g Teorema Engelya Algebra Li g displaystyle mathfrak g ye nilpotentnoyu todi i tilki todi koli dlya vsi elementi algebri g displaystyle mathfrak g ye ad nilpotentnimi Bilsh zagalno dlya dovilnogo skinchennovimirnogo predstavlennya r displaystyle rho nilpotentnoyi algebri Li g displaystyle mathfrak g dlya yakogo r X displaystyle rho X ye nilpotentnim dlya vsih X g displaystyle X in mathfrak g isnuye takij povnij prapor sho r g n F displaystyle rho mathfrak g subset mathfrak n F Uzagalnennyam poperednoyi vlastivosti ye teorema Casengauza zgidno yakoyi dlya dovilnogo skinchennovimirnogo predstavlennya r displaystyle rho u vektornomu prostori nad algebrayichno zamknutim polem nilpotentnoyi algebri Li g displaystyle mathfrak g prostir V displaystyle V na yakomu viznachene predstavlennya rozkladayetsya na pryamu sumu pidprostoriv obmezhennya r displaystyle rho na kozhnomu z yakih ye sumoyu skalyarnogo i nilpotentnogo linijnih operatoriv Forma Killinga nilpotentnoyi algebri Li rivna 0 Bilsh zagalno dlya dovilnoyi skinchennovimirnoyi algebri Li yiyi nilpotentnij ideal ye ortogonalnim do vsiyeyi algebri vidnosno formi Killinga Nilpotentna algebra Li maye zovnishni avtomorfizmi tobto avtomorfizmi yaki ne ye obrazami vidobrazhennya Ad Dlya skinchennovimirnoyi rozv yaznoyi algebri Li g displaystyle mathfrak g nad polem harakteristiki 0 g g displaystyle mathfrak g mathfrak g ye nilpotentnoyu algebroyu Dlya dovilnoyi nilpotentnoyi algebri Li rozmirnosti bilshoyi 1 korozmirnist yiyi komutatora codim g g 2 displaystyle operatorname codim mathfrak g mathfrak g geqslant 2 Zokrema yaksho dimg 2 displaystyle operatorname dim mathfrak g leqslant 2 to g displaystyle mathfrak g ye abelevoyu V dovilnij skinchennovimirnij algebri Li g displaystyle mathfrak g isnuye najbilshij nilpotentnij ideal sho nazivayetsya nilradikalom U poli harakteristiki 0 nilradikal skladayetsya z elementiv X g displaystyle X in mathfrak g dlya yakih adX displaystyle operatorname ad X ye nilpotentnim linijnim peretvorennyam Inshim vazhlivim nilpotentnim idealom ye nilpotentnij radikal sho za oznachennyam rivnij peretinu yader skinchennovimirnih nezvidnih predstavlen algebri g displaystyle mathfrak g Yaksho r displaystyle mathfrak r radikal algebri g displaystyle mathfrak g tobto maksimalnij rozv yaznij ideal to nilpotentnij radikal rivnij n g r g g r displaystyle mathfrak n mathfrak g mathfrak r mathfrak g mathfrak g cap mathfrak r Faktoralgebra g n displaystyle mathfrak g mathfrak n ye reduktivnoyu algebroyu Li i n displaystyle mathfrak n ye minimalnim iz idealiv dlya yakih vikonuyetsya cya umova Yaksho V displaystyle V skinchennovimirnij vektornij prostir nad polem harakteristiki 0 to dovilna nilpotentna pidalgebra Li g gl V displaystyle mathfrak g subset mathfrak gl V zapisuyetsya yak g a n displaystyle mathfrak g mathfrak a mathfrak n de a n displaystyle mathfrak a mathfrak n ideali sho skladayutsya vidpovidno z napivprostih i nilpotentnih elementiv z g displaystyle mathfrak g Div takozhNilpotentna matricyaRozv yazna algebra LiPrimitkiKnapp 2002 Proposition 1 32 LiteraturaFulton W Harris J 1991 Representation theory A first course T 129 New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 97527 6 MR 1153249 Humphreys James E 1972 Introduction to Lie Algebras and Representation Theory Graduate Texts in Mathematics T 9 New York Springer Verlag ISBN 0 387 90053 5 Knapp A W 2002 Lie groups beyond an introduction Progress in Mathematics T 120 vid 2nd Boston Basel Berlin Birkhauser ISBN 0 8176 4259 5