Теорема Лі — твердження в теорії алгебр Лі про властивості розв'язних алгебр Лі ендоморфізмів скінченновимірного векторного простору.
Твердження
Нехай L — розв'язна підалгебра Лі в , де простір V є скінченновимірним над алгебрично замкнутим полем характеристики 0 і не рівний нульовому простору. Тоді V містить спільний власний вектор для всіх ендоморфізмів з L. Як наслідок в деякому базисі простору матриці елементів з L є верхніми трикутними (чи, еквівалентно, L відображає в себе деякий повний прапор підпросторів V).
Доведення
Застосуємо індукцію по розмірності L. Випадок є тривіальним.
Оскільки підалгебра L є розв'язною і її розмірність є додатною, L строго включає [L, L]. Алгебра L/[L, L] є комутативною і тому будь-який підпростір у ній є ідеалом. Візьмемо в ній підпростір корозмірності 1, тоді його прообраз К — ідеал корозмірності 1 в L (що містить [L, L]).
За припущенням існує спільний власний вектор для К (зрозуміло, що ідеал К є розв'язним; якщо К = 0, то алгебра L є комутативною розмірності 1 і будь-який власний вектор для базисного елемента з L дозволяє завершити доведення). Це означає, що для буде виконуватися рівність де — деяка лінійна функція. Зафіксуємо x і позначимо через W (ненульовий) підпростір
Підпростір W є інваріантним при дії алгебри L. Нехай . Щоб перевірити, що xw належить W, візьмемо довільний елемент і розглянемо вираз . Очевидно достатньо довести, що . Для цього зафіксуємо Нехай n > 0 — найменше ціле число, для якого є лінійно залежними. Нехай — підпростір у V, породжений елементами (також ), так що і x відображає у Легко перевірити, що будь-який елемент залишає кожен підпростір інваріантним. В базисі простору елемент представляється верхньою трикутною матрицею з на діагоналі. Це випливає з порівнянь
- ,
які можна довести індукцією по i. Випадок i = 0 очевидний. Ми маємо За припущенням індукції
- .
Оскільки x відображає в порівняння є правильними для всіх i. Згідно з визначенням дії елемента на просторі , ми маємо Зокрема, це є вірним для елементів з К виду [x, y] (Елемент x такий же, як вище, ). Але як x, так і y зберігають тому [x, y] діє на як комутатор двох його ендоморфізмів і тому його слід дорівнює нулю. Звідси випливає, що Оскільки то що завершує доведення інваріантності підпростору W щодо дії алгебри L.
Записавши і використовуючи алгебричну замкнутість поля F, знайдемо власний вектор для z (що відповідає деякому його власному значенню). Тоді очевидно, є власним вектором для всієї алгебри L і можна продовжити до лінійної функції на L з умовою
Наслідки
Нехай алгебра L є розв'язною. Тоді існує така послідовність ідеалів L, що
- Нехай L — довільна розв'язна алгебра Лі, — її скінченновимірне представлення. Тоді алгебра теж є розв'язною і тому зберігає деякий прапор. Зокрема якщо розглядати приєднане представлення, то прапор підпросторів, інваріантних щодо L, це ланцюжок ідеалів в L, кожен з яких має корозмірність один в наступному.
Нехай алгебра L є розв'язною. Тоді з того, що випливає, що відображення є нільпотентним. Як наслідок, підалгебра [L, L] є нільпотентною.
- Виберемо прапор ідеалів, як в попередньому наслідку. В базисі алгебри L, в якому елементи породжують матриці з є верхніми трикутними. Тому матриці з є верхніми трикутними із нульовими діагональними елементами. Тобто ендоморфізм є нільпотентним ендоморфізмом простору L при Звідси він також є нільпотентним на інваріантному підпросторі [L, L], тож алгебра [L, L] є нільпотентною згідно теореми Енгеля.
Див. також
Література
- Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. Т. 9. New York: Springer-Verlag. ISBN .
- Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 113. Cambridge University Press. ISBN .
- Winter, David J. (1972), Abstract Lie algebras, The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, ISBN , MR 0332905
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Li tverdzhennya v teoriyi algebr Li pro vlastivosti rozv yaznih algebr Li endomorfizmiv skinchennovimirnogo vektornogo prostoru TverdzhennyaNehaj L rozv yazna pidalgebra Li v g l V displaystyle mathfrak gl V de prostir V ye skinchennovimirnim nad algebrichno zamknutim polem harakteristiki 0 i ne rivnij nulovomu prostoru Todi V mistit spilnij vlasnij vektor dlya vsih endomorfizmiv z L Yak naslidok v deyakomu bazisi prostoru matrici elementiv z L ye verhnimi trikutnimi chi ekvivalentno L vidobrazhaye v sebe deyakij povnij prapor pidprostoriv V DovedennyaZastosuyemo indukciyu po rozmirnosti L Vipadok dim L 0 displaystyle operatorname dim L 0 ye trivialnim Oskilki pidalgebra L ye rozv yaznoyu i yiyi rozmirnist ye dodatnoyu L strogo vklyuchaye L L Algebra L L L ye komutativnoyu i tomu bud yakij pidprostir u nij ye idealom Vizmemo v nij pidprostir korozmirnosti 1 todi jogo proobraz K ideal korozmirnosti 1 v L sho mistit L L Za pripushennyam isnuye spilnij vlasnij vektor v V displaystyle v in V dlya K zrozumilo sho ideal K ye rozv yaznim yaksho K 0 to algebra L ye komutativnoyu rozmirnosti 1 i bud yakij vlasnij vektor dlya bazisnogo elementa z L dozvolyaye zavershiti dovedennya Ce oznachaye sho dlya x K displaystyle x in K bude vikonuvatisya rivnist x v l x v displaystyle xv lambda x v de l K F displaystyle lambda K to F deyaka linijna funkciya Zafiksuyemo x i poznachimo cherez W nenulovij pidprostir w W x w l x w x K displaystyle w in W xw lambda x w forall x in K Pidprostir W ye invariantnim pri diyi algebri L Nehaj w W x L displaystyle w in W x in L Shob pereviriti sho xw nalezhit W vizmemo dovilnij element y K displaystyle y in K i rozglyanemo viraz y x w x y w x y w l y x w l x y w displaystyle yxw xyw x y w lambda y xw lambda x y w Ochevidno dostatno dovesti sho l x y 0 displaystyle lambda x y 0 Dlya cogo zafiksuyemo w W x L displaystyle w in W x in L Nehaj n gt 0 najmenshe cile chislo dlya yakogo w x w x n w displaystyle w xw x n w ye linijno zalezhnimi Nehaj W i displaystyle W i pidprostir u V porodzhenij elementami w x w x i 1 w displaystyle w xw x i 1 w takozh W 0 0 displaystyle W 0 0 tak sho dim W n n W n W n i i 0 displaystyle operatorname dim W n n W n W n i i geqslant 0 i x vidobrazhaye W n displaystyle W n u W n displaystyle W n Legko pereviriti sho bud yakij element y K displaystyle y in K zalishaye kozhen pidprostir W i displaystyle W i invariantnim V bazisi w x w x n 1 w displaystyle w xw x n 1 w prostoru W n displaystyle W n element y K displaystyle y in K predstavlyayetsya verhnoyu trikutnoyu matriceyu z l y displaystyle lambda y na diagonali Ce viplivaye z porivnyan y x i w l y x i w mod W i displaystyle yx i w lambda y x i w mod W i yaki mozhna dovesti indukciyeyu po i Vipadok i 0 ochevidnij Mi mayemo y x i w y x x i 1 w x y x i 1 w x y x i 1 w displaystyle yx i w yxx i 1 w xyx i 1 w x y x i 1 w Za pripushennyam indukciyi y x i 1 w l y x i 1 w w w W i 1 displaystyle yx i 1 w lambda y x i 1 w w w in W i 1 Oskilki x vidobrazhaye W i 1 displaystyle W i 1 v W i displaystyle W i porivnyannya ye pravilnimi dlya vsih i Zgidno z viznachennyam diyi elementa y K displaystyle y in K na prostori W n displaystyle W n mi mayemo Tr W n y n l y displaystyle operatorname Tr W n y n lambda y Zokrema ce ye virnim dlya elementiv z K vidu x y Element x takij zhe yak vishe y K displaystyle y in K Ale yak x tak i y zberigayut W n displaystyle W n tomu x y diye na W n displaystyle W n yak komutator dvoh jogo endomorfizmiv i tomu jogo slid dorivnyuye nulyu Zvidsi viplivaye sho n l x y 0 displaystyle n lambda x y 0 Oskilki char F 0 displaystyle operatorname char F 0 to l x y 0 displaystyle lambda x y 0 sho zavershuye dovedennya invariantnosti pidprostoru W shodo diyi algebri L Zapisavshi L K F z displaystyle L K Fz i vikoristovuyuchi algebrichnu zamknutist polya F znajdemo vlasnij vektor v 0 W displaystyle v 0 in W dlya z sho vidpovidaye deyakomu jogo vlasnomu znachennyu Todi v 0 displaystyle v 0 ochevidno ye vlasnim vektorom dlya vsiyeyi algebri L i l displaystyle lambda mozhna prodovzhiti do linijnoyi funkciyi na L z umovoyu x v 0 l x v 0 x L displaystyle xv 0 lambda x v 0 x in L NaslidkiNehaj algebra L ye rozv yaznoyu Todi isnuye taka poslidovnist idealiv L 0 L 0 L 1 L n L displaystyle 0 L 0 subset L 1 subset subset L n L sho dim L i i displaystyle operatorname dim L i i Nehaj L dovilna rozv yazna algebra Li r L g l V displaystyle rho L to mathfrak gl V yiyi skinchennovimirne predstavlennya Todi algebra r L displaystyle rho L tezh ye rozv yaznoyu i tomu zberigaye deyakij prapor Zokrema yaksho rozglyadati priyednane predstavlennya to prapor pidprostoriv invariantnih shodo L ce lancyuzhok idealiv v L kozhen z yakih maye korozmirnist odin v nastupnomu Nehaj algebra L ye rozv yaznoyu Todi z togo sho x L L displaystyle x in L L viplivaye sho vidobrazhennya ad x displaystyle operatorname ad x ye nilpotentnim Yak naslidok pidalgebra L L ye nilpotentnoyu Viberemo prapor idealiv yak v poperednomu naslidku V bazisi x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 x n algebri L v yakomu elementi x 1 x 2 x i displaystyle x 1 x 2 x i porodzhuyut L i displaystyle L i matrici z ad L displaystyle operatorname ad L ye verhnimi trikutnimi Tomu matrici z ad L ad L ad L L displaystyle operatorname ad L operatorname ad L operatorname ad L L ye verhnimi trikutnimi iz nulovimi diagonalnimi elementami Tobto endomorfizm ad x displaystyle operatorname ad x ye nilpotentnim endomorfizmom prostoru L pri x L L displaystyle x in L L Zvidsi vin takozh ye nilpotentnim na invariantnomu pidprostori L L tozh algebra L L ye nilpotentnoyu zgidno teoremi Engelya Div takozhVerhnya trikutna matricya Rozv yazna algebra Li Teorema EngelyaLiteraturaHumphreys James E 1972 Introduction to Lie Algebras and Representation Theory Graduate Texts in Mathematics T 9 New York Springer Verlag ISBN 0 387 90053 5 Kirillov A 2008 An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras Cambridge Studies in Advanced Mathematics T 113 Cambridge University Press ISBN 978 0521889698 Winter David J 1972 Abstract Lie algebras The M I T Press Cambridge Mass London ISBN 978 0 486 46282 0 MR 0332905