Пуассонівський процес

Пуассо́нівський проце́с — це поняття теорії випадкових процесів, що моделює кількість випадкових подій, що стались, якщо тільки вони відбуваються зі сталим середнім значенням інтервалів між їхніми настаннями.

Реалізація процесів Пуассона для значень параметру λ: 2.4 (синій колір) і 0.6 (червоний колір)

У випадку вибраних одиниць вимірювання, це середнє значення дорівнює ${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$ кількостей подій за одиницю часу, де λ — параметр процесу. Цей параметр часто називають інтенсивністю пуассонівського процесу.

Якщо розглянути послідовність часових інтервалів між подіями пуассонівського процесу, то ця послідовність буде послідовністю незалежних випадкових величин, яка має назву .

Означення

Випадковий процес ${\displaystyle (N_{t})_{t\in {\mathbb {R} }^{+}}}$ з неперервним і невід'ємним часом та значеннями на множині невід'ємних цілих чисел називається (однорідним) пуассонівським процесом, якщо:

1. ${\displaystyle N_{0}=0}$ майже напевно.
2. ${\displaystyle \forall t_{0}=0<t_{1}<\dots <t_{k},}$ випадкові змінні ${\displaystyle (N_{t_{k}}-N_{t_{k-1}}),\dots (N_{t_{1}}-N_{t_{0}})}$ є незалежними. Інакше кажучи пуассонівський процес є процесом з незалежними приростами.
3. ${\displaystyle \forall t,h>0}$ приріст процесу ${\displaystyle N_{t+h}-N_{t}}$ задовольняє розподілу Пуассона з параметром ${\displaystyle \lambda h,}$ тобто ${\displaystyle \mathbb {P} [(N_{t+h}-N_{t})=k]={\frac {e^{-\lambda h}(\lambda h)^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots ,}$
4. Кожна окрема реалізація процесу ${\displaystyle N_{t}(\omega )}$ є неперервною справа і має скінченні ліві границі. В теорії стохастичних процесів такі функції часто називають càdlàg-функціями.

Властивості

1. ${\displaystyle N_{t}}$ має розподіл Пуассона з параметром ${\displaystyle \lambda t}$
2. Для пуассонівського процесу виконується умова однорідності по часу, тобто розподіл випадкової змінної ${\displaystyle N(t+h)-N(t)}$ залежить лише від величини інтервалу h і не залежить від початкового часу t.
3. ${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda h+o(h)}$ коли ${\displaystyle h\to 0+}$
4. ${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}>1)=o(h)}$ коли ${\displaystyle h\to 0+,}$ тобто імовірність більш ніж одного приросту значення процесу на малому інтервалі є величиною меншого порядку, ніж ймовірність одного приросту.
5. Властивості (2) - (4) разом з властивістю незалежності приростів повністю характеризують пуассонівський процес і можуть бути використанні як його альтернативне визначення.

Моменти стрибків процесу

Позначимо ${\displaystyle T_{1},\dots ,T_{n},\dots }$  — моменти стрибків (прибуття, змін) пуассонівського процесу. Формально можна визначити ${\displaystyle T_{n}=\inf\{t\geq 0,N_{t}\geq n\}.}$ Визначимо також ${\displaystyle S_{k}=T_{k}-T_{k-1}\,(k\in \mathbb {N} ^{*}).}$ Тоді випадкові величини ${\displaystyle S_{k}}$ є незалежними і мають експоненціальний розподіл: ${\displaystyle {\mathbb {P} }(S_{k}\leq t)=1-{\mathrm {e} }^{-\lambda t}.}$ Самі ж випадкові змінні ${\displaystyle T_{n}}$ мають гамма-розподіл ${\displaystyle \Gamma \left(n,{\frac {1}{\lambda }}\right),}$ який для таких параметрів також називається розподілом Ерланга.

Навпаки якщо ${\displaystyle (S_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}}$ є незалежними випадковими величинами, такими що ${\displaystyle S_{0}=0,\forall n\in \mathbb {N} ^{*},\forall t\in \mathbb {R} ^{+},{\mathbb {P} }(S_{n}\leq t)=1-{\mathrm {e} }^{-\lambda t},}$ то ${\displaystyle N_{t}=\sup \left\{n/\sum _{i=0}^{n}S_{i}\leq t\right\}}$ є пуассонівським процесом. Дану властивість теж можна використати як визначення.

• Властивість втрати пам'яті. Нехай ${\displaystyle F_{t}}$ — випадкова величина, що визначає час від моменту t до наступного стрибка процесу. Тоді ${\displaystyle F_{t}}$ має експоненційний розподіл з параметром ${\displaystyle \lambda ,}$ тобто такий же розподіл, як і розподіл часу між двома моментами стрибків.

• Якщо також визначити випадкову змінну ${\displaystyle B_{t}}$ — як час між моментом t і моментом попереднього стрибка процесу (або початковим моментом, якщо стрибків ще не було), то змінні ${\displaystyle F_{t}}$ і ${\displaystyle B_{t}}$ є незалежними і ${\displaystyle B_{t}}$ має урізаний експоненційний розподіл: ${\displaystyle \mathbb {P} [B_{t}\leqslant s]=1-e^{-\lambda s}\qquad s<t}$ і ${\displaystyle \mathbb {P} [B_{t}=t]=e^{-\lambda t}.}$

Неоднорідний пуассонівський процес

Неоднорідний пуассонівський процес є узагальненням описаного вище процесу, що одержується усуненням вимоги однорідності по часу. Нехай окрім поданих вище означень маємо також неспадну функцію ${\displaystyle M(t)}$ визначену на множині невід'ємних чисел, що називається функцією середніх значень. Тоді випадковий процес ${\displaystyle (N_{t})_{t\in {\mathbb {R} }^{+}}}$ з неперервним і невід'ємним часом та значеннями на множині невід'ємних цілих чисел називається неоднорідним пуассонівським процесом, якщо

1. ${\displaystyle N_{t}=0}$ майже напевно.
2. ${\displaystyle \forall t_{0}=0<t_{1}<\dots <t_{k},}$ випадкові змінні ${\displaystyle (N_{t_{k}}-N_{t_{k-1}}),\dots (N_{t_{1}}-N_{t_{0}})}$ є незалежними.
3. ${\displaystyle \forall t,h>0}$ приріст процесу ${\displaystyle N_{t+h}-N_{t}}$ задовольняє розподілу Пуассона з параметром ${\displaystyle M(t+h)-M(t),}$ тобто ${\displaystyle \mathbb {P} [(N_{t+h}-N_{t})=k]={\frac {e^{-(M(t+h)-M(t))}(M(t+h)-M(t))^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots ,}$
4. Кожна окрема реалізація процесу ${\displaystyle N_{t}(\omega )}$ є неперервною зправа і має скінченні ліві границі,тобто є càdlàg-функцією.

Особливий інтерес становить випадок, коли існує невід'ємна вимірна функція ${\displaystyle \lambda (t),\;t\in {\mathbb {R} }_{+},}$ така що ${\displaystyle M(t)=\int _{0}^{t}\lambda (s)\,{\mathrm {d} }s<\infty \forall t\in {\mathbb {R} }_{+}.}$ Функція ${\displaystyle \lambda (t)}$ є узагальненням коефіцієнта ${\displaystyle \lambda }$ в однорідному випадку і називається функцією інтенсивності. Для однорідних процесів функція інтенсивності є сталою, а ${\displaystyle M(t)=\lambda t.}$

Зв'язок між однорідними і неоднорідними процесами

• Нехай ${\displaystyle {\tilde {N}}_{t}}$ — однорідний пуассонівський процес, а ${\displaystyle M(t)}$ — задовольняє всі вимоги, що накладалися на функцію середніх значень. Тоді випадковий процес ${\displaystyle N_{t}={\tilde {N}}_{M(t)}}$ є неоднорідним пуассонівським з функцією середніх значень ${\displaystyle M(t).}$
• Якщо ${\displaystyle M(t)}$ є також строго зростаючою, неперервною і ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }M(t)=\infty ,}$ а ${\displaystyle {\hat {N}}_{t}}$ є неоднорідним пуассонівським процесом з функцією середніх значень ${\displaystyle M(t),}$ то випадковий процес ${\displaystyle N_{t}={\hat {N}}_{M^{-1}(t)}}$ є однорідним пуасонівським.

За допомогою цих властивостей можна виводити властивості неоднорідних пуассонівських процесів через властивості однорідних. Зокрема можна визначити розподіл випадкових величин ${\displaystyle T_{1},\dots ,T_{n},\dots }$ і ${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{n},\dots }$ визначених аналогічно до однорідного випадку. Нехай ${\displaystyle N_{t}}$ є неоднорідним пуасснонівським розподілом з неперервною, додатною майже всюди функцією інтенсивності ${\displaystyle \lambda (t),}$ що визначає функцію середніх значень ${\displaystyle M(t).}$ Тоді функції густини ймовіностей випадкових векторів ${\displaystyle T_{1},\dots ,T_{n}}$ і ${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{n}}$ визначаються формулами:

${\displaystyle f_{T_{1},\dots ,T_{n}}(x_{1},\dots ,x_{n})=e^{-M(x_{n})}\prod _{i=1}^{n}\lambda (x_{i})\mathbb {I} _{(0<x_{1}<\dots <x_{n})}}$

${\displaystyle f_{S_{1},\dots ,S_{n}}(x_{1},\dots ,x_{n})=e^{-M(x_{1}+\dots +x_{n})}\prod _{i=1}^{n}\lambda (x_{1}+\dots +x_{i})}$

Звідси зокрема випливає, що змінні ${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{n},\dots }$ є незалежними лише для однорідних процесів.

Задачі, що призводять до даного поняття

• Задача 1 (про страхову компанію). Розглянемо роботу страхової компанії. Нехай клієнти щороку роблять страхові внески, а компанія робить виплати; кількість клієнтів вважається сталою і рівною N; страхові події вважаються незалежними одна від одної, причому ймовірність настання страхової події у одного клієнта протягом року дорівнює a. Завдання: промоделювати кількість виплат з допомогою пуассонівського процесу.

Розв'язання. Оскільки у першому наближенні ймовірність настання однієї страхової події на інтервалі [0,h] дорівнює N·a·h при h→0, ймовірність ненастання страхових подій на цьому інтервалі дорівнює 1-N·a·h, а ймовірність настання на цьому інтервалі двох чи більше подій — нескінченно мала порівняно з довжиною інтервалу, то легко можна зробити висновок, що кількість виплат зручно моделюється пуассонівським процесом з інтенсивністю N·a.

• Задача 2 (про надходження заявок зі сталою інтенсивністю). Нехай на станцію таксі з сьомої до дев'ятої години ранку надходять заявки від клієнтів, причому інтенсивінсть цих заявок — є величиною приблизно сталою: всередньому надходить одна заявка за n секунд. Завдання: промоделювати кількість заявок з допомогою пуассонівського процесу.

Розв'язання. Міркуваннями розв'язання до попередньої задачі можна встановити, що кількість заявок доцільно моделювати пуассонівським процесом з інтенсивністю ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$.

Пуассонівські процеси із довільною множиною значень

Нехай ${\displaystyle S}$ — деяка множина, ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ — визначена на ній σ-алгебра, ${\displaystyle \mu :{\mathfrak {G}}\to [0,\infty ]}$ — міра визначена на цій σ-алгебрі. Нехай також діагональ ${\displaystyle D={(x,y):x=y}}$ є вимірною у множині ${\displaystyle S\times S.}$ Важливим прикладом є евклідовий простір ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ з борелевою алгеброю.

Нехай ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n},\dots }$ — випадкові незалежні величини визначені на множині ${\displaystyle S.}$ Разом вони визначають зліченну випадкову множину ${\displaystyle \Pi \subset S.}$ Для множини ${\displaystyle A\in {\mathfrak {G}}}$ визначимо ${\displaystyle S(A)=|{\Pi \cap A}|.}$

${\displaystyle S(A)}$ є випадковою змінною, що може набувати значень у множині невід'ємних цілих чисел або нескінченності. Випадкова множина ${\displaystyle \Pi }$ називається пуассонівським процесом, якщо виконуються дві умови:

1. для довільних множин ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathfrak {G}},}$ що не перетинаються, випадкові величини ${\displaystyle S(A_{1}),\ldots ,S(A_{n})}$ є незалежними.
2. ${\displaystyle N(A)}$ задовольняє розподілу Пуассона з параметром ${\displaystyle \mu (A)}$, де ${\displaystyle \mu (A)}$ — міра множини ${\displaystyle A.}$

При ${\displaystyle S={\mathbb {R} }^{n}}$ в найбільш цікавих випадках міра інтенсивності задається за допомогою густини інтенсивності. Густиною інтенсивності називається функція λ на S, така, що міра μ задається як інтеграл від λ по мірі Лебега:

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\lambda (x)dx.}$

Якщо функція λ є сталою то пуассонівський процес називається однорідним.

У випадку ${\displaystyle S={\mathbb {R} }^{1},}$ якщо визначити ${\displaystyle \mu (a,b)=M(b)-M(a)}$ одержується попереднє визначення пуассонівського процесу.

Див. також

• Вінерівський процес
• Марківський процес
• Розподіл Пуассона
• Теорія відновлення

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — 2-е. — Москва : Наука, 1977. — 567 с.(рос.)
• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М. : Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М. : Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Кингман Дж. Пуассоновские процессы. — М. : МЦНМО, 2007. — 136 с.