Незалежність випадкових величин

Означення Дискретні випадкові величини ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}}$ називаються незалежними, якщо для довільних множин ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots ,B_{n}}$:

${\displaystyle \mathbb {P} (\xi _{1}\in B_{1},\xi _{2}\in B_{2},\ldots ,\xi _{n}\in B_{n})=\prod _{k=1}^{n}\mathbb {P} (\xi _{k}\in B_{k})}$

Альтернативне означення Нехай дано сімейство випадкових величин ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$, отже ${\displaystyle X_{i}:\Omega \to \mathbb {R} ,\;\forall i\in I}$. Тоді ці випадкові величини попарно незалежні, якщо попарно незалежні породжені ними σ-алгебри ${\displaystyle \{\sigma (X_{i})\}_{i\in I}}$. Випадкові величини незалежні в сукупності, якщо такі породжені ними σ-алгебри.

Визначення, дане вище, еквівалентно будь-якому іншому з наведених нижче. Дві випадкові величини ${\displaystyle X,Y}$ незалежні тоді і лише тоді, коли:

• Для будь-яких ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$,

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A,Y\in B)=\mathbb {P} (X\in A)\cdot \mathbb {P} (Y\in B)}$;

• Для будь-яких борелівських функцій ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ випадкові величини ${\displaystyle f(X),g(Y)}$ незалежними;
• Для будь-яких обмежених борелівських функцій ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {E} \left[f(X)g(Y)\right]=\mathbb {E} \left[f(X)\right]\cdot \mathbb {E} \left[g(Y)\right]}$;

Властивості незалежних випадкових величин

Теорема про спадковість незалежності випадкових величин. Якщо ${\displaystyle \xi }$ та ${\displaystyle \eta }$ - незалежні випадкові величини, а ${\displaystyle f(\cdot ),g(\cdot )}$ - незалежні, невипадкові функції, які визначені на області можливих значень ${\displaystyle \xi }$ та ${\displaystyle \eta }$ відповідно, то ${\displaystyle f(\xi )}$ та ${\displaystyle g(\eta )}$ - незалежні випадкові величини.

• Нехай ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X,y}}$ - розподіл випадкового вектора ${\displaystyle (X,y)}$, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ - розподіл ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle \mathbb {P} ^{Y}}$ - розподіл ${\displaystyle Y}$. Тоді ${\displaystyle X,Y}$ незалежними тоді і лише тоді, коли

${\displaystyle \mathbb {P} ^{X,y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y}}$,

де ${\displaystyle \otimes }$ позначає (прямий) добуток мір;

• Нехай ${\displaystyle F_{X,y},F_{x},F_{y}}$ - кумулятивні функції розподілу ${\displaystyle (X,y),X,Y}$ відповідно. Тоді ${\displaystyle X,Y}$ незалежні тоді і лише тоді, коли

${\displaystyle F_{X,y}(x,y)=F_{x}(x)\cdot F_{y}(y)}$;

• Нехай випадкові величини ${\displaystyle X,Y}$ дискретні. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли

${\displaystyle \mathbb {P} (X=i,Y=j)=\mathbb {P} (X=i)\cdot \mathbb {P} (Y=j)}$.

• Нехай випадкові величини ${\displaystyle X,Y}$ спільно абсолютно безперервні тобто їх спільний розподіл має щільність ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y),\;\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$,

де ${\displaystyle f_{X}(x),f_{Y}(y)}$ - щільність випадкових величин ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ відповідно.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)