Дека́ртова систе́ма координа́т (або прямоку́тна систе́ма координа́т, англ. Cartesian coordinate system) — система координат, яка дозволяє однозначним чином визначити кожну точку на площині за допомогою пари числових координа́т, які задають знакові відстані до точки відносно двох визначених перпендикулярно спрямованих прямих, що задано в однакових одиницях довжини. Кожна така пряма, від якої відкладається відстань, називається віссю координат (англ. coordinate axis) або просто віссю системи, а точка, де вони перетинаються, називається початком координат, що має впорядковану пару координат (0, 0). Координати також можна визначати як положення ортогональних проєкцій точки на ці дві осі, що задаються як знакові відстані від початку координат.
Декартову систему координат вперше запропонував відомий французький математик Рене Декарт близько 1637 року в праці «Геометрія», одному з додатків до видатного філософського твору «Міркування про метод».
Аналогічний принцип можливо застосовувати для визначення положення будь-якої точки у три-вимірному просторі за допомогою трьох впорядкованих декартових координат: знакових відстаней від неї до трьох взаємно перпендикулярних площин (або, так само, за допомогою її ортогональних проєкцій на три взаємно перпендикулярні прямі). В загальному випадку, n декартових координат (елемент [en]) задають точку в n-вимірному евклідовому просторі будь-якої розмірності n. Ці координати дорівнюють, з точністю до знаку, відстаням від точки до n взаємно перпендикулярних гіперплощин.
Використовуючи декартову систему координат, геометричні фігури (а також криві) можливо описувати за допомогою алгебричних рівнянь, які містять координати точок, що належать фігурі. Наприклад, коло з радіусом 2, із центром у початку координат, можливо задати як множину всіх точок, координати x та y яких задовольняють рівнянню x2 + y2 = 4.
Декартова система координат є основою аналітичної геометрії, а також надає інструмент для розуміння геометричних інтерпретацій для багатьох інших галузей математики, таких як лінійна алгебра, комплексний аналіз, диференціальна геометрія, числення багатьох змінних, теорія груп та інші. Знайомим усім прикладом є поняття графіка функції. Декартова система координат є також важливим інструментом для багатьох прикладних дисциплін, які мають справу із геометрією, зокрема для астрономії, фізики, інженерії та багатьох інших. Вона також є найчастіше вживаною системою координат у комп'ютерній графіці, системах автоматизованого проектування та розрахунку та інших засобах з обчислювальної геометрії.
Двовимірна система координат
Вікіпідручник має книгу на тему Аналітична геометрія/Прямокутні декартові координати на площині/Визначення координат на площині |
Сучасна декартова система координат в двох вимірах (також знана під назвою прямокутна система координат) задається двома осями, розташованими під прямим кутом одна до одної. Площину, в якій знаходяться осі, називають іноді xy-площиною. Горизонтальну вісь позначають через x (вісь абсцис), вертикальну — через y (вісь ординат). У тривимірному просторі до цих двох додається третя вісь, перпендикулярна xy-площині — вісь z (аплікат). Всі точки в системі декартових координат, складають так званий декартів простір.
Точка перетину, де осі перетинаються, називається початком координат та позначається як O. Відповідно, вісь x може бути позначена як Ox, а вісь y — як Oy. Прямі, проведені паралельно до кожної осі на відстані одиничного відрізку (одиниці вимірювання довжини) починаючи з початку координат, формують координатну сітку.
Точка в двовимірній системі координат задається двома числами, які визначають відстань від осі Oy (абсциса або х-координата) та від осі Ох (ордината або y-координата) відповідно. Таким чином, координати формують впорядковану пару (кортеж) чисел (x, y). У тривимірному просторі додається ще z-координата (відстань точки від ху-площини), та формується впорядкована трійка координат (x, y, z).
Вибір букв x, y, z походить від загального правила найменування невідомих величин другою половиною латинського алфавіту. Букви першої його половини використовуються для іменування відомих величин.
Стрілки на осях відображають те, що вони простягаються до нескінечності в цьому напрямі.
Перетин двох осей створює чотири квадранти на координатній площині, які позначаються римськими цифрами I, II, III, та IV. Зазвичай порядок нумерації квадрантів — проти годинникової стрілки, починаючи з правого верхнього (тобто там, де абсциси та ординати — додатні числа). Значення, яких набувають абсциси та ординати в кожному квадранті, можна звести в наступну таблицю:
Квадрант | x | y |
---|---|---|
I | > 0 | > 0 |
II | < 0 | > 0 |
III | < 0 | < 0 |
IV | > 0 | < 0 |
Тривимірна та n-вимірна система координат
Координати в тривимірному просторі формують трійку (x, y, z).
Координати x, y, z для тривимірної декартової системи можна розуміти як відстані від точки до відповідних площин: yz, xz, та xy.
Тривимірна декартова система координат є дуже популярною, тому що відповідає звичним уявам про просторові виміри — висоту, ширину та довжину (тобто три виміри). Але залежно від галузі застосування та особливостей математичного апарату, сенс цих трьох осей може бути зовсім іншим.
Системи координат вищих розмірностей також застосовуються (наприклад, 4-вимірна система для зображення простору-часу в спеціальній теорії відносності).
Система декартових координат у абстрактному n-вимірному просторі є узагальненням викладених вище положень та має n осей (по кожній на вимір), що є взаємоперпендикулярні. Відповідно, положення точки в такому просторі буде визначатися кортежем з n координат, або n-кою.
Орієнтація осей
У тривимірних декартових координатах є неоднозначність: як тільки напрями осей x та у обрано, вісь z може бути направлена як в одну сторону від xy-площини, так і в іншу. Це потребує спеціального визначення поняття орієнтації системи координат. Для тривимірної системи ці дві можливості орієнтації осей прийнято називати «лівою» та «правою». Системи координат при цьому називають «лівою» та «правою» відповідно. Вони зображені на наступному малюнку. Права система координат характеризується тим, що з додатного напряму відповідних осей повороти від осей х до у, у до z, z до х відбуваються проти руху годинникової стрілки.
Загальноприйнятою вважається «права» орієнтація, хоча ліва теж застосовується.
Формули в декартовій системі на площині
Відстань між двома точками
Евклідовою відстанню між двома точками на площині, що мають декартові координати та , є
Це є версією теореми Піфагора у декартовій системі координат. У тривимірному просторі відстанню між точками та є
це рівняння можна отримати, якщо двічі послідовно застосувати теорему Піфагора.
Евклідові перетворення
[en] це (бієктивні) відображення точок евклідового простору в самих себе зі збереженням відстаней між точками. Існує чотири типи таких відображень (які також називають ізометрією): паралельне перенесення, обертання, відбиття і ковзна симетрія.
Перенесення
Паралельне перенесення множини точок на площині, що зберігає відстані й напрямки між ними, є аналогічним додаванню пари сталих чисел (a, b) до декартових координат кожної точки множини. Таким чином, якщо початковими координатами точки є (x, y), після перенесення вони будуть наступними:
Обертання
Для того, щоб обернути фігуру проти годинникової стрілки довкола початку координат на деякий кут , необхідно замінити кожну точку фігури із координатами (x,y) відповідною точкою із координатами (x',y'), де
Таким чином,
Відбиття
Якщо (x, y) є декартовими координатами точки, тоді (−x, y) є координатами її відбиття відносно другої осі координат (осі y), так ніби вона є дзеркалом. Аналогічно, (x, −y) є координатами відбиття точки відносно першої осі координат (осі x). У загальнішому випадку, відбиття відносно прямої лінії, що проходить через початок координат під кутом до осі x, рівнозначне заміні кожної точки із координатами (x, y) відповідними точками із координатами (x′,y′), де
Таким чином,
Ковзна симетрія
Ковзна симетрія є поєднанням відбиття відносно прямої лінії із наступним перенесенням в напрямку тієї лінії. Легко побачити, що порядок цих операцій не має значення (перенесення може бути першим, а за ним слідуватиме відбиття).
Загальний матричний вигляд перетворень
Ці всі евклідові перетворення на площині може бути описано однорідним способом за допомогою матриць. Результат застосування евклідового перетворення до точки можливо задати наступною формулою
де A є ортогональною матрицею 2×2, а b = (b1, b2) є довільною впорядкованою парою чисел, таких що,
де
- [Зверніть увагу, що вектор координат є рядком, а матриця записується праворуч.]
Аби матриця A вважалася ортогональною, вона повинна мати ортогональні рядки з однаковою евклідовою відстанню, що дорівнюватиме одиниці, тобто,
і
Це рівнозначне твердженню, що добуток A на її транспоновану матрицю мусить бути одиничною матрицею. Якщо ці умови не виконуються, то формула описує загальніше афінне перетворення на площині, за умови, що визначник матриці A не є нулем.
Ця формула визначає перенесення тоді й лише тоді, коли A є одиничною матрицею. Перетворення є обертанням довкола деякої точки тоді і лише тоді, коли A є матрицею повороту, що означає наступне:
Відбиття та ковзну симетрію буде отримувано тоді коли,
За умови, що паралельне перенесення не використовується, інші перетворення можна поєднувати простим множенням відповідних матриць перетворення.
Афінне перетворення
Іншим способом описувати перетворення координат в декартовій системі координат є використання афінних перетвореннь. При застосуванні афінних перетворень додають один додатковий вимір, а всім точкам в цьому додатковому вимірі надають значення 1. Перевагою цього методу є те, що паралельне перенесення точки можливо задавати в останньому стовпчику матриці A. Таким чином, усі евклідові перетворення можливо виконувати за допомогою множення матриці на точку. Афінне перетворення задається наступним чином:
- [Зауважте, що в даному випадку наведену вище матрицю A було транспоновано. Матрицю задано ліворуч, а для координат точки використано стовпчикові вектори.]
При використанні афінних перетворень кілька послідовних евклідових перетворень, в тому числі паралельне перенесення, можливо поєднувати простим множенням відповідних матриць.
Масштабування
Прикладом афінного перетворення, яке не є евклідовим перетворенням, є масштабування. Щоби збільшити або зменшити фігуру, необхідно помножити декартові координати кожної точки на однакове додатне число m. Якщо (x, y) є координатами точки початкової фігури, то відповідна точка масштабованої фігури матиме координати
Якщо значення m є більшим за 1, то фігуру буде збільшено, якщо значення m знаходиться між 0 і 1, то її буде зменшено.
Скіс
Перетворення скосу виглядатиме так, ніби верхівку квадрату потягли в сторону таким чином, що утвориться паралелограм. Горизонтальний скіс визначається наступним чином:
Скіс також можна застосувати й вертикально:
Додаткова інформація
З часів Декарта було розроблено багато інших систем координат. Один з важливих різновидів полярної систему координат, а саме сферичну систему координат застосовують в астрономії та навігації. В математиці нерідко переходять від однієї системи координат до іншої, в якій математична модель досліджуваної системи може бути набагато простішою. Доступний виклад основних систем координат в елементарній математиці можна знайти у статті Системи координат в елементарній математиці.
Див. також
Примітки
- Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus : Single and Multivariable (вид. 6). John wiley. ISBN . (англ.)
- Smart, 1998, Chap. 2
- Brannan, Esplen та Gray, 1998, pg. 49
Джерела
- Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN (англ.)
- Burton, David M. (2011), The History of Mathematics/An Introduction (вид. 7th), New York: McGraw-Hill, ISBN (англ.)
- Smart, James R. (1998), Modern Geometries (вид. 5th), Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN (англ.)
Посилання
- Прямокутні координати в просторі // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 79. — 594 с.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Deka rtova siste ma koordina t abo pryamoku tna siste ma koordina t angl Cartesian coordinate system sistema koordinat yaka dozvolyaye odnoznachnim chinom viznachiti kozhnu tochku na ploshini za dopomogoyu pari chislovih koordina t yaki zadayut znakovi vidstani do tochki vidnosno dvoh viznachenih perpendikulyarno spryamovanih pryamih sho zadano v odnakovih odinicyah dovzhini Kozhna taka pryama vid yakoyi vidkladayetsya vidstan nazivayetsya vissyu koordinat angl coordinate axis abo prosto vissyu sistemi a tochka de voni peretinayutsya nazivayetsya pochatkom koordinat sho maye vporyadkovanu paru koordinat 0 0 Koordinati takozh mozhna viznachati yak polozhennya ortogonalnih proyekcij tochki na ci dvi osi sho zadayutsya yak znakovi vidstani vid pochatku koordinat Demonstraciya dekartovih koordinat na ploshini Chotiri tochki vidmicheno j zadano yih vidpovidnimi koordinatami 2 3 zelenim 3 1 chervonim 1 5 2 5 sinim i pochatok koordinat 0 0 fioletovim Kolo iz radiusom 2 iz centrom v pochatku koordinat v dekartovij sistemi koordinat Rivnyannyam kola ye x a 2 y b 2 r2 de a i b ye koordinatami centra a b a r ye radiusom kola Dekartovu sistemu koordinat vpershe zaproponuvav vidomij francuzkij matematik Rene Dekart blizko 1637 roku v praci Geometriya odnomu z dodatkiv do vidatnogo filosofskogo tvoru Mirkuvannya pro metod Analogichnij princip mozhlivo zastosovuvati dlya viznachennya polozhennya bud yakoyi tochki u tri vimirnomu prostori za dopomogoyu troh vporyadkovanih dekartovih koordinat znakovih vidstanej vid neyi do troh vzayemno perpendikulyarnih ploshin abo tak samo za dopomogoyu yiyi ortogonalnih proyekcij na tri vzayemno perpendikulyarni pryami V zagalnomu vipadku n dekartovih koordinat element en zadayut tochku v n vimirnomu evklidovomu prostori bud yakoyi rozmirnosti n Ci koordinati dorivnyuyut z tochnistyu do znaku vidstanyam vid tochki do n vzayemno perpendikulyarnih giperploshin Vikoristovuyuchi dekartovu sistemu koordinat geometrichni figuri a takozh krivi mozhlivo opisuvati za dopomogoyu algebrichnih rivnyan yaki mistyat koordinati tochok sho nalezhat figuri Napriklad kolo z radiusom 2 iz centrom u pochatku koordinat mozhlivo zadati yak mnozhinu vsih tochok koordinati x ta y yakih zadovolnyayut rivnyannyu x2 y2 4 Dekartova sistema koordinat ye osnovoyu analitichnoyi geometriyi a takozh nadaye instrument dlya rozuminnya geometrichnih interpretacij dlya bagatoh inshih galuzej matematiki takih yak linijna algebra kompleksnij analiz diferencialna geometriya chislennya bagatoh zminnih teoriya grup ta inshi Znajomim usim prikladom ye ponyattya grafika funkciyi Dekartova sistema koordinat ye takozh vazhlivim instrumentom dlya bagatoh prikladnih disciplin yaki mayut spravu iz geometriyeyu zokrema dlya astronomiyi fiziki inzheneriyi ta bagatoh inshih Vona takozh ye najchastishe vzhivanoyu sistemoyu koordinat u komp yuternij grafici sistemah avtomatizovanogo proektuvannya ta rozrahunku ta inshih zasobah z obchislyuvalnoyi geometriyi Dvovimirna sistema koordinatVikipidruchnik maye knigu na temu Analitichna geometriya Pryamokutni dekartovi koordinati na ploshini Viznachennya koordinat na ploshiniTochka P maye koordinati 3 5 Suchasna dekartova sistema koordinat v dvoh vimirah takozh znana pid nazvoyu pryamokutna sistema koordinat zadayetsya dvoma osyami roztashovanimi pid pryamim kutom odna do odnoyi Ploshinu v yakij znahodyatsya osi nazivayut inodi xy ploshinoyu Gorizontalnu vis poznachayut cherez x vis abscis vertikalnu cherez y vis ordinat U trivimirnomu prostori do cih dvoh dodayetsya tretya vis perpendikulyarna xy ploshini vis z aplikat Vsi tochki v sistemi dekartovih koordinat skladayut tak zvanij dekartiv prostir Tochka peretinu de osi peretinayutsya nazivayetsya pochatkom koordinat ta poznachayetsya yak O Vidpovidno vis x mozhe buti poznachena yak Ox a vis y yak Oy Pryami provedeni paralelno do kozhnoyi osi na vidstani odinichnogo vidrizku odinici vimiryuvannya dovzhini pochinayuchi z pochatku koordinat formuyut koordinatnu sitku Tochka v dvovimirnij sistemi koordinat zadayetsya dvoma chislami yaki viznachayut vidstan vid osi Oy abscisa abo h koordinata ta vid osi Oh ordinata abo y koordinata vidpovidno Takim chinom koordinati formuyut vporyadkovanu paru kortezh chisel x y U trivimirnomu prostori dodayetsya she z koordinata vidstan tochki vid hu ploshini ta formuyetsya vporyadkovana trijka koordinat x y z Vibir bukv x y z pohodit vid zagalnogo pravila najmenuvannya nevidomih velichin drugoyu polovinoyu latinskogo alfavitu Bukvi pershoyi jogo polovini vikoristovuyutsya dlya imenuvannya vidomih velichin Strilki na osyah vidobrazhayut te sho voni prostyagayutsya do neskinechnosti v comu napryami Peretin dvoh osej stvoryuye chotiri kvadranti na koordinatnij ploshini yaki poznachayutsya rimskimi ciframi I II III ta IV Zazvichaj poryadok numeraciyi kvadrantiv proti godinnikovoyi strilki pochinayuchi z pravogo verhnogo tobto tam de abscisi ta ordinati dodatni chisla Znachennya yakih nabuvayut abscisi ta ordinati v kozhnomu kvadranti mozhna zvesti v nastupnu tablicyu Kvadrant x yI gt 0 gt 0II lt 0 gt 0III lt 0 lt 0IV gt 0 lt 0Trivimirna ta n vimirna sistema koordinatNa comu malyunku tochka P maye koordinati 3 0 5 a tochka Q koordinati 5 5 7 Koordinati v trivimirnomu prostori formuyut trijku x y z Koordinati x y z dlya trivimirnoyi dekartovoyi sistemi mozhna rozumiti yak vidstani vid tochki do vidpovidnih ploshin yz xz ta xy Trivimirna dekartova sistema koordinat ye duzhe populyarnoyu tomu sho vidpovidaye zvichnim uyavam pro prostorovi vimiri visotu shirinu ta dovzhinu tobto tri vimiri Ale zalezhno vid galuzi zastosuvannya ta osoblivostej matematichnogo aparatu sens cih troh osej mozhe buti zovsim inshim Sistemi koordinat vishih rozmirnostej takozh zastosovuyutsya napriklad 4 vimirna sistema dlya zobrazhennya prostoru chasu v specialnij teoriyi vidnosnosti Sistema dekartovih koordinat u abstraktnomu n vimirnomu prostori ye uzagalnennyam vikladenih vishe polozhen ta maye n osej po kozhnij na vimir sho ye vzayemoperpendikulyarni Vidpovidno polozhennya tochki v takomu prostori bude viznachatisya kortezhem z n koordinat abo n koyu Oriyentaciya osejLiva oriyentaciya zliva prava oriyentaciya sprava U trivimirnih dekartovih koordinatah ye neodnoznachnist yak tilki napryami osej x ta u obrano vis z mozhe buti napravlena yak v odnu storonu vid xy ploshini tak i v inshu Ce potrebuye specialnogo viznachennya ponyattya oriyentaciyi sistemi koordinat Dlya trivimirnoyi sistemi ci dvi mozhlivosti oriyentaciyi osej prijnyato nazivati livoyu ta pravoyu Sistemi koordinat pri comu nazivayut livoyu ta pravoyu vidpovidno Voni zobrazheni na nastupnomu malyunku Prava sistema koordinat harakterizuyetsya tim sho z dodatnogo napryamu vidpovidnih osej povoroti vid osej h do u u do z z do h vidbuvayutsya proti ruhu godinnikovoyi strilki Zagalnoprijnyatoyu vvazhayetsya prava oriyentaciya hocha liva tezh zastosovuyetsya Formuli v dekartovij sistemi na ploshiniVidstan mizh dvoma tochkami Evklidovoyu vidstannyu mizh dvoma tochkami na ploshini sho mayut dekartovi koordinati x1 y1 displaystyle x 1 y 1 ta x2 y2 displaystyle x 2 y 2 ye d x2 x1 2 y2 y1 2 displaystyle d sqrt x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 Ce ye versiyeyu teoremi Pifagora u dekartovij sistemi koordinat U trivimirnomu prostori vidstannyu mizh tochkami x1 y1 z1 displaystyle x 1 y 1 z 1 ta x2 y2 z2 displaystyle x 2 y 2 z 2 ye d x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 displaystyle d sqrt x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 ce rivnyannya mozhna otrimati yaksho dvichi poslidovno zastosuvati teoremu Pifagora Evklidovi peretvorennya en ce biyektivni vidobrazhennya tochok evklidovogo prostoru v samih sebe zi zberezhennyam vidstanej mizh tochkami Isnuye chotiri tipi takih vidobrazhen yaki takozh nazivayut izometriyeyu paralelne perenesennya obertannya vidbittya i kovzna simetriya Perenesennya Paralelne perenesennya mnozhini tochok na ploshini sho zberigaye vidstani j napryamki mizh nimi ye analogichnim dodavannyu pari stalih chisel a b do dekartovih koordinat kozhnoyi tochki mnozhini Takim chinom yaksho pochatkovimi koordinatami tochki ye x y pislya perenesennya voni budut nastupnimi x y x a y b displaystyle x y x a y b Obertannya Dlya togo shob obernuti figuru proti godinnikovoyi strilki dovkola pochatku koordinat na deyakij kut 8 displaystyle theta neobhidno zaminiti kozhnu tochku figuri iz koordinatami x y vidpovidnoyu tochkoyu iz koordinatami x y de x xcos 8 ysin 8 displaystyle x x cos theta y sin theta y xsin 8 ycos 8 displaystyle y x sin theta y cos theta Takim chinom x y xcos 8 ysin 8 xsin 8 ycos 8 displaystyle x y x cos theta y sin theta x sin theta y cos theta Vidbittya Yaksho x y ye dekartovimi koordinatami tochki todi x y ye koordinatami yiyi vidbittya vidnosno drugoyi osi koordinat osi y tak nibi vona ye dzerkalom Analogichno x y ye koordinatami vidbittya tochki vidnosno pershoyi osi koordinat osi x U zagalnishomu vipadku vidbittya vidnosno pryamoyi liniyi sho prohodit cherez pochatok koordinat pid kutom 8 displaystyle theta do osi x rivnoznachne zamini kozhnoyi tochki iz koordinatami x y vidpovidnimi tochkami iz koordinatami x y de x xcos 28 ysin 28 displaystyle x x cos 2 theta y sin 2 theta y xsin 28 ycos 28 displaystyle y x sin 2 theta y cos 2 theta Takim chinom x y xcos 28 ysin 28 xsin 28 ycos 28 displaystyle x y x cos 2 theta y sin 2 theta x sin 2 theta y cos 2 theta Kovzna simetriya Kovzna simetriya ye poyednannyam vidbittya vidnosno pryamoyi liniyi iz nastupnim perenesennyam v napryamku tiyeyi liniyi Legko pobachiti sho poryadok cih operacij ne maye znachennya perenesennya mozhe buti pershim a za nim sliduvatime vidbittya Zagalnij matrichnij viglyad peretvoren Ci vsi evklidovi peretvorennya na ploshini mozhe buti opisano odnoridnim sposobom za dopomogoyu matric Rezultat x y displaystyle x y zastosuvannya evklidovogo peretvorennya do tochki x y displaystyle x y mozhlivo zadati nastupnoyu formuloyu x y x y A b displaystyle x y x y A b de A ye ortogonalnoyu matriceyu 2 2 a b b1 b2 ye dovilnoyu vporyadkovanoyu paroyu chisel takih sho x xA11 yA21 b1 displaystyle x xA 11 yA 21 b 1 y xA12 yA22 b2 displaystyle y xA 12 yA 22 b 2 de A A11A12A21A22 displaystyle A begin pmatrix A 11 amp A 12 A 21 amp A 22 end pmatrix Zvernit uvagu sho vektor koordinat ye ryadkom a matricya zapisuyetsya pravoruch dd Abi matricya A vvazhalasya ortogonalnoyu vona povinna mati ortogonalni ryadki z odnakovoyu evklidovoyu vidstannyu sho dorivnyuvatime odinici tobto A11A21 A12A22 0 displaystyle A 11 A 21 A 12 A 22 0 i A112 A122 A212 A222 1 displaystyle A 11 2 A 12 2 A 21 2 A 22 2 1 Ce rivnoznachne tverdzhennyu sho dobutok A na yiyi transponovanu matricyu musit buti odinichnoyu matriceyu Yaksho ci umovi ne vikonuyutsya to formula opisuye zagalnishe afinne peretvorennya na ploshini za umovi sho viznachnik matrici A ne ye nulem Cya formula viznachaye perenesennya todi j lishe todi koli A ye odinichnoyu matriceyu Peretvorennya ye obertannyam dovkola deyakoyi tochki todi i lishe todi koli A ye matriceyu povorotu sho oznachaye nastupne A11A22 A21A12 1 displaystyle A 11 A 22 A 21 A 12 1 Vidbittya ta kovznu simetriyu bude otrimuvano todi koli A11A22 A21A12 1 displaystyle A 11 A 22 A 21 A 12 1 Za umovi sho paralelne perenesennya ne vikoristovuyetsya inshi peretvorennya mozhna poyednuvati prostim mnozhennyam vidpovidnih matric peretvorennya Afinne peretvorennya Inshim sposobom opisuvati peretvorennya koordinat v dekartovij sistemi koordinat ye vikoristannya afinnih peretvorenn Pri zastosuvanni afinnih peretvoren dodayut odin dodatkovij vimir a vsim tochkam v comu dodatkovomu vimiri nadayut znachennya 1 Perevagoyu cogo metodu ye te sho paralelne perenesennya tochki mozhlivo zadavati v ostannomu stovpchiku matrici A Takim chinom usi evklidovi peretvorennya mozhlivo vikonuvati za dopomogoyu mnozhennya matrici na tochku Afinne peretvorennya zadayetsya nastupnim chinom A11A21b1A12A22b2001 xy1 x y 1 displaystyle begin pmatrix A 11 amp A 21 amp b 1 A 12 amp A 22 amp b 2 0 amp 0 amp 1 end pmatrix begin pmatrix x y 1 end pmatrix begin pmatrix x y 1 end pmatrix Zauvazhte sho v danomu vipadku navedenu vishe matricyu A bulo transponovano Matricyu zadano livoruch a dlya koordinat tochki vikoristano stovpchikovi vektori dd Pri vikoristanni afinnih peretvoren kilka poslidovnih evklidovih peretvoren v tomu chisli paralelne perenesennya mozhlivo poyednuvati prostim mnozhennyam vidpovidnih matric Masshtabuvannya Prikladom afinnogo peretvorennya yake ne ye evklidovim peretvorennyam ye masshtabuvannya Shobi zbilshiti abo zmenshiti figuru neobhidno pomnozhiti dekartovi koordinati kozhnoyi tochki na odnakove dodatne chislo m Yaksho x y ye koordinatami tochki pochatkovoyi figuri to vidpovidna tochka masshtabovanoyi figuri matime koordinati x y mx my displaystyle x y mx my Yaksho znachennya m ye bilshim za 1 to figuru bude zbilsheno yaksho znachennya m znahoditsya mizh 0 i 1 to yiyi bude zmensheno Skis Peretvorennya skosu viglyadatime tak nibi verhivku kvadratu potyagli v storonu takim chinom sho utvoritsya paralelogram Gorizontalnij skis viznachayetsya nastupnim chinom x y x ys y displaystyle x y x ys y Skis takozh mozhna zastosuvati j vertikalno x y x xs y displaystyle x y x xs y Dodatkova informaciyaZ chasiv Dekarta bulo rozrobleno bagato inshih sistem koordinat Odin z vazhlivih riznovidiv polyarnoyi sistemu koordinat a same sferichnu sistemu koordinat zastosovuyut v astronomiyi ta navigaciyi V matematici neridko perehodyat vid odniyeyi sistemi koordinat do inshoyi v yakij matematichna model doslidzhuvanoyi sistemi mozhe buti nabagato prostishoyu Dostupnij viklad osnovnih sistem koordinat v elementarnij matematici mozhna znajti u statti Sistemi koordinat v elementarnij matematici Div takozhSistemi koordinat Polyarna sistema koordinat Dekartiv dobutokPrimitkiHughes Hallett Deborah McCallum William G Gleason Andrew M 2013 Calculus Single and Multivariable vid 6 John wiley ISBN 978 0470 88861 2 angl Smart 1998 Chap 2 Brannan Esplen ta Gray 1998 pg 49DzherelaBrannan David A Esplen Matthew F Gray Jeremy J 1998 Geometry Cambridge Cambridge University Press ISBN 0 521 59787 0 angl Burton David M 2011 The History of Mathematics An Introduction vid 7th New York McGraw Hill ISBN 978 0 07 338315 6 angl Smart James R 1998 Modern Geometries vid 5th Pacific Grove Brooks Cole ISBN 0 534 35188 3 angl PosilannyaPryamokutni koordinati v prostori Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 79 594 s Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi