Парадокс Банаха — Тарського, або парадокс подвоєння кулі, стверджує, що тривимірна куля рівноскладена двом своїм копіям.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemMwTDBKaGJtRmphQzFVWVhKemEybGZVR0Z5WVdSdmVDNXpkbWN2TXpVd2NIZ3RRbUZ1WVdOb0xWUmhjbk5yYVY5UVlYSmhaRzk0TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Дві підмножини евклідового простору називаються рівноскладеними, якщо одну можна розбити на скінченне число «шматків» і скласти з них другу. При цьому для подвоєння кулі достатньо п'яти шматків, але чотирьох — ні.
Точніше, дві множини і є рівноскладеними, якщо їх можна представити як скінченне об'єднання підмножин без перетинів , так, що для кожного підмножина конгруентна .
Дійсний також сильніший варіант парадоксу:
Будь-які дві обмежені підмножини евклідового простору з непорожньою внутрішністю є рівноскладеними. |
Зважаючи на його неправдоподібність, цей парадокс часто використовують як аргумент проти прийняття аксіоми вибору, яка істотно використовується для побудови такого розбиття. Прийняття відповідної альтернативної аксіоми дозволяє довести неможливість зазначеного розбиття, не залишаючи місця для цього парадоксу.
Парадокс був відкритий 1926 року Стефаном Банахом і Альфредом Тарським. Дуже подібний на більш ранній парадокс Гаусдорфа, і його доведення засноване на тій самій ідеї. Тому правильніше називати Парадокс Банаха — Тарського парадоксом Гаусдорфа — Банаха — Тарського.
Значення для теорії міри
Розділяючи кулю на скінченне число частин, ми інтуїтивно очікуємо, що, складаючи ці частини разом, можна отримати тільки суцільні фігури, об'єм яких в сумі рівний об'єму вихідної кулі. Однак це справедливо лише в разі, коли куля ділиться на частини, що мають об'єм. Суть парадоксу полягає в тому, що в тривимірному просторі існують невимірні множини, які не мають об'єму, якщо під об'ємом ми розуміємо те, що має властивість адитивності, і припускаємо, що об'єми двох конгруентних множин рівні. Очевидно, що «шматки» в такому розбитті не можуть бути вимірними (і неможливо здійснити таке розбиття будь-якими засобами на практиці).
Для плоского круга аналогічна теорема не дійсна. Більш того, Банах показав, що на площині поняття площі може бути продовжене на всі обмежені множини як , інваріантна щодо рухів; зокрема, будь-яка множина, рівноскладена кругу, має ту саму площу. Гаусдорф показав, що подібне зробити не можна на двовимірній сфері і, отже, у тривимірному просторі, і парадокс Банаха — Тарського дає цьому наочну ілюстрацію.
Тим не менш, деякі парадоксальні розбиття можливі й на площині: круг можна розбити на скінченне число (вистачає 1050) частин і скласти з них квадрат рівної площі, при цьому можливо переміщати частини тільки за допомогою паралельних перенесень (див. Квадратура круга Тарського).
Посилання
- Miklos Laczkovich: «Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem», Crelle's Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 (1990) pp. 77-117.
- Miklos Laczkovich: «Paradoxical decompositions: a survey of recent results.» First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), pp. 159—184, Progr. Math., 120, Birkh.user, Basel, 1994.
Література
- Ця побудова дуже докладно описана в книзі Ященко, И. В. Парадоксы теории множеств // Библиотека «Математическое просвещение». — вып. 20. — 2002. — с. 40. — .
- Wapner, Leonard M. The Pea and the Sun: A Mathematical Paradox (2005)(англ.)
- Wagon, S. The Banach — Tarski Paradox (1993)(англ.)
- Оригінальна стаття Банаха і Тарского: Banach, S., Tarski, A. Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes // Fundamenta Mathematicae. — № 6. — 1924. — pp. 244—277.(фр.)
- Hausdorff, F. // Mathematische Annalen. — vol 75. — 1914. — pp. 428—434.
- Секей, Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. — М. : РХД, 2003. — 271 с. — .
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Paradoks Banaha Tarskogo abo paradoks podvoyennya kuli stverdzhuye sho trivimirna kulya rivnoskladena dvom svoyim kopiyam Kulyu mozhna rozbiti na shmatki i zibrati z nih dvi taki sami kuli Dvi pidmnozhini evklidovogo prostoru nazivayutsya rivnoskladenimi yaksho odnu mozhna rozbiti na skinchenne chislo shmatkiv i sklasti z nih drugu Pri comu dlya podvoyennya kuli dostatno p yati shmatkiv ale chotiroh ni Tochnishe dvi mnozhini A displaystyle A i B displaystyle B ye rivnoskladenimi yaksho yih mozhna predstaviti yak skinchenne ob yednannya pidmnozhin bez peretiniv A inAi displaystyle A bigcup i n A i B inBi displaystyle B bigcup i n B i tak sho dlya kozhnogo i displaystyle i pidmnozhina Ai displaystyle A i kongruentna Bi displaystyle B i Dijsnij takozh silnishij variant paradoksu Bud yaki dvi obmezheni pidmnozhini evklidovogo prostoru z neporozhnoyu vnutrishnistyu ye rivnoskladenimi Zvazhayuchi na jogo nepravdopodibnist cej paradoks chasto vikoristovuyut yak argument proti prijnyattya aksiomi viboru yaka istotno vikoristovuyetsya dlya pobudovi takogo rozbittya Prijnyattya vidpovidnoyi alternativnoyi aksiomi dozvolyaye dovesti nemozhlivist zaznachenogo rozbittya ne zalishayuchi miscya dlya cogo paradoksu Paradoks buv vidkritij 1926 roku Stefanom Banahom i Alfredom Tarskim Duzhe podibnij na bilsh rannij paradoks Gausdorfa i jogo dovedennya zasnovane na tij samij ideyi Tomu pravilnishe nazivati Paradoks Banaha Tarskogo paradoksom Gausdorfa Banaha Tarskogo Znachennya dlya teoriyi miriRozdilyayuchi kulyu na skinchenne chislo chastin mi intuyitivno ochikuyemo sho skladayuchi ci chastini razom mozhna otrimati tilki sucilni figuri ob yem yakih v sumi rivnij ob yemu vihidnoyi kuli Odnak ce spravedlivo lishe v razi koli kulya dilitsya na chastini sho mayut ob yem Sut paradoksu polyagaye v tomu sho v trivimirnomu prostori isnuyut nevimirni mnozhini yaki ne mayut ob yemu yaksho pid ob yemom mi rozumiyemo te sho maye vlastivist aditivnosti i pripuskayemo sho ob yemi dvoh kongruentnih mnozhin rivni Ochevidno sho shmatki v takomu rozbitti ne mozhut buti vimirnimi i nemozhlivo zdijsniti take rozbittya bud yakimi zasobami na praktici Dlya ploskogo kruga analogichna teorema ne dijsna Bilsh togo Banah pokazav sho na ploshini ponyattya ploshi mozhe buti prodovzhene na vsi obmezheni mnozhini yak invariantna shodo ruhiv zokrema bud yaka mnozhina rivnoskladena krugu maye tu samu ploshu Gausdorf pokazav sho podibne zrobiti ne mozhna na dvovimirnij sferi i otzhe u trivimirnomu prostori i paradoks Banaha Tarskogo daye comu naochnu ilyustraciyu Tim ne mensh deyaki paradoksalni rozbittya mozhlivi j na ploshini krug mozhna rozbiti na skinchenne chislo vistachaye 1050 chastin i sklasti z nih kvadrat rivnoyi ploshi pri comu mozhlivo peremishati chastini tilki za dopomogoyu paralelnih perenesen div Kvadratura kruga Tarskogo PosilannyaMiklos Laczkovich Equidecomposability and discrepancy a solution to Tarski s circle squaring problem Crelle s Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 1990 pp 77 117 Miklos Laczkovich Paradoxical decompositions a survey of recent results First European Congress of Mathematics Vol II Paris 1992 pp 159 184 Progr Math 120 Birkh user Basel 1994 LiteraturaCya pobudova duzhe dokladno opisana v knizi Yashenko I V Paradoksy teorii mnozhestv Biblioteka Matematicheskoe prosveshenie vyp 20 2002 s 40 ISBN 5 94057 003 8 Wapner Leonard M The Pea and the Sun A Mathematical Paradox 2005 angl Wagon S The Banach Tarski Paradox 1993 angl Originalna stattya Banaha i Tarskogo Banach S Tarski A Sur la decomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes Fundamenta Mathematicae 6 1924 pp 244 277 fr Hausdorff F Mathematische Annalen vol 75 1914 pp 428 434 Sekej G Paradoksy v teorii veroyatnostej i matematicheskoj statistike M RHD 2003 271 s ISBN 5 93972 150 8 Div takozhSpisok ob yektiv nazvanih na chest Stefana Banaha Gipoteza fon Nejmana