В математичній оптимізації, статистиці, теорії рішень та машинному навчанні фу́нкція втрат (англ. loss function) або фу́нкція витра́т (англ. cost function) — це функція, яка відображує подію, або значення однієї чи декількох величин, на дійсне число, яке інтуїтивно представляє якісь «витрати», пов'язані з цією подією. Задача оптимізації намагається функцію втрат мінімізувати. Цільова́ фу́нкція (англ. objective function) є або функцією втрат, або протилежною їй (яку іноді називають функцією винагороди, [en], функцією корисності, функцією допасованості тощо), в разі чого вона підлягає максимізації.
У статистиці функція втрат, як правило, використовується для оцінювання параметрів, а подія, яка розглядається, є певною функцією відмінності між розрахунковими та істинними значеннями для зразка даних. Це поняття, старе як Лаплас, було повторно введено до статистики Абрахамом Валдом в середині XX століття. В контексті економіки, наприклад, воно зазвичай є [en] або смутком. У класифікації воно є штрафом за неправильну класифікацію прикладу. В актуарній науці воно використовується в контексті страхування для моделювання виплат над страховими преміями, особливо з часів праць [en] 1920-х років. В оптимальному керуванні втрати є штрафом за невдачу в досягненні бажаного значення. В управлінні фінансовими ризиками ця функція точно відображається на грошові втрати.
Використання в статистиці
Оцінювання параметрів для задач керованого навчання, таких як регресія або класифікація, може бути сформульовано як мінімізацію функції втрат над тренувальним набором. Метою оцінювання є знаходження функції, яка добре моделює свій вхід: при застосуванні її до тренувального набору вона повинна передбачати значення (або мітки класів), пов'язані зі зразками в цьому наборі. Функція втрат здійснює чисельну оцінку величини, на яку передбачення відхиляється від дійсних значень.
Визначення
Формально, ми починаємо з розгляду деякого сімейства розподілів для випадкової величини X, проіндексованого деякою θ.
Інтуїтивно, ми можемо розглядати X як наші «дані», можливо, , де
є НОР. X є набором речей, про які [en] ухвалюватиме рішення. Існує якесь число можливих шляхів
моделювання наших даних X, які наша функція рішення може використовувати для ухвалення рішень. При скінченному числі моделей ми можемо розглядати θ як індекс у цьому сімействі ймовірнісних моделей. При нескінченному числі моделей вона є набором параметрів цього сімейства розподілів.
На практиці, важливо розуміти, що хоча й заманливо думати про функції втрат як про обов'язково параметричні (оскільки здається, що вони приймають θ як «параметр»), факт нескінченної вимірності θ цілком несумісний з цим записом; наприклад, якщо сімейство функцій імовірності є незліченно нескінченним, то θ індексує незліченно нескінченний простір.
Звідси, для заданої множини A можливих дій, [en] (англ. decision rule) є функцією δ : → A.
Фу́нкція втрат є дійснозначною обмеженою знизу функцією L на Θ × A для деякого θ ∈ Θ. Значення L(θ, δ(X)) є витратами на дію δ(X) за параметра θ.
Очікувані втрати
Значення функції втрат само по собі є випадковою величиною, оскільки воно залежить від виходу випадкової величини X. Як частотна, так і баєсова статистичні теорії включають здійснення рішень на основі математичного сподівання функції втрат: проте, ця величина за цих двох парадигм визначається по-різному.
Частотні очікувані втрати
Спочатку ми визначаємо очікувані втрати в частотному контексті. Вони отримуються взяттям математичного сподівання по відношенню до розподілу ймовірності Pθ спостережуваних даних X. Це також називають фу́нкцією ри́зику (англ. risk function) правила вирішування δ та параметру θ. Тут правило вирішування залежить від виходу X. Функція ризику задається як
Тут θ є фіксованим але можливо невідомим станом природи, X є вектором спостережень, які стохастично вибираються з генеральної сукупності, є математичним сподіванням над всіма значеннями генеральної сукупності X, dPθ є мірою ймовірності над простором подій X (параметризованою за θ), а інтеграл обчислюється над усім [en] X.
Баєсові очікувані втрати
У баєсовому підході це математичне сподівання обчислюється із застосуванням апостеріорного розподілу π* параметра θ:
.
Потім потрібно обрати дію a*, яка мінімізує очікувані втрати. І хоча це й призведе в результаті до обрання тієї ж дії, яку було би обрано і з застосуванням частотного ризику, акцент баєсового підходу полягає в тому, що цікавить лише обрання оптимальної дії за фактичних спостережуваних даних, тоді як обрання фактичного частотного оптимального правила вирішування, яке є функцією від усіх можливих спостережень, є значно складнішою задачею.
Економічний вибір за непевності
В економіці ухвалення рішень за умов непевності часто моделюють із застосуванням функції корисності фон Неймана — Морґенштерна від непевної величини, яка становить інтерес, такої як багатство на кінець періоду. Оскільки значення цієї величини є непевним, таким є й значення функції корисності; це математичне сподівання корисності, яке максимізують.
Приклади
- Для скалярного параметру θ, функції вирішування, чий вихід
є оцінкою θ, та квадратичної функції втрат
- функція ризику стає середньоквадратичною похибкою цієї оцінки,
- В оцінці густини невідомий параметр сам є густиною ймовірності. Як функцію втрат зазвичай обирають норму відповідного функційного простору. Наприклад, для норми L2
- функція ризику стає [en]
Правила вирішування
Правило вирішування здійснює вибір, використовуючи критерій оптимальності. Деякими часто використовуваними критеріями є:
- Мініма́кс: Обирати правило вирішування з найнижчими найгіршими втратами — тобто, мінімізувати втрати в найгіршому випадку (максимально можливі):
- [en]: Обирати оптимальне правило вирішування, яке задовольняє вимогу інваріантності.
- Обирати правило вирішування з найнижчими усередненими втратами (тобто, максимізувати математичне сподівання функції втрат):
Вибір функції втрат
Правильна статистична практика вимагає вибирання оцінки відповідно до фактичної прийнятної дисперсії, напрактикованої в контексті конкретної прикладної задачі. Таким чином, в прикладному застосуванні функцій втрат вибирання того, який статистичний метод використовувати для моделювання прикладної задачі, залежить від знання втрат, з якими доведеться стикнутися в разі помилки за конкретних обставин задачі.
Типовий приклад стосується оцінювання «положення». За типових статистичних припущень середнє або усереднене значення — це статистика для оцінювання положення, яка мінімізує очікувані втрати, що виникають за функції втрат квадратичної похибки, тоді як медіана є оцінювачем, який мінімізує очікувані втрати за функції втрат абсолютної різниці. Проте за інших, менш поширених обставин оптимальними будуть інші оцінювачі.
В економіці, коли агент є [en], цільова функція виражається просто в грошовому вираженні, такому як прибуток, дохід або багатство на кінець періоду.
Але для агентів з [en] (або з [en]) втрати вимірюються як від'ємна функція корисності, яка представляє задоволення, і зазвичай інтерпретується радше в порядкових, ніж у [en] (абсолютних) термінах.
Можливі й інші міри витрат, наприклад, смертність або Захворюваність в галузі соціальної медицини або техніки безпеки.
Для більшості алгоритмів оптимізації бажано мати таку функцію втрат, яка є всюди неперервною та диференційовною.
Двома дуже часто застосовуваними функціями втрат є квадратичні втрати та абсолютні втрати
. Проте абсолютні втрати мають той недолік, що вони не диференційовні в
. Квадратичні ж втрати мають той недолік, що в них є схильність віддавати перевагу викидам — при підсумовуванні над множиною
(як у
) остаточна сума схильна бути радше результатом декількох особливо великих значень
, аніж вираженням усередненого значення
.
Вибір функції втрат не є довільним. Він має дуже обмежувальний характер, а іноді функції втрат можуть зображуватися їхніми бажаними властивостями. Серед принципів вибору є, наприклад, вимога повноти класу симетричних статистик у випадку НОР спостережень, принцип повної інформації та деякі інші.
Функції втрат у баєсовій статистиці
Одним із наслідків баєсового висновування є те, що, на додачу до експериментальних даних, функція втрат сама по собі не визначає рішення повністю. Що важливе, так це взаємозв'язок між функцією втрат та апостеріорною ймовірністю. Тому можливо мати дві різні функції втрат, які ведуть до одного й того ж рішення, коли апріорні розподіли ймовірності, пов'язані з кожною, компенсують тонкощі кожної з функцій втрат.[]
Поєднання трьох елементів апріорної ймовірності, даних та функції втрат відтак уможливлює рішення на основі макзимізації суб'єктивної очікуваної корисності, поняття, введеного .[]
Смуток
Севідж також стверджував, що при застосуванні небаєсових методів, таких як мінімакс, функція втрат повинна ґрунтуватися на ідеї смутку (англ. regret), тобто, втрати, пов'язані з рішенням, повинні бути різницею між наслідками найкращого рішення, яке могло би бути зроблено, якби обставини для його обґрунтування були відомими, та рішення, яке в дійсності було зроблено, перш ніж вони стали відомими.
Квадратична функція втрат
Застосування квадратичної функції втрат є поширеним, наприклад, при застосуванні методів найменших квадратів. Вона часто краще піддається математичній обробці, ніж інші функції втрат, завдяки властивостям дисперсій, а також завдяки своїй симетричності: похибка перевищення цілі спричиняє такі ж втрати, як і похибка такої ж величини недотягування до цілі. Якщо ціллю є t, то квадратичною функцією втрат є
для деякої сталої C; значення цієї сталої не впливає на рішення, і може бути знехтуване встановленням його в 1.
Багато поширених статистик, включно з t-критеріями, регресійними моделями, плануваннями експериментів та багатьма іншими, використовують методи найменших квадратів при застосуванні теорії лінійної регресії, яка ґрунтується на квадратичній функції втрат.
Квадратична функція втрат також використовується в [en]. В цих задачах, навіть за відсутності непевності, може бути неможливо досягти бажаних значень всіх цільових величин. Втрати часто виражають як квадратичну форму у відхиленнях величин, які цікавлять, від їхніх бажаних значень; цей підхід є піддатливим, оскільки він дає в результаті лінійні [en]. В контексті [en] застосовується математичне сподівання квадратичної форми.
Функція втрат 0-1
У статистиці та теорії рішень часто застосовуваною функцією втрат є функція втрат 0-1 (англ. 0-1 loss function)
де є індикаторною функцією.
Див. також
- Функції втрат для класифікації
- [en]
- Завісні втрати
- [en]
Примітки
- Wald, A. (1950). Statistical Decision Functions. Wiley. (англ.)
- Cramér, H. (1930). On the mathematical theory of risk.
{{}}
: Проігноровано|work=
() (англ.) - Nikulin, M.S. (2001), function Loss function, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN (англ.)
- Nikulin, M.S. (2001), of a statistical procedure Risk of a statistical procedure, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN (англ.)
- (1985). Statistical decision theory and Bayesian Analysis (вид. 2nd). New York: Springer-Verlag. ISBN . MR 0804611. (англ.)
- (2004) [1970]. Optimal Statistical Decisions. Wiley Classics Library. ISBN . MR 2288194. (англ.)
- Robert, Christian P. (2007). The Bayesian Choice (вид. 2nd). New York: Springer. doi:10.1007/0-387-71599-1. ISBN . MR 1835885. (англ.)
- Pfanzagl, J. (1994). Parametric Statistical Theory. Berlin: Walter de Gruyter. ISBN . (англ.)
- Докладну інформацію про математичні принципи вибору функції втрат наведено в главі 2 книги Klebanov, B.; Rachev, Svetlozat T.; Fabozzi, Frank J. (2009). Robust and Non-Robust Models in Statistics. New York: Nova Scientific Publishers, Inc. (та в посиланнях з неї). (англ.)
Література
- Aretz, Kevin; Bartram, Söhnke M.; Pope, Peter F. (April–June 2011). Asymmetric Loss Functions and the Rationality of Expected Stock Returns. International Journal of Forecasting. 27 (2): 413—437. doi:10.1016/j.ijforecast.2009.10.008. (англ.)
- (1985). Statistical decision theory and Bayesian Analysis (вид. 2nd). New York: Springer-Verlag. ISBN . MR 0804611. (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Funkciya vitrat V matematichnij optimizaciyi statistici teoriyi rishen ta mashinnomu navchanni fu nkciya vtrat angl loss function abo fu nkciya vitra t angl cost function ce funkciya yaka vidobrazhuye podiyu abo znachennya odniyeyi chi dekilkoh velichin na dijsne chislo yake intuyitivno predstavlyaye yakis vitrati pov yazani z ciyeyu podiyeyu Zadacha optimizaciyi namagayetsya funkciyu vtrat minimizuvati Cilova fu nkciya angl objective function ye abo funkciyeyu vtrat abo protilezhnoyu yij yaku inodi nazivayut funkciyeyu vinagorodi en funkciyeyu korisnosti funkciyeyu dopasovanosti tosho v razi chogo vona pidlyagaye maksimizaciyi U statistici funkciya vtrat yak pravilo vikoristovuyetsya dlya ocinyuvannya parametriv a podiya yaka rozglyadayetsya ye pevnoyu funkciyeyu vidminnosti mizh rozrahunkovimi ta istinnimi znachennyami dlya zrazka danih Ce ponyattya stare yak Laplas bulo povtorno vvedeno do statistiki Abrahamom Valdom v seredini XX stolittya V konteksti ekonomiki napriklad vono zazvichaj ye en abo smutkom U klasifikaciyi vono ye shtrafom za nepravilnu klasifikaciyu prikladu V aktuarnij nauci vono vikoristovuyetsya v konteksti strahuvannya dlya modelyuvannya viplat nad strahovimi premiyami osoblivo z chasiv prac en 1920 h rokiv V optimalnomu keruvanni vtrati ye shtrafom za nevdachu v dosyagnenni bazhanogo znachennya V upravlinni finansovimi rizikami cya funkciya tochno vidobrazhayetsya na groshovi vtrati Vikoristannya v statisticiOcinyuvannya parametriv dlya zadach kerovanogo navchannya takih yak regresiya abo klasifikaciya mozhe buti sformulovano yak minimizaciyu funkciyi vtrat nad trenuvalnim naborom Metoyu ocinyuvannya ye znahodzhennya funkciyi yaka dobre modelyuye svij vhid pri zastosuvanni yiyi do trenuvalnogo naboru vona povinna peredbachati znachennya abo mitki klasiv pov yazani zi zrazkami v comu nabori Funkciya vtrat zdijsnyuye chiselnu ocinku velichini na yaku peredbachennya vidhilyayetsya vid dijsnih znachen Viznachennya Formalno mi pochinayemo z rozglyadu deyakogo simejstva rozpodiliv dlya vipadkovoyi velichini X proindeksovanogo deyakoyu 8 Intuyitivno mi mozhemo rozglyadati X yak nashi dani mozhlivo X X 1 X n displaystyle X X 1 ldots X n de X i F 8 displaystyle X i sim F theta ye NOR X ye naborom rechej pro yaki en uhvalyuvatime rishennya Isnuye yakes chislo mozhlivih shlyahiv F 8 displaystyle F theta modelyuvannya nashih danih X yaki nasha funkciya rishennya mozhe vikoristovuvati dlya uhvalennya rishen Pri skinchennomu chisli modelej mi mozhemo rozglyadati 8 yak indeks u comu simejstvi jmovirnisnih modelej Pri neskinchennomu chisli modelej vona ye naborom parametriv cogo simejstva rozpodiliv Na praktici vazhlivo rozumiti sho hocha j zamanlivo dumati pro funkciyi vtrat yak pro obov yazkovo parametrichni oskilki zdayetsya sho voni prijmayut 8 yak parametr fakt neskinchennoyi vimirnosti 8 cilkom nesumisnij z cim zapisom napriklad yaksho simejstvo funkcij imovirnosti ye nezlichenno neskinchennim to 8 indeksuye nezlichenno neskinchennij prostir Zvidsi dlya zadanoyi mnozhini A mozhlivih dij en angl decision rule ye funkciyeyu d X displaystyle scriptstyle mathcal X A Fu nkciya vtrat ye dijsnoznachnoyu obmezhenoyu znizu funkciyeyu L na 8 A dlya deyakogo 8 8 Znachennya L 8 d X ye vitratami na diyu d X za parametra 8 Ochikuvani vtratiZnachennya funkciyi vtrat samo po sobi ye vipadkovoyu velichinoyu oskilki vono zalezhit vid vihodu vipadkovoyi velichini X Yak chastotna tak i bayesova statistichni teoriyi vklyuchayut zdijsnennya rishen na osnovi matematichnogo spodivannya funkciyi vtrat prote cya velichina za cih dvoh paradigm viznachayetsya po riznomu Chastotni ochikuvani vtrati Spochatku mi viznachayemo ochikuvani vtrati v chastotnomu konteksti Voni otrimuyutsya vzyattyam matematichnogo spodivannya po vidnoshennyu do rozpodilu jmovirnosti P8 sposterezhuvanih danih X Ce takozh nazivayut fu nkciyeyu ri ziku angl risk function pravila virishuvannya d ta parametru 8 Tut pravilo virishuvannya zalezhit vid vihodu X Funkciya riziku zadayetsya yak R 8 d E 8 L 8 d X X L 8 d x d P 8 x displaystyle R theta delta mathbb E theta L big theta delta X big int X L big theta delta x big operatorname d P theta x Tut 8 ye fiksovanim ale mozhlivo nevidomim stanom prirodi X ye vektorom sposterezhen yaki stohastichno vibirayutsya z generalnoyi sukupnosti E 8 displaystyle mathbb E theta ye matematichnim spodivannyam nad vsima znachennyami generalnoyi sukupnosti X dP8 ye miroyu jmovirnosti nad prostorom podij X parametrizovanoyu za 8 a integral obchislyuyetsya nad usim en X Bayesovi ochikuvani vtrati U bayesovomu pidhodi ce matematichne spodivannya obchislyuyetsya iz zastosuvannyam aposteriornogo rozpodilu p parametra 8 r p a 8 L 8 a d p 8 displaystyle rho pi a int Theta L theta a operatorname d pi theta Potim potribno obrati diyu a yaka minimizuye ochikuvani vtrati I hocha ce j prizvede v rezultati do obrannya tiyeyi zh diyi yaku bulo bi obrano i z zastosuvannyam chastotnogo riziku akcent bayesovogo pidhodu polyagaye v tomu sho cikavit lishe obrannya optimalnoyi diyi za faktichnih sposterezhuvanih danih todi yak obrannya faktichnogo chastotnogo optimalnogo pravila virishuvannya yake ye funkciyeyu vid usih mozhlivih sposterezhen ye znachno skladnishoyu zadacheyu Ekonomichnij vibir za nepevnosti V ekonomici uhvalennya rishen za umov nepevnosti chasto modelyuyut iz zastosuvannyam funkciyi korisnosti fon Nejmana Morgenshterna vid nepevnoyi velichini yaka stanovit interes takoyi yak bagatstvo na kinec periodu Oskilki znachennya ciyeyi velichini ye nepevnim takim ye j znachennya funkciyi korisnosti ce matematichne spodivannya korisnosti yake maksimizuyut Prikladi Dlya skalyarnogo parametru 8 funkciyi virishuvannya chij vihid 8 displaystyle hat theta ye ocinkoyu 8 ta kvadratichnoyi funkciyi vtrat L 8 8 8 8 2 displaystyle L theta hat theta theta hat theta 2 dd funkciya riziku staye serednokvadratichnoyu pohibkoyu ciyeyi ocinki R 8 8 E 8 8 8 2 displaystyle R theta hat theta E theta theta hat theta 2 dd V ocinci gustini nevidomij parametr sam ye gustinoyu jmovirnosti Yak funkciyu vtrat zazvichaj obirayut normu vidpovidnogo funkcijnogo prostoru Napriklad dlya normi L2 L f f f f 2 2 displaystyle L f hat f f hat f 2 2 dd funkciya riziku staye en R f f E f f 2 displaystyle R f hat f E f hat f 2 dd Pravila virishuvannyaPravilo virishuvannya zdijsnyuye vibir vikoristovuyuchi kriterij optimalnosti Deyakimi chasto vikoristovuvanimi kriteriyami ye Minima ks Obirati pravilo virishuvannya z najnizhchimi najgirshimi vtratami tobto minimizuvati vtrati v najgirshomu vipadku maksimalno mozhlivi a r g m i n d max 8 8 R 8 d displaystyle underset delta operatorname arg min max theta in Theta R theta delta dd en Obirati optimalne pravilo virishuvannya yake zadovolnyaye vimogu invariantnosti Obirati pravilo virishuvannya z najnizhchimi userednenimi vtratami tobto maksimizuvati matematichne spodivannya funkciyi vtrat a r g m i n d E 8 8 R 8 d a r g m i n d 8 8 R 8 d p 8 d 8 displaystyle underset delta operatorname arg min mathbb E theta in Theta R theta delta underset delta operatorname arg min int theta in Theta R theta delta p theta d theta dd Vibir funkciyi vtratPravilna statistichna praktika vimagaye vibirannya ocinki vidpovidno do faktichnoyi prijnyatnoyi dispersiyi napraktikovanoyi v konteksti konkretnoyi prikladnoyi zadachi Takim chinom v prikladnomu zastosuvanni funkcij vtrat vibirannya togo yakij statistichnij metod vikoristovuvati dlya modelyuvannya prikladnoyi zadachi zalezhit vid znannya vtrat z yakimi dovedetsya stiknutisya v razi pomilki za konkretnih obstavin zadachi Tipovij priklad stosuyetsya ocinyuvannya polozhennya Za tipovih statistichnih pripushen serednye abo userednene znachennya ce statistika dlya ocinyuvannya polozhennya yaka minimizuye ochikuvani vtrati sho vinikayut za funkciyi vtrat kvadratichnoyi pohibki todi yak mediana ye ocinyuvachem yakij minimizuye ochikuvani vtrati za funkciyi vtrat absolyutnoyi riznici Prote za inshih mensh poshirenih obstavin optimalnimi budut inshi ocinyuvachi V ekonomici koli agent ye en cilova funkciya virazhayetsya prosto v groshovomu virazhenni takomu yak pributok dohid abo bagatstvo na kinec periodu Ale dlya agentiv z en abo z en vtrati vimiryuyutsya yak vid yemna funkciya korisnosti yaka predstavlyaye zadovolennya i zazvichaj interpretuyetsya radshe v poryadkovih nizh u en absolyutnih terminah Mozhlivi j inshi miri vitrat napriklad smertnist abo Zahvoryuvanist v galuzi socialnoyi medicini abo tehniki bezpeki Dlya bilshosti algoritmiv optimizaciyi bazhano mati taku funkciyu vtrat yaka ye vsyudi neperervnoyu ta diferencijovnoyu Dvoma duzhe chasto zastosovuvanimi funkciyami vtrat ye kvadratichni vtrati L a a 2 displaystyle L a a 2 ta absolyutni vtrati L a a displaystyle L a a Prote absolyutni vtrati mayut toj nedolik sho voni ne diferencijovni v a 0 displaystyle a 0 Kvadratichni zh vtrati mayut toj nedolik sho v nih ye shilnist viddavati perevagu vikidam pri pidsumovuvanni nad mnozhinoyu a displaystyle a yak u i 1 n L a i displaystyle sum i 1 n L a i ostatochna suma shilna buti radshe rezultatom dekilkoh osoblivo velikih znachen a displaystyle a anizh virazhennyam userednenogo znachennya a displaystyle a Vibir funkciyi vtrat ne ye dovilnim Vin maye duzhe obmezhuvalnij harakter a inodi funkciyi vtrat mozhut zobrazhuvatisya yihnimi bazhanimi vlastivostyami Sered principiv viboru ye napriklad vimoga povnoti klasu simetrichnih statistik u vipadku NOR sposterezhen princip povnoyi informaciyi ta deyaki inshi Funkciyi vtrat u bayesovij statisticiOdnim iz naslidkiv bayesovogo visnovuvannya ye te sho na dodachu do eksperimentalnih danih funkciya vtrat sama po sobi ne viznachaye rishennya povnistyu Sho vazhlive tak ce vzayemozv yazok mizh funkciyeyu vtrat ta aposteriornoyu jmovirnistyu Tomu mozhlivo mati dvi rizni funkciyi vtrat yaki vedut do odnogo j togo zh rishennya koli apriorni rozpodili jmovirnosti pov yazani z kozhnoyu kompensuyut tonkoshi kozhnoyi z funkcij vtrat dzherelo Poyednannya troh elementiv apriornoyi jmovirnosti danih ta funkciyi vtrat vidtak umozhlivlyuye rishennya na osnovi makzimizaciyi sub yektivnoyi ochikuvanoyi korisnosti ponyattya vvedenogo dzherelo SmutokDokladnishe Smutok teoriya rishen Sevidzh takozh stverdzhuvav sho pri zastosuvanni nebayesovih metodiv takih yak minimaks funkciya vtrat povinna gruntuvatisya na ideyi smutku angl regret tobto vtrati pov yazani z rishennyam povinni buti rizniceyu mizh naslidkami najkrashogo rishennya yake moglo bi buti zrobleno yakbi obstavini dlya jogo obgruntuvannya buli vidomimi ta rishennya yake v dijsnosti bulo zrobleno persh nizh voni stali vidomimi Kvadratichna funkciya vtratZastosuvannya kvadratichnoyi funkciyi vtrat ye poshirenim napriklad pri zastosuvanni metodiv najmenshih kvadrativ Vona chasto krashe piddayetsya matematichnij obrobci nizh inshi funkciyi vtrat zavdyaki vlastivostyam dispersij a takozh zavdyaki svoyij simetrichnosti pohibka perevishennya cili sprichinyaye taki zh vtrati yak i pohibka takoyi zh velichini nedotyaguvannya do cili Yaksho cillyu ye t to kvadratichnoyu funkciyeyu vtrat ye l x C t x 2 displaystyle lambda x C t x 2 dlya deyakoyi staloyi C znachennya ciyeyi staloyi ne vplivaye na rishennya i mozhe buti znehtuvane vstanovlennyam jogo v 1 Bagato poshirenih statistik vklyuchno z t kriteriyami regresijnimi modelyami planuvannyami eksperimentiv ta bagatma inshimi vikoristovuyut metodi najmenshih kvadrativ pri zastosuvanni teoriyi linijnoyi regresiyi yaka gruntuyetsya na kvadratichnij funkciyi vtrat Kvadratichna funkciya vtrat takozh vikoristovuyetsya v en V cih zadachah navit za vidsutnosti nepevnosti mozhe buti nemozhlivo dosyagti bazhanih znachen vsih cilovih velichin Vtrati chasto virazhayut yak kvadratichnu formu u vidhilennyah velichin yaki cikavlyat vid yihnih bazhanih znachen cej pidhid ye piddatlivim oskilki vin daye v rezultati linijni en V konteksti en zastosovuyetsya matematichne spodivannya kvadratichnoyi formi Funkciya vtrat 0 1U statistici ta teoriyi rishen chasto zastosovuvanoyu funkciyeyu vtrat ye funkciya vtrat 0 1 angl 0 1 loss function L y y I y y displaystyle L hat y y I hat y neq y de I displaystyle I ye indikatornoyu funkciyeyu Div takozhFunkciyi vtrat dlya klasifikaciyi en Zavisni vtrati en PrimitkiWald A 1950 Statistical Decision Functions Wiley angl Cramer H 1930 On the mathematical theory of risk a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite book title Shablon Cite book cite book a Proignorovano work dovidka angl Nikulin M S 2001 function Loss function u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 angl Nikulin M S 2001 of a statistical procedure Risk of a statistical procedure u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 angl 1985 Statistical decision theory and Bayesian Analysis vid 2nd New York Springer Verlag ISBN 0 387 96098 8 MR 0804611 angl 2004 1970 Optimal Statistical Decisions Wiley Classics Library ISBN 0 471 68029 X MR 2288194 angl Robert Christian P 2007 The Bayesian Choice vid 2nd New York Springer doi 10 1007 0 387 71599 1 ISBN 0 387 95231 4 MR 1835885 angl Pfanzagl J 1994 Parametric Statistical Theory Berlin Walter de Gruyter ISBN 3 11 013863 8 angl Dokladnu informaciyu pro matematichni principi viboru funkciyi vtrat navedeno v glavi 2 knigi Klebanov B Rachev Svetlozat T Fabozzi Frank J 2009 Robust and Non Robust Models in Statistics New York Nova Scientific Publishers Inc ta v posilannyah z neyi angl LiteraturaAretz Kevin Bartram Sohnke M Pope Peter F April June 2011 Asymmetric Loss Functions and the Rationality of Expected Stock Returns International Journal of Forecasting 27 2 413 437 doi 10 1016 j ijforecast 2009 10 008 angl 1985 Statistical decision theory and Bayesian Analysis vid 2nd New York Springer Verlag ISBN 0 387 96098 8 MR 0804611 angl