Оптимальне управління — вибір і здійснення найкращої програми дій для досягнення бажаного стану керованого об'єкта (виходячи з його певного початкового стану) впливом на параметри управління. Критерієм ОУ можуть бути різні технічні, економічні та інші показники функціонування об'єкта. ОУ має теоретичні, обчислювальні та прикладні аспекти. Поведінка об'єкта описується математично, рівняннями. Математична теорія ОУ розглядає некласичні варіаційні задачі. При розв'язанні задач ОУ застосовують ідеї динамічного програмування. Оптимальне управління можливе лише на основі взаємозв'язку економіко-математичних моделей та ітеративного людино-машинного процесу і їхньої узгодженості. ОУ сприяє успішному розв'язанню науково-технічних і господарських завдань на базі раціонального використання наявних ресурсів. Основою ОУ є оптимальне планування, головною умовою якого є порівняння очікуваних результатів і затрат при розподілі ресурсів на розв'язання найважливіших соціально-економічних проблем та при розподілі виробничих завдань і ресурсів між галузями. ОУ забезпечує випуск заданого обсягу продукції з найменшими затратами або максимізацію економічного результату, узгодженість економічних інтересів, наближення господарської діяльності до економічного оптимуму.
Для розв'язання задачі ОУ будується математична модель об'єкта або процесу, яким управляють, яка буде проводити опис його поведінки з плином часу під впливом управляючих факторів. Математична модель для задачі ОУ включає в себе: формулювання мети управління, що виражається через критерій якості; визначення диференціальних рівнянь, які описують усі можливі способи руху об'єкту управління; задання обмежень на ресурси, які можна використовувати, у вигляді нерівностей або рівнянь.
При ОУ ієрархічними багаторівневими системами, наприклад, великими хімічними виробництвами, металургійними та енергетичними комплексами, використовуються багатоцільові та багаторівневі ієрархічні системи ОУ. В математичну модель вводяться критерії якості управління для кожного рівня управління і для всієї системи в цілому, а також координація дій між рівнями управління.
Якщо управляємий об'єкт або процес є детермінованим, то для його опису використовуються диференціальні рівняння. Найбільш часто використовуються звичайні диференціальні рівняння виду . У більш складних математичних моделях для опису об'єкта використовуються диференціальні рівняння з частинними похідними. Якщо управляємий об'єкт є стохастичним, то для його опису використовуються стохастичні диференціальні рівняння.
Якщо рішення поставленої задачі ОУ не є неперервно залежним від початкових даних (некоректна задача), то така задача розв'язується спеціальними чисельними методами.
Система оптимального управління, яка може накопичувати досвід і шляхом цього покращувати свою роботу, називається [ru] оптимального управління.
Реальна поведінка об'єкта або системи завжди відрізняється від програмного за рахунок неточності у початкових даних, неповної інформації про зовнішні фактори, які впливають на об'єкт, неточності реалізації програмного управління тощо. Тому для мінімізації відхилення поведінки об'єкти від оптимального зазвичай використовується система автоматичного керування.
Іноді в початкових даних та інформації про управляємий об'єкт при поставленні задачі ОУ міститься невизначена або нечітка інформація, яка не може бути використана традиційними якісними методами. В таких випадках можна використовувати алгоритми ОУ на основі математичної моделі нечітких множин (Нечітке керування). Поняття, що використовується приймають нечітку форму, визначаються нечіткі правила виводу прийнятих рішень, потім здійснюється обернене перетворення нечітких прийнятих рішень у фізичні змінні.
Оптимальне управління детермінованими системами
Системи зі звичайними параметрами
Найбільш широко при проектуванні систем управління детермінованими об'єктами зі звичайними параметрами, які описуються звичайними диференціальними рівняннями, використовуються наступні методи: варіаційне числення, динамічне програмування Річарда Беллмана та принцип максимуму Понтрягіна.
Задача оптимального управління
Сформулюємо задачу оптимального управління:
- Рівняння стану: (1).
- Граничні умови , (2).
- Функціонал, що мінімізується: .
тут — вектор стану — управління, — початковий та кінцевий моменти часу.
Задача оптимального управління полягає в знаходженні функцій стану та управління для часу , які мінімізують функціонал.
Варіаційне числення
Розглянемо цю задачу оптимального управління як задачу Лагранжа варіаційного числення. Для знаходження необхідних умов екстремуму, треба застосувати теорему Ейлера-Лагранжа. Функція Лагранжа має вигляд: , де — граничні умови. Лагранжиан має вигляд: , де , , — n-вимірного вектора множників Лагранжа.
Необхідні умови екстремуму, згідно цій теоремі, мають вигляд:
- стаціонарність по u: , (3)
- стаціонарність по x, рівняння Ейлера: (4)
- трансверсальність по x: , (5)
Необхідні умови (3-5) складають основу для визначення оптимальних траєкторій. Записавши ці рівняння, отримаємо граничну задачу, де частина граничних умов задана у початковий момент часу, а останні граничні умови — в кінцевий момент. Методи рішення подібних задач детально розглядаються.
Принцип максимуму Понтрягіна
Необхідність принципу максимуму Понтрягіна виникає у випадку, коли в допустимому діапазоні управляюча змінна не може задовольнити необхідну умову (3), а саме .
У цьому випадку умова (3) замінюється на умову (6):
- (6)
У цьому випадку, згідно з принципом максимуму Понтрягіна, значення оптимального управління дорівнює значенню управління на одному з кінців допустимого діапазону. Рівняння Понтрягіна записують за допомогою функції Гамільтона Н, яка визначається з відношення . Із рівнянь випливає, що функція Гамільтона H пов'язана з функцією Лагранжа L наступним чином: . Підставляючи L із останнього рівняння в рівняння (3-5), отримаємо необхідні умови, які тепер виражаються через функцію Гамільтона:
- рівняння управління по u: , (7)
- рівняння стану: , (8)
- спряжене рівняння: , (9)
- трансверсальність по x: , (10)
Необхідні умови, що записані в такій формі, називаються рівняннями Понтрягіна.
Де застосовується
Принцип максимуму особливо корисний в системах управління з максимальною швидкодією та мінімальним споживанням енергії, де використовуються рівняння релейного типу, які приймають крайні, а не проміжні значення на допустимому інтервалі управління.
Історія
За розробку теорії оптимального управління Л. С. Понтрягіну та його співробітникам В. Г. Болтянському, Р. В. Гамкрелідзе, та [ru] у 1962 році була присуджена Ленінська премія.
Метод динамічного програмування
Метод динамічного програмування побудований за принципом оптимальності Беллмана, який формулюється наступним чином: оптимальна стратегія управління характеризується властивістю, що, який би не був початковий стан та управління на початку процесу, наступні управління повинні складати оптимальну стратегію управління відносно стану, отриманого після початкової стадії процесу.
Достатні умови оптимальності
Достатні умови оптимальності керованих процесів були запропоновані [ru], на основі яких були побудовані обчислювальні алгоритми послідовного покращення, які дозволяють знаходити глобальний оптимум у задачах управління.
Оптимальне управління системами з розподіленими параметрами
У задачах оптимального управління такими об'єктами, як прохідна нагрівна пічь, теплообмінний апарат, установка для нанесення покриттів, сушильний агрегат, хімічний реактор, установка для розділення сумішей, доменна піч або мартенівська піч, коксова батарея, прокатний стан, індукційна піч тощо, процес, що підлягає керуванню, описується за допомогою диференціальніх рівнянь у частинних похідних, інтегральними рівняннями та інтегрально-диференційними рівняннями.
Теорія оптимального управління у цьому випадку розроблена лише для окремих випадків таких рівнянь: еліптичного, параболічного та гіперболічного типу.
У деяких простих випадках вдається отримати аналог принципу максимума Понтрягіна.
Задача оптимального управління
- Задана область визначення управляємого процесу
- Рівняння, що описують управляємий процес: , де — -вимірний вектор, який описує управляємий процес, — -вимірний вектор похідних вектора за координатою , — -вимірний вектор похідних вектора за координатою , — -вимірний управляючий вектор.
- Граничні умови для управляємого процесу:
- Задача оптимального управління полягає в тому, щоб знайти таке управління , при якому допустиме рівняннями рішення приводило до максимуму функціонал .
Принцип максимуму для систем з розподіленими параметрами
Введемо функцію Гамільтона, щоб сформулювати принцип максимуму для систем з розподіленими параметрами: , де допоміжні функції повинні задовольняти рівнянням та граничним умовам при , при , .
|
Якщо система є лінійною системою виду , то виконується теорема
|
Оптимальне управління стохастичними системами
У такому випадку управляємий об'єкт або процес описується стохастичними диференціальними рівняннями. В цьому випадку розв'язання задачі оптимального управління будується на розв'язанні рівняння Ріккаті.
Задача оптимального управління
- Система описується стохастичними диференціальними рівняннями , де — -вимірний вектор стану, — -вимірний вектор управління, — -вимірний вектор змінних, які відстежуються, — незалежні вінерівські процеси з нульовими середніми значеннями та заданими коваріаціями приростів, — матриці.
- Необхідно знайти оптимальне управління, яке буде мінімізувати математичне сподівання функції втрат .
Див. також
Примітки
- Коршунов Ю. М. «Математические основы кибернетики», учеб. пособие для вузов, 2-е изд., перераб. и доп., М., «Энергия», 1980, 424 с., ил., ББК 32.81 6Ф0.1, гл. 5 «Структура и математическое описание задач оптимального управления», c. 202;
- Месарович М., Мако Д., Ткахара И. Теория иерархических многоуровневых систем — М., Мир, 1973. — с. 344
- Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981. — С. 159.
- Цыпкин Я. З. Основы теории обучающихся систем. — М.: Наука, 1970. — С. 252.
- А. Г. Александров, Оптимальные и адаптивные системы, М., Вышая школа, 1989, 263 с.,
- Методы робастного, нейро-нечёткого и адаптивного управления: Учебник / Под ред. Н. Д. Егупова, изд. 2-ое, стер., М., Изд-во МГТУ им Н. Э. Баумана, 2002, 744 с ил., , тир. 2000 экз, ч. 2 «Нечёткое управление»
- «Численные методы в теории оптимальных систем», , «Наука», 1971, 424 стр. с илл., гл. 2 «Численные методы расчета оптимальных программ, использующие необходимые условия экстремума», с 80 — 155;
- Беллманн Р. «Динамическое программирование», ИЛ, М., 1960;
- Кротов В. Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума. I—IV // Автоматика и телемеханика, 1962, т. 23, № 12, с. 1571—1583; 1963, т. 24, № 5, с. 581—598; 1963, т. 24, № 7, с. 826—843; 1965, т. 26, № 1, с. 24-41.
- Ж.-Л. Лионс Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, М., Мир, 1972, 412 c.
- Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, М., Наука, 1965
- К. Ю. Острем Введение в стохастическую теорию управления, М., Мир, 1973
Джерела
- ОПТИМАЛЬНЕ УПРАВЛІННЯ [ 4 березня 2016 у Wayback Machine.]
- Бушуев А.Ю Введение в оптимальное управление. Электронное учебное издание. — М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. 23 с. [ 19 січня 2015 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Optimalne upravlinnya vibir i zdijsnennya najkrashoyi programi dij dlya dosyagnennya bazhanogo stanu kerovanogo ob yekta vihodyachi z jogo pevnogo pochatkovogo stanu vplivom na parametri upravlinnya Kriteriyem OU mozhut buti rizni tehnichni ekonomichni ta inshi pokazniki funkcionuvannya ob yekta OU maye teoretichni obchislyuvalni ta prikladni aspekti Povedinka ob yekta opisuyetsya matematichno rivnyannyami Matematichna teoriya OU rozglyadaye neklasichni variacijni zadachi Pri rozv yazanni zadach OU zastosovuyut ideyi dinamichnogo programuvannya Optimalne upravlinnya mozhlive lishe na osnovi vzayemozv yazku ekonomiko matematichnih modelej ta iterativnogo lyudino mashinnogo procesu i yihnoyi uzgodzhenosti OU spriyaye uspishnomu rozv yazannyu naukovo tehnichnih i gospodarskih zavdan na bazi racionalnogo vikoristannya nayavnih resursiv Osnovoyu OU ye optimalne planuvannya golovnoyu umovoyu yakogo ye porivnyannya ochikuvanih rezultativ i zatrat pri rozpodili resursiv na rozv yazannya najvazhlivishih socialno ekonomichnih problem ta pri rozpodili virobnichih zavdan i resursiv mizh galuzyami OU zabezpechuye vipusk zadanogo obsyagu produkciyi z najmenshimi zatratami abo maksimizaciyu ekonomichnogo rezultatu uzgodzhenist ekonomichnih interesiv nablizhennya gospodarskoyi diyalnosti do ekonomichnogo optimumu Dlya rozv yazannya zadachi OU buduyetsya matematichna model ob yekta abo procesu yakim upravlyayut yaka bude provoditi opis jogo povedinki z plinom chasu pid vplivom upravlyayuchih faktoriv Matematichna model dlya zadachi OU vklyuchaye v sebe formulyuvannya meti upravlinnya sho virazhayetsya cherez kriterij yakosti viznachennya diferencialnih rivnyan yaki opisuyut usi mozhlivi sposobi ruhu ob yektu upravlinnya zadannya obmezhen na resursi yaki mozhna vikoristovuvati u viglyadi nerivnostej abo rivnyan Pri OU iyerarhichnimi bagatorivnevimi sistemami napriklad velikimi himichnimi virobnictvami metalurgijnimi ta energetichnimi kompleksami vikoristovuyutsya bagatocilovi ta bagatorivnevi iyerarhichni sistemi OU V matematichnu model vvodyatsya kriteriyi yakosti upravlinnya dlya kozhnogo rivnya upravlinnya i dlya vsiyeyi sistemi v cilomu a takozh koordinaciya dij mizh rivnyami upravlinnya Yaksho upravlyayemij ob yekt abo proces ye determinovanim to dlya jogo opisu vikoristovuyutsya diferencialni rivnyannya Najbilsh chasto vikoristovuyutsya zvichajni diferencialni rivnyannya vidu x t a x t u t t displaystyle dot x t a x t u t t U bilsh skladnih matematichnih modelyah dlya opisu ob yekta vikoristovuyutsya diferencialni rivnyannya z chastinnimi pohidnimi Yaksho upravlyayemij ob yekt ye stohastichnim to dlya jogo opisu vikoristovuyutsya stohastichni diferencialni rivnyannya Yaksho rishennya postavlenoyi zadachi OU ne ye neperervno zalezhnim vid pochatkovih danih nekorektna zadacha to taka zadacha rozv yazuyetsya specialnimi chiselnimi metodami Sistema optimalnogo upravlinnya yaka mozhe nakopichuvati dosvid i shlyahom cogo pokrashuvati svoyu robotu nazivayetsya ru optimalnogo upravlinnya Realna povedinka ob yekta abo sistemi zavzhdi vidriznyayetsya vid programnogo za rahunok netochnosti u pochatkovih danih nepovnoyi informaciyi pro zovnishni faktori yaki vplivayut na ob yekt netochnosti realizaciyi programnogo upravlinnya tosho Tomu dlya minimizaciyi vidhilennya povedinki ob yekti vid optimalnogo zazvichaj vikoristovuyetsya sistema avtomatichnogo keruvannya Inodi v pochatkovih danih ta informaciyi pro upravlyayemij ob yekt pri postavlenni zadachi OU mistitsya neviznachena abo nechitka informaciya yaka ne mozhe buti vikoristana tradicijnimi yakisnimi metodami V takih vipadkah mozhna vikoristovuvati algoritmi OU na osnovi matematichnoyi modeli nechitkih mnozhin Nechitke keruvannya Ponyattya sho vikoristovuyetsya prijmayut nechitku formu viznachayutsya nechitki pravila vivodu prijnyatih rishen potim zdijsnyuyetsya obernene peretvorennya nechitkih prijnyatih rishen u fizichni zminni Optimalne upravlinnya determinovanimi sistemamiSistemi zi zvichajnimi parametrami Najbilsh shiroko pri proektuvanni sistem upravlinnya determinovanimi ob yektami zi zvichajnimi parametrami yaki opisuyutsya zvichajnimi diferencialnimi rivnyannyami vikoristovuyutsya nastupni metodi variacijne chislennya dinamichne programuvannya Richarda Bellmana ta princip maksimumu Pontryagina Zadacha optimalnogo upravlinnya Sformulyuyemo zadachu optimalnogo upravlinnya Rivnyannya stanu x t a x t u t t displaystyle dot x t a x t u t t 1 Granichni umovi x t 0 x 0 displaystyle x t 0 x 0 x t 1 x 1 displaystyle x t 1 x 1 2 Funkcional sho minimizuyetsya h t 0 t 1 F x t x t t d t displaystyle eta int t 0 t 1 F x tau dot x tau tau d tau tut x t displaystyle x t vektor stanu u t displaystyle u t upravlinnya t 0 t 1 displaystyle t 0 t 1 pochatkovij ta kincevij momenti chasu Zadacha optimalnogo upravlinnya polyagaye v znahodzhenni funkcij stanu x t displaystyle x t ta upravlinnya u t displaystyle u t dlya chasu t 0 t t 1 displaystyle t 0 leqslant t leqslant t 1 yaki minimizuyut funkcional Variacijne chislennya Rozglyanemo cyu zadachu optimalnogo upravlinnya yak zadachu Lagranzha variacijnogo chislennya Dlya znahodzhennya neobhidnih umov ekstremumu treba zastosuvati teoremu Ejlera Lagranzha Funkciya Lagranzha L displaystyle Lambda maye viglyad L t 0 t 1 F x t x t t l 1 T t x t a x t u t t d t l displaystyle Lambda int t 0 t 1 F x t dot x t t lambda 1 T t dot x t a x t u t t dt l de l l 2 T x t 0 x 0 l 3 T x t 1 x 1 displaystyle l lambda 2 T x t 0 x 0 lambda 3 T x t 1 x 1 granichni umovi Lagranzhian L displaystyle L maye viglyad L x t x t u t l t t F x t x t t l 1 T t x t a x t u t t displaystyle L x t dot x t u t lambda t t F x t dot x t t lambda 1 T t dot x t a x t u t t de l 1 displaystyle lambda 1 l 2 displaystyle lambda 2 l 3 displaystyle lambda 3 n vimirnogo vektora mnozhnikiv Lagranzha Neobhidni umovi ekstremumu zgidno cij teoremi mayut viglyad stacionarnist po u L u 0 displaystyle hat L u 0 3 stacionarnist po x rivnyannya Ejlera L x d d t L c x 0 displaystyle hat L x frac d dt hat L c dot x 0 4 transversalnist po x L x t 0 l x t 0 displaystyle hat L dot x t 0 hat l x t 0 L x t 1 l x t 1 displaystyle hat L dot x t 1 hat l x t 1 5 Neobhidni umovi 3 5 skladayut osnovu dlya viznachennya optimalnih trayektorij Zapisavshi ci rivnyannya otrimayemo granichnu zadachu de chastina granichnih umov zadana u pochatkovij moment chasu a ostanni granichni umovi v kincevij moment Metodi rishennya podibnih zadach detalno rozglyadayutsya Princip maksimumu Pontryagina Neobhidnist principu maksimumu Pontryagina vinikaye u vipadku koli v dopustimomu diapazoni upravlyayucha zminna ne mozhe zadovolniti neobhidnu umovu 3 a same L u 0 displaystyle hat L u 0 U comu vipadku umova 3 zaminyuyetsya na umovu 6 min u U L t x t x t u L t x t x t u min u U F t x t u l t a t x t u f t l t a t displaystyle begin aligned min u in U L t x t dot x t u amp L t hat x t dot x t hat u Longleftrightarrow amp Longleftrightarrow min u in U left F t x t u lambda t a t x t u right f t lambda t a t end aligned 6 U comu vipadku zgidno z principom maksimumu Pontryagina znachennya optimalnogo upravlinnya dorivnyuye znachennyu upravlinnya na odnomu z kinciv dopustimogo diapazonu Rivnyannya Pontryagina zapisuyut za dopomogoyu funkciyi Gamiltona N yaka viznachayetsya z vidnoshennya H F t x t u l t a t x t u displaystyle H F t x t u lambda t a t x t u Iz rivnyan viplivaye sho funkciya Gamiltona H pov yazana z funkciyeyu Lagranzha L nastupnim chinom L H l t x t displaystyle L H lambda t dot x t Pidstavlyayuchi L iz ostannogo rivnyannya v rivnyannya 3 5 otrimayemo neobhidni umovi yaki teper virazhayutsya cherez funkciyu Gamiltona rivnyannya upravlinnya po u H u 0 displaystyle hat H u 0 7 rivnyannya stanu x H l displaystyle dot x hat H lambda 8 spryazhene rivnyannya l H x displaystyle dot lambda hat H x 9 transversalnist po x l t 0 l x t 0 displaystyle lambda t 0 hat l x t 0 l t 1 l x t 1 displaystyle lambda t 1 hat l x t 1 10 Neobhidni umovi sho zapisani v takij formi nazivayutsya rivnyannyami Pontryagina De zastosovuyetsya Princip maksimumu osoblivo korisnij v sistemah upravlinnya z maksimalnoyu shvidkodiyeyu ta minimalnim spozhivannyam energiyi de vikoristovuyutsya rivnyannya relejnogo tipu yaki prijmayut krajni a ne promizhni znachennya na dopustimomu intervali upravlinnya Istoriya Za rozrobku teoriyi optimalnogo upravlinnya L S Pontryaginu ta jogo spivrobitnikam V G Boltyanskomu R V Gamkrelidze ta ru u 1962 roci bula prisudzhena Leninska premiya Metod dinamichnogo programuvannya Metod dinamichnogo programuvannya pobudovanij za principom optimalnosti Bellmana yakij formulyuyetsya nastupnim chinom optimalna strategiya upravlinnya harakterizuyetsya vlastivistyu sho yakij bi ne buv pochatkovij stan ta upravlinnya na pochatku procesu nastupni upravlinnya povinni skladati optimalnu strategiyu upravlinnya vidnosno stanu otrimanogo pislya pochatkovoyi stadiyi procesu Dostatni umovi optimalnosti Dostatni umovi optimalnosti kerovanih procesiv buli zaproponovani ru na osnovi yakih buli pobudovani obchislyuvalni algoritmi poslidovnogo pokrashennya yaki dozvolyayut znahoditi globalnij optimum u zadachah upravlinnya Optimalne upravlinnya sistemami z rozpodilenimi parametrami U zadachah optimalnogo upravlinnya takimi ob yektami yak prohidna nagrivna pich teploobminnij aparat ustanovka dlya nanesennya pokrittiv sushilnij agregat himichnij reaktor ustanovka dlya rozdilennya sumishej domenna pich abo martenivska pich koksova batareya prokatnij stan indukcijna pich tosho proces sho pidlyagaye keruvannyu opisuyetsya za dopomogoyu diferencialnih rivnyan u chastinnih pohidnih integralnimi rivnyannyami ta integralno diferencijnimi rivnyannyami Teoriya optimalnogo upravlinnya u comu vipadku rozroblena lishe dlya okremih vipadkiv takih rivnyan eliptichnogo parabolichnogo ta giperbolichnogo tipu U deyakih prostih vipadkah vdayetsya otrimati analog principu maksimuma Pontryagina Zadacha optimalnogo upravlinnya Zadana oblast viznachennya upravlyayemogo procesu 0 x a 0 y b displaystyle 0 leqslant x leqslant a 0 leqslant y leqslant b Rivnyannya sho opisuyut upravlyayemij proces 2 Q i x y f i x y Q Q x Q y u 1 displaystyle frac partial 2 Q i partial x partial y f i x y Q frac partial Q partial x frac partial Q partial y u 1 de Q displaystyle Q n displaystyle n vimirnij vektor yakij opisuye upravlyayemij proces Q x displaystyle frac partial Q partial x n displaystyle n vimirnij vektor pohidnih vektora Q displaystyle Q za koordinatoyu x displaystyle x Q y displaystyle frac partial Q partial y n displaystyle n vimirnij vektor pohidnih vektora Q displaystyle Q za koordinatoyu y displaystyle y u displaystyle u r displaystyle r vimirnij upravlyayuchij vektor Granichni umovi dlya upravlyayemogo procesu Q i 0 y ϕ i y Q i x 0 ps i x i 1 n 2 displaystyle Q i 0 y phi i y Q i x 0 psi i x i 1 n 2 Zadacha optimalnogo upravlinnya polyagaye v tomu shob znajti take upravlinnya u x y displaystyle u x y pri yakomu dopustime rivnyannyami 1 2 displaystyle 1 2 rishennya Q x y displaystyle Q x y privodilo do maksimumu funkcional J i 1 n c i Q i a b displaystyle J sum i 1 n c i Q i a b Princip maksimumu dlya sistem z rozpodilenimi parametrami Vvedemo funkciyu Gamiltona shob sformulyuvati princip maksimumu dlya sistem z rozpodilenimi parametrami H N Q d Q d x d Q d y u i 1 n N i f i x y Q d Q d x d Q d y u displaystyle H N Q frac dQ dx frac dQ dy u sum i 1 n N i f i x y Q frac dQ dx frac dQ dy u de dopomizhni funkciyi N 1 x y N n x y displaystyle N 1 x y N n x y povinni zadovolnyati rivnyannyam d N i d x d y H Q i d d x d H d Q i x d d y d H d Q i y 2 displaystyle frac dN i dxdy frac H Q i frac d dx frac dH dQ ix frac d dy frac dH dQ iy 2 ta granichnim umovam d N i d x d H d Q i y displaystyle frac dN i dx frac dH dQ iy pri y b 3 displaystyle y b 3 d N i d y d H d Q i x displaystyle frac dN i dy frac dH dQ ix pri x a 4 displaystyle x a 4 N i a b c i 5 displaystyle N i a b c i 5 Yaksho u 0 x y displaystyle u 0 x y optimalne upravlinnya Q 0 x y N 0 x y displaystyle Q 0 x y N 0 x y otrimuyemo pri optimalnomu upravlinni funkciyi i vono zadovolnyaye rivnyannyam 1 2 3 4 5 displaystyle 1 2 3 4 5 to funkciya H N 0 x y Q 0 x y d Q 0 x y d x d Q 0 x y d y u displaystyle H N 0 x y Q 0 x y frac dQ 0 x y dx frac dQ 0 x y dy u yaku mi rozglyadayemo yak funkciyu vid argumentu u displaystyle u dosyagaye maksimumu v oblasti w displaystyle omega pri u u 0 x y displaystyle u u 0 x y tobto majzhe dlya vsih tochok x y D displaystyle x y in D vikonuyetsya rivnist max u w H N 0 x y Q 0 x y d Q 0 x y d x d Q 0 x y d y u H N 0 x y Q 0 x y d Q 0 x y d x d Q 0 x y d y u displaystyle max u in omega H N 0 x y Q 0 x y frac dQ 0 x y dx frac dQ 0 x y dy u H N 0 x y Q 0 x y frac dQ 0 x y dx frac dQ 0 x y dy u Yaksho sistema 1 displaystyle 1 ye linijnoyu sistemoyu vidu d 2 Q i d x d y k 1 n m i k x y d Q k d x p i k x y d Q k d y q i k x y Q k f i u displaystyle frac d 2 Q i dxdy sum k 1 n Bigl m ik x y frac dQ k dx p ik x y frac dQ k dy q ik x y Q k Bigr f i u to vikonuyetsya teorema Dlya optimalnosti upravlinnya u x y displaystyle u x y u linijnomu vipadku neobhidno i dostatno shob vikonuvavsya princip maksimumu Optimalne upravlinnya stohastichnimi sistemamiU takomu vipadku upravlyayemij ob yekt abo proces opisuyetsya stohastichnimi diferencialnimi rivnyannyami V comu vipadku rozv yazannya zadachi optimalnogo upravlinnya buduyetsya na rozv yazanni rivnyannya Rikkati Zadacha optimalnogo upravlinnya Sistema opisuyetsya stohastichnimi diferencialnimi rivnyannyami d x A x d t B u d t d v d y C x d t d e displaystyle dx Axdt Budt dv dy Cxdt de de x displaystyle x n displaystyle n vimirnij vektor stanu u displaystyle u p displaystyle p vimirnij vektor upravlinnya y displaystyle y v displaystyle v vimirnij vektor zminnih yaki vidstezhuyutsya v t e t displaystyle v t e t nezalezhni vinerivski procesi z nulovimi serednimi znachennyami ta zadanimi kovariaciyami prirostiv A B C displaystyle A B C matrici Neobhidno znajti optimalne upravlinnya yake bude minimizuvati matematichne spodivannya funkciyi vtrat x T t 1 Q 0 x t 1 t 0 t 1 x T t Q 1 x t u T Q 2 u t d t displaystyle x T t 1 Q 0 x t 1 int t 0 t 1 x T t Q 1 x t u T Q 2 u t dt Div takozhBiznes simulyaciya Sistema keruvannya Teoriya avtomatichnogo keruvannya Pravilo Kejnsa RemziPrimitkiKorshunov Yu M Matematicheskie osnovy kibernetiki ucheb posobie dlya vuzov 2 e izd pererab i dop M Energiya 1980 424 s il BBK 32 81 6F0 1 gl 5 Struktura i matematicheskoe opisanie zadach optimalnogo upravleniya c 202 Mesarovich M Mako D Tkahara I Teoriya ierarhicheskih mnogourovnevyh sistem M Mir 1973 s 344 Vasilev F P Metody resheniya ekstremalnyh zadach M Nauka 1981 S 159 Cypkin Ya Z Osnovy teorii obuchayushihsya sistem M Nauka 1970 S 252 A G Aleksandrov Optimalnye i adaptivnye sistemy M Vyshaya shkola 1989 263 s ISBN 5 06 000037 0 Metody robastnogo nejro nechyotkogo i adaptivnogo upravleniya Uchebnik Pod red N D Egupova izd 2 oe ster M Izd vo MGTU im N E Baumana 2002 744 s il ISBN 5 7038 2030 8 tir 2000 ekz ch 2 Nechyotkoe upravlenie Chislennye metody v teorii optimalnyh sistem Nauka 1971 424 str s ill gl 2 Chislennye metody rascheta optimalnyh programm ispolzuyushie neobhodimye usloviya ekstremuma s 80 155 Bellmann R Dinamicheskoe programmirovanie IL M 1960 Krotov V F Metody resheniya variacionnyh zadach na osnove dostatochnyh uslovij absolyutnogo minimuma I IV Avtomatika i telemehanika 1962 t 23 12 s 1571 1583 1963 t 24 5 s 581 598 1963 t 24 7 s 826 843 1965 t 26 1 s 24 41 Zh L Lions Optimalnoe upravlenie sistemami opisyvaemymi uravneniyami s chastnymi proizvodnymi M Mir 1972 412 c Butkovskij A G Teoriya optimalnogo upravleniya sistemami s raspredelennymi parametrami M Nauka 1965 K Yu Ostrem Vvedenie v stohasticheskuyu teoriyu upravleniya M Mir 1973DzherelaOPTIMALNE UPRAVLINNYa 4 bereznya 2016 u Wayback Machine Bushuev A Yu Vvedenie v optimalnoe upravlenie Elektronnoe uchebnoe izdanie M MGTU im N E Baumana 2014 23 s 19 sichnya 2015 u Wayback Machine