Ознаки збіжності рядів — ознаки, що доводять або спростовують збіжність числового ряду. Нехай дано ряд
Частковими сумами цього ряду будуть:
Ряд (1) є збіжним, якщо існує скінченна границя послідовності його часткових сум, тобто
Число є сумою ряду, отже:
Коли ж границя часткових сум не існує або дорівнює нескінченності, то ряд є розбіжним.
Класифікація ознак збіжності
Ознаки збіжності рядів поділяються на необхідні й достатні.
Необхідна умова збіжності означає:
- якщо вона виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним,
- якщо вона не виконується, то ряд є розбіжним.
Можна сказати, що необхідна умова збіжності ряду є достатньою умовою його розбіжності.
Достатня умова збіжності означає:
- якщо вона виконується, то ряд є збіжним,
- якщо вона не виконується, то ряд може бути або збіжним або розбіжним.
У залежності від того, збіжність яких рядів доводиться, ознаки поділяються на ознаки збіжності для , знакопереміжних рядів, функціональних рядів, рядів Фур'є.
Список ознак
Необхідна умова збіжності
Якщо границя послідовності утвореної членами ряду є невизначеною або відмінною від нуля, так що , то ряд є розбіжним. У цьому сенсі, часткові суми ряду утворюють фундаментальну послідовність лише тоді , коли ця границя існує та рівна нулю. Ця ознака не є достатньою: про збіжність або розбіжність ряду не можна стверджувати на основі цієї ознаки, якщо граничне значення члену ряду рівне нулю.
Критерій збіжності
Додатній ряд збігається тоді й лише тоді, коли послідовність його обмежена зверху.
Ознаки порівняння
Якщо ряд є абсолютно збіжним та для достатньо великих , то ряд є абсолютно збіжним.
Якщо (тобто всі елементи обох послідовностей додатні) та границя існує, є скінченною та відмінною від нуля, тоді ряд є розбіжним тоді й лише тоді, коли ряд є розбіжним.
Ознака д'Аламбера
Припустимо, що існує таке , що
Якщо , то ряд є абсолютно збіжним. Якщо , то ряд є розбіжним. Якщо , то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.
Радикальна ознака Коші
Нехай де позначає верхню границю послідовності (можливо ; якщо границя існує, то вона має таке ж значення).
Якщо , то ряд є збіжним. Якщо , то ряд є розбіжним. Якщо , то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Радикальна ознака є більш сильною ніж ознака д'Аламбера: якщо збіжність (розбіжність) доведена на основі ознаки д'Аламбера то вона завжди може бути доведена і на основі радикальної ознаки Коші , але не навпаки. Наприклад, ряд є збіжним за радикальною ознакою, але за ознакою д'Аламбера про збіжність (розбіжність) цього ряду стверджувати не можна.
Інтегральна ознака Маклорена — Коші
Ряд можна порівнювати із інтегралом, для того, щоб визначити збіжність або розбіжність. Нехай невід'ємна та монотонно-спадна функція, така що . Якщо то ряд є збіжним. Але якщо інтеграл є розбіжним, то ряд також є розбіжним. Іншими словами, ряд є збіжним тоді і лише тоді, коли відповідний невласний інтеграл є збіжним.
Ознака збіжності узагальнених гармонічних рядів
Загальновживаним наслідком інтегральної ознаки є ознака збіжності для узагальненого гармонічного ряду. Нехай . Тоді збігається, якщо . При , отримуємо гармонічний ряд, який є розбіжним. При , отримуємо ряд обернених квадратів (задача Базеля) і цей ряд є збіжним до . У загальному випадку, для , ряд співпадає з дзета-функцією Рімана від , тобто .
Ознака стиснення Коші
Нехай є незростаючою послідовністю. Тоді сума збігається тоді і лише тоді, коли сума збігається. Більше того, якщо вони збігаються, то справедлива нерівність .
Ознака Абеля
Нехай справедливі наступні твердження:
- – збіжний ряд,
- є монотонною послідовністю та
- є обмеженою.
Тоді ряд також є збіжним.
Ознака абсолютної збіжності
Будь-який абсолютно збіжний ряд є збіжним.
Ознака Лейбніца
Припустимо, що справедливі наступні твердження:
- та
- для будь-якого , .
Тоді ряди та є збіжними.
Ознака Діріхле
Якщо послідовність дійсних чисел та послідовність комплексних чисел, які задовольняють такі умови:
- ,
- ,
- , для всякого натурального ,
де – деяка стала, тоді ряд є збіжним.
Ознака Раабе–Дюамеля
Нехай . Визначимо як якщо існує, то можливі такі варіанти:
- — ряд є збіжним,
- — ряд є розбіжним,
- — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.
Існує альтернативне формулювання цієї ознаки. Нехай - послідовність дійсних чисел. Тоді, якщо існують такі та (натуральне число), що
- , для всіх
то ряд є збіжним.
Ознака Бертрана
Нехай послідовність додатних чисел. Визначимо як
Якщо
існує, то можливі такі випадки:
- — ряд є збіжним,
- — ряд є розбіжним,
- — за ознакою не можна стверджувати про збіжність (розбіжність) ряду.
Ознака Гауса
Нехай послідовність додатних чисел. Якщо для певного , то ряд є збіжним, якщо , і є розбіжним, якщо .
Ознака Куммера
Нехай { an } - послідовність додатніх чисел. Тоді:
(1) є збіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність додатніх чисел і дійсне число c > 0 таке що .
(2) є розбіжним тоді і тільки тоді коли існує послідовність додатніх чисел таких що
і розбігається.
Примітки
- Для деяких особливих типів рядів є більш спеціалізовані ознаки. Наприклад, для рядів Фур'є існує ознака Діні.
Приклади
Розглянемо ряд
-
(
)
З ознаки стиснення Коші випливає, що (i) є скінченно збіжним, якщо
-
(
)
є скінченно збіжним. Оскільки
то (ii) є геометричним рядом зі знаменником . (ii) є скінченно збіжним, коли знаменник геометричного ряду менший від одиниці (а саме, коли ). Отже, (i) є скінченно збіжним тоді і лише тоді, коли .
Збіжність добутків
Хоча більшість ознак визначають збіжність (розбіжність) нескінченних рядів, вони також можуть бути застосовані для визначення збіжності чи розбіжності нескінченних добутків. Цього можна досягти шляхом застосування наступної теореми: нехай послідовність додатних чисел. Тоді нескінченний добуток
є збіжним тоді і лише тоді, коли ряд Аналогічно, якщо виконується умова , то прямує до відмінної від нуля границі тоді і лише тоді, коли ряд є збіжним. Це може бути доведено за допомогою логарифмування добутку та застосування ознаки граничного порівняння.
Див. також
Примітки
- Wachsmuth, Bert G. MathCS.org - Real Analysis: Ratio Test. www.mathcs.org.
- František Ďuriš, Infinite series: Convergence tests, pp. 24–9. Bachelor's thesis.
- Weisstein, Eric W. Bertrand's Test. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 16 квітня 2020.
- * Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), criterion Gauss criterion, Математична енциклопедія, , ISBN
- Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1835 (13): 171—184. 1 січня 1835. doi:10.1515/crll.1835.13.171. ISSN 0075-4102. S2CID 121050774.
- Tong, Jingcheng (1994). Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series. The American Mathematical Monthly. 101 (5): 450—452. doi:10.2307/2974907. JSTOR 2974907.
- Samelson, Hans (1995). More on Kummer's Test. The American Mathematical Monthly (англ.). 102 (9): 817—818. doi:10.1080/00029890.1995.12004667. ISSN 0002-9890.
- Belk, Jim (26 січня 2008). Convergence of Infinite Products.
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
- Wachsmuth, Bert G. «MathCS.org — Real Analysis: Ratio Test»[1]. www.mathcs.org.
- František Ďuriš, Infinite series: Convergence tests, pp. 24–9. Bachelor's thesis
- Weisstein, Eric W. Ознаки збіжності(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- «Gauss criterion»[2], «Encyclopedia of Mathematics», («EMS Press»), 2001 [1994]
- Belk, Jim (26 January 2008)."Convergence of Infinite Products"[3]
- The Calculus, with Analytic Geometry (вид. 2nd). New York: Harper & Row. 1972. с. 655–737. ISBN .
Посилання
- Вища математика, О. І. Оглобліна, Л. І. Брацихіна
- Flowchart for choosing convergence test
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Oznaki zbizhnosti ryadiv oznaki sho dovodyat abo sprostovuyut zbizhnist chislovogo ryadu Nehaj dano ryad U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U n 1 displaystyle U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 dots U n cdots qquad 1 Chastkovimi sumami cogo ryadu budut S 1 U 1 S 2 U 1 U 2 S 3 U 1 U 2 U 3 S n U 1 U 2 U n displaystyle S 1 U 1 qquad S 2 U 1 U 2 qquad S 3 U 1 U 2 U 3 qquad dots qquad S n U 1 U 2 dots U n Ryad 1 ye zbizhnim yaksho isnuye skinchenna granicya poslidovnosti jogo chastkovih sum tobto lim n S n S displaystyle lim n to infty S n S Chislo S displaystyle S ye sumoyu ryadu otzhe U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U n n 1 U n S displaystyle U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 dots U n dots sum n 1 infty U n S Koli zh granicya chastkovih sum ne isnuye abo dorivnyuye neskinchennosti to ryad ye rozbizhnim Klasifikaciya oznak zbizhnostiOznaki zbizhnosti ryadiv podilyayutsya na neobhidni j dostatni Neobhidna umova zbizhnosti oznachaye yaksho vona vikonuyetsya to ryad mozhe buti abo zbizhnim abo rozbizhnim yaksho vona ne vikonuyetsya to ryad ye rozbizhnim Mozhna skazati sho neobhidna umova zbizhnosti ryadu ye dostatnoyu umovoyu jogo rozbizhnosti Dostatnya umova zbizhnosti oznachaye yaksho vona vikonuyetsya to ryad ye zbizhnim yaksho vona ne vikonuyetsya to ryad mozhe buti abo zbizhnim abo rozbizhnim U zalezhnosti vid togo zbizhnist yakih ryadiv dovoditsya oznaki podilyayutsya na oznaki zbizhnosti dlya znakoperemizhnih ryadiv funkcionalnih ryadiv ryadiv Fur ye Spisok oznakNeobhidna umova zbizhnosti Dokladnishe Granicya dodankiv ryadu Yaksho granicya poslidovnosti utvorenoyi chlenami ryadu ye neviznachenoyu abo vidminnoyu vid nulya tak sho lim n a n 0 displaystyle lim limits n to infty a n neq 0 to ryad ye rozbizhnim U comu sensi chastkovi sumi ryadu utvoryuyut fundamentalnu poslidovnist lishe todi koli cya granicya isnuye ta rivna nulyu Cya oznaka ne ye dostatnoyu pro zbizhnist abo rozbizhnist ryadu ne mozhna stverdzhuvati na osnovi ciyeyi oznaki yaksho granichne znachennya chlenu ryadu rivne nulyu Kriterij zbizhnostiDokladnishe Kriterij zbizhnosti dodatnogo ryadu Dodatnij ryad k 1 a k displaystyle sum k 1 infty a k zbigayetsya todi j lishe todi koli poslidovnist jogo S n k 1 n a k displaystyle S n sum k 1 n a k obmezhena zverhu Oznaki porivnyannya Dokladnishe Pryama oznaka porivnyannya Yaksho ryad n 1 b n displaystyle sum limits n 1 infty b n ye absolyutno zbizhnim ta a n b n displaystyle a n leq b n dlya dostatno velikih n displaystyle n to ryad n 1 a n displaystyle sum limits n 1 infty a n ye absolyutno zbizhnim Dokladnishe Granichna oznaka porivnyannya Yaksho a n b n gt 0 displaystyle a n b n gt 0 tobto vsi elementi oboh poslidovnostej dodatni ta granicya lim t a n b n displaystyle lim limits t to infty frac a n b n isnuye ye skinchennoyu ta vidminnoyu vid nulya todi ryad n 1 a n displaystyle sum limits n 1 infty a n ye rozbizhnim todi j lishe todi koli ryad n 1 b n displaystyle sum limits n 1 infty b n ye rozbizhnim Oznaka d Alambera Dokladnishe Oznaka d Alambera Pripustimo sho isnuye take r displaystyle r sho lim n a n 1 a n r displaystyle lim n to infty left frac a n 1 a n right r Yaksho r lt 1 displaystyle r lt 1 to ryad ye absolyutno zbizhnim Yaksho r gt 1 displaystyle r gt 1 to ryad ye rozbizhnim Yaksho r 1 displaystyle r 1 to ryad mozhe buti yak zbizhnim tak i rozbizhnim Radikalna oznaka Koshi Dokladnishe Radikalna oznaka Koshi Nehaj r lim sup n a n n displaystyle r limsup n to infty sqrt n a n de lim sup displaystyle limsup poznachaye verhnyu granicyu poslidovnosti mozhlivo displaystyle infty yaksho granicya isnuye to vona maye take zh znachennya Yaksho r lt 1 displaystyle r lt 1 to ryad ye zbizhnim Yaksho r gt 1 displaystyle r gt 1 to ryad ye rozbizhnim Yaksho r 1 displaystyle r 1 to ryad mozhe buti yak zbizhnim tak i rozbizhnim Radikalna oznaka ye bilsh silnoyu nizh oznaka d Alambera yaksho zbizhnist rozbizhnist dovedena na osnovi oznaki d Alambera to vona zavzhdi mozhe buti dovedena i na osnovi radikalnoyi oznaki Koshi ale ne navpaki Napriklad ryad 1 1 0 5 0 5 0 25 0 25 0 125 0 125 4 displaystyle 1 1 0 5 0 5 0 25 0 25 0 125 0 125 cdots 4 ye zbizhnim za radikalnoyu oznakoyu ale za oznakoyu d Alambera pro zbizhnist rozbizhnist cogo ryadu stverdzhuvati ne mozhna Integralna oznaka Maklorena Koshi Dokladnishe Integralna oznaka Maklorena Koshi Ryad mozhna porivnyuvati iz integralom dlya togo shob viznachiti zbizhnist abo rozbizhnist Nehaj f 1 R displaystyle f colon 1 infty rightarrow mathbb R nevid yemna ta monotonno spadna funkciya taka sho f n a n displaystyle f n a n Yaksho 1 f x d x lim t 1 t f x d x lt displaystyle int 1 infty f x rm d x lim t to infty int 1 t f x rm d x lt infty to ryad ye zbizhnim Ale yaksho integral ye rozbizhnim to ryad takozh ye rozbizhnim Inshimi slovami ryad n 1 a n displaystyle sum limits n 1 infty a n ye zbizhnim todi i lishe todi koli vidpovidnij nevlasnij integral ye zbizhnim Oznaka zbizhnosti uzagalnenih garmonichnih ryadiv Dokladnishe Garmonichnij ryad Zagalnovzhivanim naslidkom integralnoyi oznaki ye oznaka zbizhnosti dlya uzagalnenogo garmonichnogo ryadu Nehaj k gt 0 displaystyle k gt 0 Todi n k 1 n p displaystyle sum n k infty left frac 1 n p right zbigayetsya yaksho p gt 1 displaystyle p gt 1 Pri p 1 displaystyle p 1 k 1 displaystyle k 1 otrimuyemo garmonichnij ryad yakij ye rozbizhnim Pri p 2 displaystyle p 2 k 1 displaystyle k 1 otrimuyemo ryad obernenih kvadrativ zadacha Bazelya i cej ryad ye zbizhnim do p 2 6 displaystyle frac pi 2 6 U zagalnomu vipadku dlya p gt 1 displaystyle p gt 1 k 1 displaystyle k 1 ryad spivpadaye z dzeta funkciyeyu Rimana vid p displaystyle p tobto z p displaystyle zeta p Oznaka stisnennya Koshi Dokladnishe Oznaka stisnennya Koshi Nehaj a n displaystyle a n ye nezrostayuchoyu poslidovnistyu Todi suma A n 1 a n displaystyle A sum limits n 1 infty a n zbigayetsya todi i lishe todi koli suma A n 1 2 n a 2 n displaystyle A sum limits n 1 infty 2 n a 2 n zbigayetsya Bilshe togo yaksho voni zbigayutsya to spravedliva nerivnist A A 2 A displaystyle A leq A leq 2A Oznaka Abelya Dokladnishe Oznaka Abelya Nehaj spravedlivi nastupni tverdzhennya a n displaystyle sum a n zbizhnij ryad b n displaystyle b n ye monotonnoyu poslidovnistyu ta b n displaystyle b n ye obmezhenoyu Todi ryad a n b n displaystyle sum a n b n takozh ye zbizhnim Oznaka absolyutnoyi zbizhnosti Bud yakij absolyutno zbizhnij ryad ye zbizhnim Oznaka Lejbnica Dokladnishe Teorema Lejbnica pro zbizhnist znakozminnih ryadiv Pripustimo sho spravedlivi nastupni tverdzhennya lim n a n 0 displaystyle lim limits n to infty a n 0 ta dlya bud yakogo n displaystyle n a n 1 a n displaystyle a n 1 leq a n Todi ryadi n k 1 n a n displaystyle sum limits n k infty 1 n a n ta n k 1 n 1 a n displaystyle sum limits n k infty 1 n 1 a n ye zbizhnimi Oznaka Dirihle Dokladnishe Oznaka Dirihle Yaksho a n displaystyle a n poslidovnist dijsnih chisel ta b n displaystyle b n poslidovnist kompleksnih chisel yaki zadovolnyayut taki umovi a n a n 1 displaystyle a n geq a n 1 lim n a n 0 displaystyle lim limits n to infty a n 0 n 1 N b n M displaystyle bigg sum limits n 1 N b n bigg leq M dlya vsyakogo naturalnogo N displaystyle N de M displaystyle M deyaka stala todi ryad n 1 a n b n displaystyle sum n 1 infty a n b n ye zbizhnim Oznaka Raabe Dyuamelya Dokladnishe Oznaka Raabe Dyuamelya Nehaj a n gt 0 displaystyle a n gt 0 Viznachimo b n displaystyle b n yak b n n a n a n 1 1 displaystyle b n n left frac a n a n 1 1 right yaksho L lim n b n displaystyle L lim n to infty b n isnuye to mozhlivi taki varianti L gt 1 displaystyle L gt 1 ryad ye zbizhnim L lt 1 displaystyle L lt 1 ryad ye rozbizhnim L 1 displaystyle L 1 za oznakoyu ne mozhna stverdzhuvati pro zbizhnist rozbizhnist ryadu Isnuye alternativne formulyuvannya ciyeyi oznaki Nehaj a n displaystyle a n poslidovnist dijsnih chisel Todi yaksho isnuyut taki b gt 1 displaystyle b gt 1 ta K displaystyle K naturalne chislo sho a n 1 a n 1 b n displaystyle left frac a n 1 a n right leq 1 frac b n dlya vsih n gt K displaystyle n gt K to ryad n 1 a n displaystyle sum limits n 1 infty a n ye zbizhnim Oznaka Bertrana Dokladnishe inshi movi Nehaj a n displaystyle a n poslidovnist dodatnih chisel Viznachimo b n displaystyle b n yak b n ln n n a n a n 1 1 1 displaystyle b n ln n left n left frac a n a n 1 1 right 1 right Yaksho L lim n b n displaystyle L lim n to infty b n isnuye to mozhlivi taki vipadki L gt 1 displaystyle L gt 1 ryad ye zbizhnim L lt 1 displaystyle L lt 1 ryad ye rozbizhnim L 1 displaystyle L 1 za oznakoyu ne mozhna stverdzhuvati pro zbizhnist rozbizhnist ryadu Oznaka Gausa Dokladnishe inshi movi Nehaj a n displaystyle a n poslidovnist dodatnih chisel Yaksho a n a n 1 1 a n O 1 n b displaystyle frac a n a n 1 1 frac alpha n mathcal O left frac 1 n beta right dlya pevnogo b gt 1 displaystyle beta gt 1 to ryad a n displaystyle sum a n ye zbizhnim yaksho a gt 1 displaystyle alpha gt 1 i ye rozbizhnim yaksho a 1 displaystyle alpha leq 1 Oznaka Kummera Nehaj an poslidovnist dodatnih chisel Todi 1 a n displaystyle sum a n ye zbizhnim todi i tilki todi koli isnuye poslidovnist b n displaystyle b n dodatnih chisel i dijsne chislo c gt 0 take sho b k a k a k 1 b k 1 c displaystyle b k a k a k 1 b k 1 geq c 2 a n displaystyle sum a n ye rozbizhnim todi i tilki todi koli isnuye poslidovnist b n displaystyle b n dodatnih chisel takih sho b k a k a k 1 b k 1 0 displaystyle b k a k a k 1 b k 1 leq 0 i 1 b n displaystyle sum 1 b n rozbigayetsya Primitki Dlya deyakih osoblivih tipiv ryadiv ye bilsh specializovani oznaki Napriklad dlya ryadiv Fur ye isnuye oznaka Dini PrikladiRozglyanemo ryad n 1 1 n a displaystyle sum n 1 infty frac 1 n alpha i Z oznaki stisnennya Koshi viplivaye sho i ye skinchenno zbizhnim yaksho n 1 2 n 1 2 n a displaystyle sum n 1 infty 2 n left frac 1 2 n right alpha ii ye skinchenno zbizhnim Oskilki n 1 2 n 1 2 n a n 1 2 n n a n 1 2 1 a n displaystyle sum n 1 infty 2 n left frac 1 2 n right alpha sum n 1 infty 2 n na sum n 1 infty 2 1 a n to ii ye geometrichnim ryadom zi znamennikom 2 1 a displaystyle 2 1 alpha ii ye skinchenno zbizhnim koli znamennik geometrichnogo ryadu menshij vid odinici a same koli a gt 1 displaystyle alpha gt 1 Otzhe i ye skinchenno zbizhnim todi i lishe todi koli a gt 1 displaystyle alpha gt 1 Zbizhnist dobutkivHocha bilshist oznak viznachayut zbizhnist rozbizhnist neskinchennih ryadiv voni takozh mozhut buti zastosovani dlya viznachennya zbizhnosti chi rozbizhnosti neskinchennih dobutkiv Cogo mozhna dosyagti shlyahom zastosuvannya nastupnoyi teoremi nehaj a n n 1 displaystyle a n n 1 infty poslidovnist dodatnih chisel Todi neskinchennij dobutok n 1 1 a n displaystyle prod n 1 infty 1 a n ye zbizhnim todi i lishe todi koli ryad n 1 a n ye zbizhnim displaystyle sum n 1 infty a n quad text ye zbizhnim Analogichno yaksho vikonuyetsya umova 0 lt a n lt 1 displaystyle 0 lt a n lt 1 to n 1 1 a n displaystyle prod limits n 1 infty 1 a n pryamuye do vidminnoyi vid nulya granici todi i lishe todi koli ryad n 1 a n displaystyle sum limits n 1 infty a n ye zbizhnim Ce mozhe buti dovedeno za dopomogoyu logarifmuvannya dobutku ta zastosuvannya oznaki granichnogo porivnyannya Div takozhChislovij ryad Absolyutna zbizhnist Pravilo Lopitalya en PrimitkiWachsmuth Bert G MathCS org Real Analysis Ratio Test www mathcs org Frantisek Duris Infinite series Convergence tests pp 24 9 Bachelor s thesis Weisstein Eric W Bertrand s Test mathworld wolfram com angl Procitovano 16 kvitnya 2020 Hazewinkel Michiel red 2001 criterion Gauss criterion Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Uber die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen Journal fur die reine und angewandte Mathematik 1835 13 171 184 1 sichnya 1835 doi 10 1515 crll 1835 13 171 ISSN 0075 4102 S2CID 121050774 Tong Jingcheng 1994 Kummer s Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series The American Mathematical Monthly 101 5 450 452 doi 10 2307 2974907 JSTOR 2974907 Samelson Hans 1995 More on Kummer s Test The American Mathematical Monthly angl 102 9 817 818 doi 10 1080 00029890 1995 12004667 ISSN 0002 9890 Belk Jim 26 sichnya 2008 Convergence of Infinite Products DzherelaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2300 s ukr Wachsmuth Bert G MathCS org Real Analysis Ratio Test 1 www mathcs org Frantisek Duris Infinite series Convergence tests pp 24 9 Bachelor s thesis Weisstein Eric W Oznaki zbizhnosti angl na sajti Wolfram MathWorld Gauss criterion 2 Encyclopedia of Mathematics EMS Press 2001 1994 Belk Jim 26 January 2008 Convergence of Infinite Products 3 The Calculus with Analytic Geometry vid 2nd New York Harper amp Row 1972 s 655 737 ISBN 0 06 043959 9 PosilannyaVisha matematika O I Ogloblina L I Bracihina Flowchart for choosing convergence test