Ознака Діні

У математиці ознаки Діні та Діні–Ліпшіца є високоточними, вони використовуються для доведення збіжності ряду Фур’є в заданій точці. Ознаки названі на честь Уліса Діні та Рудольфа Ліпшіца.

Означення

Нехай ${\displaystyle f}$ — функція, що задана на відрізку ${\displaystyle [0,2\pi ]}$, ${\displaystyle t}$ — деяка точка та ${\displaystyle \delta }$ — додатне число. Визначимо локальний модуль неперервності в точці ${\displaystyle t}$ як

${\displaystyle \left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|.}$

Зауважимо, що ${\displaystyle f}$ розглядається як періодична функція; наприклад, якщо ${\displaystyle t=0}$ i ${\displaystyle \varepsilon <0}$, тоді вважаємо, що ${\displaystyle f(\varepsilon )=f(2\pi +\varepsilon )}$.

Глобальний модуль неперервності (або просто ^[en]) визначається як

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t).}$

За допомогою цих визначень можемо сформулювати основний результат:

Теорема (ознака Діні): Нехай у точці ${\displaystyle t}$ функція ${\displaystyle f}$ задовольняє умову

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .}$

Тоді ряд Фур’є функції ${\displaystyle f}$ у точці ${\displaystyle t}$ збігається до функції ${\displaystyle f(t)}$

Наприклад, теорема справедлива при ${\displaystyle \omega _{f}=\log ^{-2}\left({\frac {1}{\delta }}\right)}$, але несправедлива при ${\displaystyle \omega _{f}=\log ^{-1}\left({\frac {1}{\delta }}\right)}$.

Теорема (ознака Діні–Ліпшіца): Нехай функція ${\displaystyle f}$ задовольняє умову

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}$

Тоді ряд Фур’є функції ${\displaystyle f}$ рівномірно збігається до ${\displaystyle f}$.

Зокрема, будь-яка функція з класу Гельдера задовольняє ознаку Діні–Ліпшіца.

Точність

Обидві ознаки є найкращими у своєму роді. Для ознаки Діні–Ліпшіца можна побудувати функцію з модулем неперервності, що задовольняє ознаку з точністю асимптотичної оцінки ${\displaystyle O}$ замість ${\displaystyle o}$, тобто

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1},}$

i ряд Фур’є функції ${\displaystyle f}$ розходиться. Для ознаки Діні, твердження щодо точності є трошки довшим: для будь-якої функції ${\displaystyle \delta }$ такої, що

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,\mathrm {d} \delta =\infty }$

існує така функція ${\displaystyle f}$, що

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta ),}$

i ряд Фур’є функції ${\displaystyle f}$ розходиться у точці ${\displaystyle 0}$.

Модифікована ознака Діні

Справедлива також модифікація ознаки Діні на випадок, коли функція ${\displaystyle f}$ має розрив у точці ${\displaystyle t}$, але тим не менш, її звуження на проміжках ${\displaystyle (t-\varepsilon ,t)}$ та ${\displaystyle (t,t+\varepsilon )}$ можуть бути продовженими до функції, що задовольняють ознаку Діні.

Нехай ${\displaystyle f_{+}}$, ${\displaystyle f_{-}}$ — деякі числа. Покладемо для ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \omega _{f,f_{+}}^{+}(t,\delta ):=\sup \limits _{s\in (t,t+\delta )}|f(s)-f_{+}|,}$

${\displaystyle \omega _{f,f_{-}}^{-}(t,\delta ):=\sup \limits _{s\in (t-\delta ,t)}|f(s)-f_{-}|.}$

Якщо числа ${\displaystyle f_{+}}$, ${\displaystyle f_{-}}$ та функція ${\displaystyle f}$ такі, що

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f,f_{+}}^{+}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty ,\\&\int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f,f_{-}}^{-}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty ,\end{aligned}}}$

то ряд Фур’є функції ${\displaystyle f}$ у точці ${\displaystyle t}$ збігається до ${\displaystyle {\frac {f_{+}+f_{-}}{2}}}$.

Приклад застосування ознаки Діні: сума обернених квадратів

Розглянемо періодичне продовження функції ${\displaystyle x^{2}}$ з проміжку ${\displaystyle [-\pi ,\pi )}$:

${\displaystyle f(x)=\left(\pi \left\{{\frac {x}{\pi }}\right\}\right)^{2},}$

де фігурні дужки позначають дробову частину числа. Нескладно знайти розклад цієї функції в ряд Фур’є:

${\displaystyle f(x)\sim {\frac {\pi ^{2}}{3}}+4\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}\cos nx.}$

Підставляючи ${\displaystyle x=0}$ та ${\displaystyle x=\pi }$, i користуючись для обґрунтування точкової збіжності відповідно звичайною та модифікованою ознакою Діні, отримаємо наступні рівності:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

та

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Див. також

• Збіжність ряду Фур’є
• ^[en]
• Критерій Діні
• Ознака порівняння
• Критерій Коші
• Радикальна ознака Коші
• Інтегральна ознака збіжності
• Ознака Д’Аламбера
• Телескопічна ознака
• Знакопереміжний ряд
• Ознака Веєрштраса

Примітки

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)